1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

◄111Следствие 1.4.1. В банаховом пространстве X из абсолютнойсходимости ряда (8) следует его сходимость в пространстве X .Задачи1.4.1. Доказать, что условие || x ||  0 в первой аксиоме нормыможет быть получено как следствие из остальных аксиом.1.4.2. Доказать, что если xn  x в нормированном пространст-ве X , то || xn ||  || x || и числовая последовательность || xn || ог-раничена. Пусть || xn ||  || x || . Следует ли отсюда, что xn  x ?1.4.3.

Доказать, что на линейном пространстве функций x , непрерывных на отрезке [a, b] , нормы|| x ||1  max | x(t ) | ,t[ a ,b ]b|| x || 2   | x(t ) | dt ,ab|| x || 3  | x(t ) |2dtaпопарно не эквивалентны. Будут ли эти нормы эквивалентными налинейном пространстве полиномов степени не большей k , где k фиксированное натуральное число?1.4.4. Может ли в нормированном пространстве шар большегорадиуса содержаться строго внутри шара меньшего радиуса? Можетли в нормированном пространстве шар большего радиуса быть равным шару меньшего радиуса? Существуют ли такие шары в метрическом пространстве?1.4.5. Доказать, что в банаховом пространстве любая последовательность замкнутых вложенных друг в друга шаров Bn  B[an , rn ]:B1  B2  ...  Bn  Bn 1  ...

,имеет непустое пересечение. Верно ли это утверждение в случаеполного метрического пространства?1.4.6. Пусть L  линейное многообразие в нормированном пространстве X , L  X . Доказать, что L не содержит никакого шара.1121.4.7. Пусть B  шар произвольного радиуса R  0 в нормированном пространстве X . Доказать, что B не содержит никакоголинейного многообразия L  {0} .1.4.8. Доказать, что замыкание линейного многообразия в нормированном пространстве есть линейное многообразие.1.4.9. Пусть X  линейное пространство всех непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] функций x . Являются ли следующие функции нормами на X :1) | x(b)  x( a ) |  max | x(t ) | ;2) | x( a ) |  max | x(t ) | ;t [ a ,b ]t [ a ,b ]b4) | x(t ) | dt  max | x(t ) | ;3) max | x(t ) | ;t [ a ,b ]ab5) max | x '(t ) | ;6)t [ a ,b ]t [ a ,b ] (| x(t ) |  | x(t ) |) dt .a1.4.10.

Привести пример неполного линейного конечномерногометрического пространства. Существует ли неполное конечномерное нормированное пространство?1.4.11. Пусть на линейном пространстве X заданы две эквивалентные нормы ||  ||1 , ||  ||2 . Доказать, что пространство  X , ||  ||1 является банаховым тогда и только тогда, когда пространство X , ||  ||2  банахово.1.4.12. Образуют ли подпространства в пространстве C[1,1]множества:1) четных функций;2) монотонных функций;3) непрерывно дифференцируемых функций;4) функций x , удовлетворяющих условию1 x(s) ds  0 ;15) линейных функций x(t )   t   , где  ,    ;6) функций x , удовлетворяющих условию| x(t ) |  K , t  [1,1] ,где K  0  фиксированная константа?1131.4.13.

Образует ли множествоM  { x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...) :xn 1n 0}подпространство в пространстве l p (1  p  ) ?1.4.14. Доказать, что пространство l p (1  p  ) вложено в пространство l .1.4.15. Доказать, что пространство l p (1  p  ) вложено в пространство lq (1  q  ) , если p  q .1.4.16. Доказать, что пространство L p [a, b] (1  p  ) вложенов пространство Lq [a, b] (1  q  ) , если p  q .1.4.17.

Доказать, что пространство L2 () не вложено в L1 () , апространство L1 () не вложено в L2 () .1.4.18. 1) Доказать, что линейное пространство всех многочленов p , заданных на отрезке [a, b] , с нормой|| p ||  max | p(t ) |t[ a ,b ]образует нормированное, но не банахово пространство. Построитьпополнение этого нормированного пространства.2) Рассмотреть эту же задачу в случае, когдаb|| p ||   | p(t ) | dt .a1.4.19. Доказать, что линейное пространство всех финитных последовательностейM  {x : x  ( x1 , x2 ,..., xn , 0, 0,...), xn  , n  }с нормой || x || не является банаховым пространством, если:1) || x ||  | xi | ;i 12) || x ||  max | xi | ;i3) || x || Построить пополнения полученных пространств.114| x |i 1i2.1.4.20.

Будут ли замкнутыми в пространстве C[a, b] множества:1) многочленов степени k , где число k   фиксировано;2) многочленов степени не большей k , где число k   фиксировано;3) всех многочленов?1.4.21. Доказать, что замыкание в пространстве l множествавсех абсолютно суммируемых последовательностей есть множествовсех последовательностей, сходящихся к нулю.1.4.22. Доказать, что в конечномерном нормированном пространстве сходимость по норме эквивалентна покоординатной сходимости. Показать, что это утверждение неверно в бесконечномерном нормированном пространстве l p (1  p  ) .1.4.23. Доказать, что в конечномерном нормированном пространстве множество компактно тогда и только тогда, когда оноограничено и замкнуто.

Показать, что это утверждение неверно вбесконечномерных пространствах:2) l ;3) C[0,1] .1) l p (1  p  ) ;1.4.24. Доказать замкнутость произвольного конечномерного линейного многообразия в нормированном пространстве.1.4.25. Доказать, что ненулевое нормированное пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда в нем существует счетноевсюду плотное множество.1.4.26. Доказать, что если нормированное пространство несепарабельно, то оно бесконечномерно.1.4.27. Пусть X  нормированное пространство, e  X иL  {x  X : x  te, t  }  одномерное подпространство пространства X . Найти расстояние  (a, L) , если:1) X   12 , e  (1,1) , a  (1, 1) ;2) X   12 , e  (2,1) , a  (1,1) ;3) X   2 , e  (1,  1) , a  (1, 0) ;4) X   2 , e  (1,3) , a  (2,1) ;5) X   2 , e  (1, 2) , a  (1,  1) ;6) X   2 , e  (2,  1) , a  (3, 2) .1151.4.28.

Является ли множествоL  { x  C[0,1] : x(0)  0}подпространством в пространстве C[0,1] ? Найти расстояние (a, L) , где a(t )  1 , t  [0,1] . Существует ли наилучший элементприближения точки a элементами множества L ?1.4.29. В пространстве C[0,1] найти расстояние  (a, A) от точки a  C[0,1] до множества A   x  C[0,1] : x (t )  c, c   , если:1) a (t )  t  2 ;3) a(t )  2t  1 ;2) a (t )  t 3 ;4) a (t )  2  t ;5) a (t )  t 2 ;6) a (t )  1  2t .Существует ли наилучший элемент приближения точки a элементами множества A ?1.4.30. Обозначим через T [a, b] множество всех непрерывныхна отрезке [a, b] функций x , для которых конечна величина| x(t )  x(t ) |.(10)t[ a ,b ]| t   t  |t , t [ a ,b ], t   t Доказать, что линейное пространство T [a, b] с нормой функции x ,max | x(t ) | supравной величине (10), является банаховым несепарабельным пространством.116§ 1.5.

Гильбертовы пространстваПредгильбертовы пространства, гильбертовы пространства.Теорема о разложении гильбертова пространства в прямуюсумму подпространства и его ортогонального дополнения, ортонормированные системы, существование ортонормированного базиса в сепарабельном гильбертовом пространстве, рядыФурье, изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространствпространству l 2 .Пусть X – линейное пространство над полем  () .Определение 1.5.1.

Функция (  , ) : X  X   () называетсяскалярным произведением в X , если она определена для всехx, y  X и удовлетворяет следующим условиям (аксиомам):1) ( x, x)  0 , x  X , и ( x, x)  0  x  0 ;2) ( x, y )  ( y, x) , x, y  X ;3) ( x, y )   ( x, y ) , x, y  X ,    () ;4) ( x  y, z )  ( x, z )  ( y, z ) , x, y , z  X .Из определения 1.5.1 вытекают следующие свойства скалярногопроизведения:( x,  y )  ( y, x)   ( x, y ), x, y  X ,   ;( x , y  z )  ( y  z , x )  ( y , x )  ( z , x )  ( x , y )  ( x, z ) , x , y , z  X .Пример 1.5.1.

В евклидовом пространстве  n ( n ) скалярноепроизведение определяется по формуле( x, y ) nx y .i 1iiВ комплексном линейном пространстве всех последовательностей х  ( х1 ,..., х n ,...) комплексных чисел таких, что| xn 1скалярное произведение можно определить по формуле( x, y ) x y .i 1117iin|2   ,В комплексном линейном пространстве всех непрерывных наотрезке [a, b] комплекснозначных функций x скалярное произведение можно определить по формулеb( x, y )   x(t ) y (t ) dt .aВ комплексном линейном пространстве всех измеримых на отрезке [a, b] комплекснозначных функций x , интегрируемых по Лебегу с квадратом, скалярное произведение можно определить поформуле( x, y ) x(t ) y (t ) dt . ■[ a ,b ]Определение 1.5.2.

Предгильбертовым пространством называется линейное пространство X с введенным на нем скалярнымпроизведением.Утверждение.1.5.1. Для любых элементов x , y из предгильбертова пространства X выполняется неравенство Коши  Буняковского| ( x, y ) |  ( x, x)1/2  ( y, y )1/2 .► Если y  0 , то при любом z  X( x, 0)  ( x, z  z )  ( x, z )  ( x, z )  0 , x  X .Поэтому в этом случае неравенство справедливо.Пусть y  0 . Для всех    () имеем0  ( x   y, x   y )  ( x, x)   ( y, x)   ( x, y )   ( y, y ) .( x, y )Положим в этом соотношении  , тогда получим требуе( y, y )мое неравенство0  ( x, x ) | ( x, y ) |2.◄( y, y )Предгильбертово пространство наделяется нормой, порожденной скалярным произведением|| x ||  ( x, x)1/2 ,118и тем самым считается нормированным пространством  .Действительно, функция x  || x || удовлетворяет аксиомамнормы (определение 1.4.6).

Характеристики

Список файлов книги