1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Рассмотрим последовательность элементовxn  (1,1,...,1, 0, 0, 0,...)  D ( f ) , n   .nИмеем|| xn ||l  1 , | f ( xn ) | что означаетние 2.1.9**). ■Множествоn1 (1  2k 1k)  ,n неограниченностьфункционалаfвсехнепрерывныхфункционаловлинейных(определе-f : X   ( ) , определенных на всем пространстве X , являетсялинейным пространством, где операции сложения и умножения начисло определяются следующим образом: для любых линейных непрерывных функционалов f , g , определенных на всем X , и длялюбых x  X справедливо( f  g )( x )  f ( x)  g ( x) ,( f )( x )   f ( x ) ,    () .145Определение 2.1.10.

Линейное пространство всех линейных непрерывных функционалов f : X   ( ) , определенных на всемпространстве X , называется сопряженным пространством к пространству X и обозначается X  .Норма функционала f , задаваемая формулой (2), удовлетворяетаксиомам нормы (определение 1.4.6). Поэтому сопряженное пространство X  является нормированным. Более того, оно всегда банахово, хотя исходное пространство X может не быть таковым.Определение 2.1.11. Пусть X  нормированное пространство,f  линейный ограниченный функционал, определенный на линейном многообразии D ( f )  X .

Функционал F  X * называетсяпродолжением функционала f на все пространство X с сохранением нормы, если|| F || X *  || f || , где || f ||  sup | f ( x) | ,|| x|| 1, xD ( f )F ( x)  f ( x ) , x  D ( f ).Теорема 2.1.4 (теорема Хана  Банаха). Пусть X  нормированное пространство. Тогда любой линейный ограниченный функционал f , определенный на линейном многообразии D ( f )  X ,имеет продолжение на все пространство X с сохранением нормы.Следствие 2.1.1. Пусть X  нормированное пространство иx  X , x  0 . Тогда найдется функционал f  X  такой, что|| f ||  1 и f ( x)  || x || .Следствие 2.1.2.

Пусть L  X  линейное многообразие в нормированном пространстве X , x0  X , x0  L и d   ( x0 , L)  0 .Тогда найдется функционал f  X  такой, что f ( x )  0 для лю-1.dСледствие 2.1.3. Пусть x1 ,..., xn  линейно независимые элементы нормированного пространства X . Тогда существуютфункционалы f1 ,..., f n  X * такие, чтоf k ( x j )   k j , k , j  1,..., n ,бого x  L , f ( x0 )  1 и || f || 146где  k j  символы Кронекера.Пример 2.1.3.

В пространстве C[0,1] рассмотрим одномерноелинейное многообразиеL  { x  C[0,1] : x   x0 , x0 (t )  2t  1,    } .Построим продолжение линейного непрерывного функционалаf ( x)  f  x0    || x0 || ,определенного на L , на все пространство C[0,1] c сохранениемнормы.Линейный функционал f является ограниченным и|  |  || x0 ||| f ( x) | sup 1.xL , x  0 || x ||  ,   0 ||  x0 |||| f ||  supВ силу теоремы Хана  Банаха существует продолжение f на всепространство C[0,1] c сохранением нормы, причем это продолжение может быть не единственным.Заметим, что для всех x  Lf ( x)  f  x0    || x0 ||   .Так как x (t )   (2t  1), то1x (t ), где t  [0,1] и t  .22t  11Зафиксируем произвольную точку t0  [0,1] , t0  , и рассмотрим2функционалF ( y) y (t0 ),2t0  1определенный на всем C[0,1] .

ИмеемF ( x0 )  x0 (t0 )2t0  1   f ( x0 ) и || F || 1471.2t0  11 1 при t0  0 и t0  1 , то получаем два продолже2t0  1ния функционала f на все пространство C[0,1] c сохранениемТак какнормы:F1 ( y )   y (0) и F2 ( y )  y (1) . ■Теорема 2.1.5. Сопряженное пространство X  к конечномерному нормированному пространству X размерности n , n  ,является конечномерным нормированным пространством той жеразмерности.► Не ограничивая общности, считаем, что X – комплексноепространство размерности n , n  .

Обозначим через a1 ,..., a nбазис в пространстве X . Тогда для любого x  X справедливоединственное представлениеnx   xi ai ,i 1где xi  – координаты x при разложении по данному базису.Отождествим элемент x с вектором ( x1 ,..., x n ) .Пусть f – линейный функционал, определенный на пространстве X , тогдаnni 1i 1f ( x)   x i f (a i )   x i f i ,т. е. каждый линейный функционал f порождает единственныйf  ( f1 ,..., f n ) , где комплексные числа f i  f (ai )(i  1, ..., n)  значения функционала на базисных элементаx.Справедливо и обратное: каждый вектор f  ( f ,..., f ) по фор-вектор1nмулеf ( x) nxi 1ifi , x  X ,(4)задает линейный функционал f , определенный на всем X , приэтом f i  f ( a i ) есть значения функционала на базисных элемен148таx. Итак, мы можем отождествить линейный функционал f с вектором f  ( f1 ,..., f n ) , при этом функционал f имеет вид (4).Рассмотрим сопряженное пространство X * .

В силу следствия 2.1.3 данному базису a1 ,..., a n в X соответствует системафункционалов g 1 ,..., g n в X * такая, что g i ( a j )   ij , где  ij –символы Кронекера.Докажем, что функционалы g 1 ,..., g n линейно независимы. Дляn gлинейной комбинацииii 1iэтих функционалов справедливоnni 1i 1  i gi  0  (  i gi ) ( x)  0, x  X .Пусть x  a k , тогдаn(   i g i ) ( ak ) i 1n  g (a )  i 1iikk 0 , k  1,..., n .Поэтомуn gi 1ii 0   i  0, i  1,..., n .Докажем, что функционалы g 1 ,..., g n образуют в X * базис. Длялюбого x  Xng k ( x)  g k (  xi ai ) i 1nx gi 1ik(ai )  xk , k  1,..., n .Тогда в силу (4) для f  X  справедливо единственное представлениеf ( x) n xi fi i 1т.

е. f ni 1nf i gi ( x)  (  f i gi ) ( x) , x  X ,i 1nfg.i 1ii149Итак, сопряженное пространство X * является конечномернымнормированным пространством той же размерности n , что и самопространство X . Каждый функционал f  X  мы отождествляемf  ( f1 ,..., f n ) , где f k , k  1, 2,..., n ,  координатыс векторомпри разложении его по базису g 1 ,..., g n  X * .функционала fФункционал f задается формулой (4).

◄Пример 2.1.4. Норма функционала f  X  зависит от нормы висходном пространстве X . Пусть X – конечномерное нормированное пространство размерности n , n  . Тогда, используя представление (4) и определение 2.1.8, можно получить следующие соотношения:X * : f  f  ( f1 ,..., f n )X : x  ( x1 ,..., xn )|| x ||  max | xi ||| f || 1i  n|| x || n|| f || i 1|| x || p| x |i 1ip|1 i  n | xi | 2ni|| f ||  max | f i |in|| x || | fi 1| x |i 1nn| fi 1(1  p   )|| f || nq| fi 1i|q ,i|21 1 1p qПример 2.1.5.

Рассмотрим в пространстве 12 линейное многообразиеL  { x  ( x1 , x2 ) : x1  2 x2  0} .Построим продолжение F линейного ограниченного функционалаf 0 ( x) x1, определенного на L , на все пространство  12 с сохра3нением нормы.150Найдем норму функционала f 0 :|| f 0 || sup | f 0 ( x) | xL ,|| x|| 1| x1 |x3x2  1 , | x1 || x2 | 1sup2| x1 ||x | 2 sup 1  .13339| x1 || x1 | 1| x1 | 1sup22x1определен на всем про31странстве 12 и является продолжением f 0 , но || g ||  , поэтому3функционал g не является решением поставленной задачи. Длянахождения функционала F воспользуемся теоремой 2.1.5, согласно которой F ( x)  ax1  bx2 , x  12 , где a, b  некоторые вещеОчевидно, что функционал g (x ) ственные числа.

Эти числа находятся из двух условий, фигурирующих в теореме Хана – Банаха, а именно:1) F ( x )  f 0 ( x ), x  L ;2) || F ||  || f 0 || .Условие 1) в рассматриваемом случае примет видx11baxb(x)(a)xf(x).1110xL223b 1Следовательно, a   .2 3Найдем норму функционала F (см. пример 2.1.4):|| F ||  sup | ax1  bx2 |  max{| a |, | b |} .F ( x)| x1 || x2 | 1Итак, из условий 1), 2) получаем следующую систему для нахождения a, b : b 1a  2  3 ;max{| a |, | b |}  2 .9151Решая эту систему (графически или аналитически), находим, что22, b   . Таким образом, искомый функционал имеет вид992F ( x)  ( x1  x2 ), x   12 .

■9Теорема 2.1.6 (теорема Рисса). Пусть H  гильбертово пространство. Тогда для любого функционала f  H  существуетединственный элемент y  H такой, чтоf ( x )  ( x, y ) , x  H .При этом || f || H   || y || H .aСледствие 2.1.4. Гильбертово пространство H самосопряженно.► Это утверждение означает, что сопряженное пространство кгильбертову пространству H изоморфно и изометрично самому H , т.

е. H *  H .Действительно, любой элемент y  H порождает функционалf  H  такой, чтоf ( x )  ( x, y ) , x  H , и || f || H   || y || H .(5)Для y  0 последнее равенство следует из неравенства Коши – Буняковского | f ( x) |  || x ||  || y || и соотношения|| f ||  supx0| f ( x) | | f ( y ) | || y || .|| x |||| y ||Если y  0 , то f  0 . Поэтому, в силу теоремы Рисса, функционал f принадлежит пространству H * тогда и только тогда, когдасуществует единственный элемент y  H такой, что справедливысоотношения (5).Рассмотрим взаимно однозначное отображениеФ : H*  H , Ф( f )  y .Докажем, что Ф  линейное отображение, т. е. равенствоФ ( f   g )   Ф ( f )   Ф ( g )152выполняется для всех чисел  ,  и для всех f , g  H * .

ПустьФ ( g )  z и Ф ( f   g )  w . Тогда в силу (5)( f   g ) ( x)  ( x, w) , x  H .(6)С другой стороны, из свойств сопряженного пространства имеем( f   g ) ( x)   f ( x)   g ( x)   ( x, y )   ( x, z )  ( x ,  y )  ( x,  z )  ( x ,  y   z ) , x  H .Отсюда и из (6) получаем, чтоФ ( f   g )  w   y   z   Ф ( f )   Ф ( g ) ,т. е. линейность отображения Ф доказана.Из (5) вытекает, что|| Ф ( f ) || H  || f || H  ,|| Ф 1 ( y ) || H   || y || H ,т.

е. отображения Ф и Ф 1 непрерывны. Более того, отображениеФ является изометрией. Поэтому пространства H * и H изоморфны и изометричны. ◄Пример 2.1.6. Проверим, принадлежит ли данный функционал f пространству X * , и в положительном случае найдем нормуфункционала:1) f (x)  6 x1  3x2  4 x4 , X  l2 ;12) f ( x) 0x(t )dt , X  L2 [0,1] .t2l 2 является гильбертовым, тоf ( x)  ( x, y ) , где y  (6,  3, 0, 4, 0, 0,...)  l2 .

Из следствия 2.1.41) Так как пространство*вытекает, что f l 2 и|| f || l*  || y || l2  36  9  16  61 .22) Пространство L2 [0,1] тоже является гильбертовым, но данный функционал не представим в видеf ( x)  ( x, y ) , гдеy  L2 [0,1] . Функционал f определен на линейном многообразии1D( f )  {x  L2 [0,1]:153| x(t ) |dt   }.t20Докажем, что f не является ограниченным, для чего рассмотримпоследовательность xn  D ( f ), n   , где1 0, 0  t  n ,xn (t )   1 , 1  t  1. t 2 nТак как1| f ( xn ) ||| x n ||1t1ndt4111t1n4n3  11dt ,1 t 43 n dtnто функционал f неограничен. ■Утверждение 2.1.2.

Характеристики

Список файлов книги