1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Доказать, что функционал f линеен иограничен на P[0,1] . Построить продолжение f на все пространство C[0,1] с сохранением нормы.2.1.19. Рассмотрим фиксированную функцию x0  C[0,1] и одномерное линейное многообразиеL  { x  C[0,1] : x(t )   x0 (t ),    }в C[0,1] . Доказать, что функционалf ( x)  f ( x0 )   || x0 || ,определенный на L , линеен и ограничен.

Построить продолжение f на все пространство C[0,1] с сохранением нормы в случае,когда1) x0 (t )  1  2t ;2) x0 (t )  t ;3) x0 (t )  1 ;4) x0 (t )  2t ;5) x0 (t )  (t  1) ;6) x0 (t )  4t  2 .2.1.20. Пусть L – подпространство в гильбертовом пространстве H. Доказать, что для любого линейного ограниченного функционала, определенного на L, существует единственное продолжениена все пространство H с сохранением нормы.21652.1.21. Рассмотрим в пространстве  2 линейное многообразиеL  { x   2 : x  ( x1 , x2 ), 2 x1  x2  0} .Построить продолжение линейного ограниченного функционала f ,определенного на L , на все пространство  2 с сохранением нормы, если:1) f ( x)  x1 ;2) f ( x)  x2 ;3) f ( x)  x1  x2 ;4) f ( x)  x2  x1 .2.1.22.

Пусть L  линейное многообразие в  12 . Построить продолжение линейного ограниченного функционала f 0 , определенного на L , на все пространство  12 с сохранением нормы в случае,когда f 0 и L имеют, соответственно, вид:1) f 0 ( x)   x2 , L  { x : x1  0};2) f 0 ( x)   x1 , L  { x : x2  3 x1  0};3) f 0 ( x)   2 x2 , L  { x : x1  0, 5  x2 };4) f 0 ( x)   x1 , L  { x : x2  x1};5) f 0 ( x)  x2  x1 , L  { x : x2  x1  0}; .6) f 0 ( x)  x2  3 x1 , L  { x : x2  3 x1  0} .2.1.23. Решить задачу 2.1.22 в пространстве  2 .2.1.24.

Решить задачу 2.1.22 в пространстве  2 .2.1.25. Пусть X  нормированное пространство. Доказать, чтоесли X  {0} , то X *  {0}.2.1.26. Пусть X  нормированное пространство, x  X , x  0 .Доказать, что существует функционал f  X  такой, что|| f || 1и|| x ||f ( x )  1.2.1.27.

Доказать, что существует функционал f  ( M [0,1])* (см.задачу 1.2.19) такой, что f  0 и f ( x )  0 для любой функции x,непрерывной на отрезке [0,1] .1662.1.28. Пусть X  нормированное пространство, x  X иf ( x )  0 для всех f  X  . Доказать, что x  0 .2.1.29. Пусть X  нормированное пространство, x  X и| f ( x) |  1 для всех f  X  .

Доказать, что x  0 .2.1.30. Пусть X  нормированное пространство. Доказать, чтодля любых элементов x, y  X , x  y , существует функционалf  X  такой, что f ( x )  f ( y ) .2.1.31. Пусть X  нормированное пространство, x  X . Доказать, что|| x || supf  X  , || f || 1| f ( x) | .2.1.32. Пусть X  нормированное пространство, f  X  , f  0 ,| f ( x) |для любых x  X .|| f ||2.1.33. Пусть X  нормированное пространство, f  X  , f  0 ,1.L  { x  X : f (x )  1} .

Доказать, что || f ||  (0, L)2.1.34. Доказать, что линейное многообразие L всюду плотно внормированном пространстве X тогда и только тогда, когда из условия, что f  X  и f ( x )  0 для любого x  L , следует,что f  0 .L  Ker ( f ). Доказать, что  ( x, L) 2.1.35. Доказать, что незамкнутое линейное многообразиеL  { x  l2 : x  ( x1 ,..., xk ,...),xk 1k 0}всюду плотно в пространстве l2 .2.1.36. Доказать, что если нормированное пространство X бесконечномерно, то и сопряженное пространство X  бесконечномерно.2.1.37. Пусть X  банахово пространство.

Доказать, что еслисопряженное пространство X  сепарабельно, то и X сепарабельно. Верно ли обратное утверждение?1672.1.38. Пусть x1 ,..., xn  линейно независимые элементы нормированного пространства X и с1 ,..., cn  произвольные числа. Доказать существование функционала f  X  такого, чтоf ( xk )  ck , k  1,..., n .2.1.39. Доказать рефлексивность конечномерного нормированного пространства X , т. е.

показать, что  ( X )  X  .2.1.40. Доказать, что с0*  l1 , l1*  l . Пользуясь этими утверждениями, доказать, что пространство c0 нерефлексивно.2.1.41. Доказать, что  (l1 )  l* , т. е. пространство l1 нерефлексивно.2.1.42. Доказать рефлексивность пространств l p , 1  p   .2.1.43. Доказать, что если ненулевое банахово пространство Xявляется рефлексивным, то для любого функционала f  X  найдется такой элемент x f  0 из X , чтоf ( x f )  || x f ||  || f || .2.1.44. Доказать, что пространство C[0,1] нерефлексивно.168§ 2.2. Линейные операторыЛинейные операторы и их свойства, норма линейного ограниченного оператора.

Пространство L ( X , Y ) , полнота пространства L ( X , Y ) .Пусть X , Y  нормированные пространства.Определение 2.2.1. Отображение A : X  Y , сопоставляющеекаждому элементу x из множества D ( A)  X однозначно определенный элемент y  Ax из Y , называется оператором, действующим из X в Y .Множество D ( A) называется областью определения оператора A .

В дальнейшем, если не оговорено противное, под областьюопределения D ( A) оператора A : X  Y будем понимать множество всех элементов x  X , для которых Ax  Y .МножествоIm ( A)  { y  Y : y  Ax, x  D( A)}называется множеством значений оператора A .

МножествоKer ( A)  {x  D( A) : Ax  0}называется ядром оператора A .Оператор A : X  Y называется нулевым ( A  O ), еслиOx  0 для всех x  X .Определение 2.2.2. Оператор A : X  Y называется непрерывным (непрерывным на D( A) ), если он непрерывен в каждой точкеx0  D( A) :Ax  Ax0 при x  x0 ,т. е.  0   0 : x  D ( A) || x  x0 || X    || Ax  Ax0 ||Y  или xn  D( A) (n  ) xn  x0 в X  Axn  Ax0 в Y .Пусть X , Y являются одновременно вещественными или комплексными нормированными пространствами и X  {0} .169Далее будем рассматривать операторы A : X  Y , определенные на линейных многообразиях D ( A)  X .Определение 2.2.3.

Оператор A : X  Y называется линейным,если для любых чисел  ,  и для любых x, y  D ( A) выполняетсяравенствоA( x   y )   Ax   Ay .Определение 2.2.4. Линейный оператор A : X  Y , определенный на линейном многообразии D ( A)  X , называется ограниченным, если он отображает любое ограниченное множество из D ( A)в множество, ограниченное в пространстве Y .Из утверждения 2.1.1, справедливого и для линейных операторовA : X  Y , вытекает, что определение 2.2.4 эквивалентно следующему определению.Определение 2.2.4*. Линейный оператор A : X  Y , определенный на линейном многообразии D ( A)  X , называется ограниченным, если существует число c  0 такое, что|| Ax ||  c || x ||, x  D( A).Утверждение 2.2.1.

Линейный оператор A : X  Y , определенный на линейном многообразии D( A)  X , ограничен тогда итолько тогда, когда существует число c  0 такое, чтоx  D( A) || x ||  1  || Ax ||  c .Определение 2.2.5. Линейный оператор A : X  Y , определенный на линейном многообразии D ( A)  X , называется неограни-ченным, если найдется ограниченное множество из области определения D ( A) , которое он отображает в множество, неограниченноев пространстве Y .Определение 2.2.5 эквивалентно следующему определению.Определение 2.2.5*. Линейный оператор A : X  Y , определенный на линейном многообразии D ( A)  X , называется неограниченным, если существует такая последовательность ненулевыхэлементов {xn }  D ( A) , что|| Axn ||Y .|| xn || X n170Утверждение 2.2.2.

Линейный оператор A : X  Y , определенный на линейном многообразии D( A)  X , неограничен тогда итолько тогда, когда существует такая последовательность элементов {xn }  D( A) , что|| xn || X  1 и || Axn ||Y   .n Множество всех линейных ограниченных операторов, определенных на всем нормированном пространстве X и действующих внормированное пространство Y , является нормированным пространством, где( A  B ) x  Ax  Bx , x  X ,( A) x   ( Ax ) ,    ( ) , x  X ,|| A ||  sup || Ax ||Y .|| x|| X 1Нормированное пространство всех линейных ограниченных операторов, определенных на всем пространстве X , со значениями впространстве Y , обозначается через L ( X , Y ) .Отметим, что линейные функционалы f : X   ( ) являютсялинейными операторами, действующими из нормированного про-странства X в 1 или в 1 , и X *  L X , 1  или, соответствен-но, X *  L X , 1.Замечание 2.2.1.

Характеристики

Список файлов книги