1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

Доказать, что оператор A  L ( X ) обратим и множествозначений Im( A) не замкнуто в пространстве X , если:xx2,..., nn1 ,...) , X  l2 ;22xx2Ax  ( x1 ,,..., n ,...) , X  l2 ;2nAx(t )  t x(t ) , X  L2 [0,1] ;Ax(t )  (t  1) x(t ) , X  L2 [0,1] ;Ax(t )  sin t  x(t ) , X  C[0,1] ;Ax(t )  t 2 x(t ) , X  C[0,1] .1) Ax  ( x1 ,2)3)4)5)6)2112.4.24. Пусть X – нормированное пространство и для линейногооператора A : X  X при некоторых  k   ( k  1,..., n ) верноравенствоI  1 A   2 A2  ...   n An  0 .Доказать существование оператора A1 .2.4.25. Пусть на линейном пространстве X заданы две нормы||  ||1 , ||  || 2 и существует такая константа k  0 , что для всехx  X выполняется неравенство|| x ||1  k || x ||2 .Доказать, что если нормированные пространства X 1  X , ||  ||1 ,X 2   X , ||  || 2  банаховы, то эти нормы эквивалентны.212§ 2.5.

Спектр и резольвента линейного оператораРегулярная точка, резольвентное множество, резольвента испектр линейного оператора, действующего в комплексном банаховом пространстве X . Классификация точек спектра линейного оператора: точечный, остаточный и непрерывныйспектры. Свойства резольвентного множества, резольвенты,спектра оператора A  L ( X ) . Спектральный радиус оператора A  L ( X ) .Пусть X  ненулевое комплексное банахово пространство,A : X  X  линейный оператор, определенный на линейном многообразии D( A)  X ,   комплексное число.Определение 2.5.1. Число  называется регулярной точкой оператора A , если существует ограниченный оператор ( I  A)-1 иIm( I  A)  X .Определение 2.5.2.

Совокупность регулярных точек оператора A называется резольвентным множеством оператора A и обозначается  ( A) . Если    (A) , то оператор ( I  A)-1 называетсярезольвентой оператора A и обозначается R (A) .Утверждение 2.5.1. Пусть A  L ( X ) , тогда   ( A)   ( I  A) 1 L ( X ) .►  Очевидно. Заметим, что( I  A)  L ( X ),    .Пусть  – регулярная точка оператора A .

Покажем, что областьопределения оператора (I  A) 1 есть все пространство X . В силу теоремы 2.4.1 оператор ( I  A) 1 ограничен тогда и только тогда, когда найдется константа m  0 такая, что для всех x  Xсправедливо неравенство||( I  A ) x ||  m || x || .213(1)Пусть y  X . Так как по условию Im( I  A)  X , то существуетпоследовательность y n  (I  A) x n , где x n  X , n  , такая,что y n  y . Из неравенства (1) получаем, что {x n } фундаментальна в X , так как|| yn  ym ||  || ( I  A)( xn  xm ) ||  m || xn  xm || .Поэтому последовательность {x n } сходится к некоторому элементуx  X . Так как оператор ( I  A) непрерывен, то последовательность {( I  A) xn } сходится к элементу ( I  A) x .

В силу единственности предела получаем, что y  (I  A) x , т. е.Im ( I  A)  D ( I  A) 1  X .Следовательно, ( I  A) 1 L ( X ) . ◄Утверждение 2.5.2. Резольвентное множество  (A) оператораA  L ( X ) обладает следующими свойствами:1)  (A)  открытое множество в  ;2)  (A)  неограниченное множество и   : |  |  || A ||   (A) .► 1) Покажем, что резольвентное множество  (A) открыто.Пусть 0   (A) .

Согласно утверждению 2.5.1, это равносильнотому, что существует оператор (0 I  A) 1 L ( X ) .Найдем такое число r  0 , что открытый шар B (0 , r ) содер-жится в  (A) . Имеем I  A  0 I  A  (0   ) I  (0 I  A)  I  (0   )(0 I  A)1  .Если | 0   | || (0 I  A) 1 ||  1 , то по теореме Неймана существуетоператор I  (0  )(0 I  A) 1   L ( X ) . Поэтому существует1обратный оператор ( I  A) 1  L ( X ) :( I  A) 1   I  (0   )(0 I  A) 1  (0 I  A) 1 .1214(2)Итак, если |   0 |  r , где r 1, то    (A) . Сле|| R0 ( A) ||довательно, резольвентное множество  (A) открыто в  .2) Из примера 2.4.4 вытекает, что   : |  |  || A ||   (A) .

◄Утверждение 2.5.3. Если A  L ( X ) , то резольвента R ( A)оператора A есть аналитическая функция параметра    ( A) .► Пусть 0   ( A) . Резольвента R ( A) оператора A являетсяаналитической функцией в точке 0 , если найдется   0 такое,что все точки    , удовлетворяющие неравенству |   0 |   ,есть регулярные точки оператора A и при этом имеет место разложение R (   ) , |   |,где Rk  L ( X ) и ряд сходится в пространствеL( X ) .R ( A) k 0k0k0Из утверждения 2.5.2 следует, что все точки    такие, что|   0 | 1, являются регулярными точками оператора A|| R0 ( A) ||и для них справедливо равенство (2). По теореме Неймана, для рассматриваемых  резольвента представима в виде рядаR ( A)  (1)k 0k( R0 ( A)) k 1 (  0 ) k ,сходящегося в пространстве L ( X ) . ◄Определение 2.5.3.

Спектром линейного оператора A называется множество  ( A)   \  ( A) .Утверждение 2.5.4. Спектр  ( A) оператора A  L ( X ) обладаетследующими свойствами:1)  ( A)  замкнутое множество в  ;2)  ( A)  ограниченное множество и ( A)     : |  |  || A || ;2153)  ( A)  непустое множество.► 1) и 2) следуют из утверждения 2.5.2.3) Доказательство этого утверждения приведено в [8; 17]. ◄Пример 2.5.1. Рассмотрим в пространстве X   2 оператор Aумножения на матрицу  , т. е.A  L ( X ) , Ax    x ,где 0 1. 1 0 Оператор( I  A) 1есть оператор умножения на матрицу( I  ) 1 , где1   1.  1  1  Поэтому ( I  A) 1  L ( X ) для всех    , т. е. все вещественныечисла  являются регулярными точками оператора A .

Оператор A имеет спектр  ( A) , состоящий только из двух собственныхзначений матрицы  : 1  i и 2  i . Для остальных чисел( I  ) 1 2   справедливо, что ( I  A)1  L ( X ) , т. е.    ( A) . ■Определение 2.5.4. Классификация точек спектра линейногооператора A : X  X :1)    p ( A) (точечный спектр), если оператор ( I  A) необратим, т.

е. существует элемент x  D( A) , x  0 , такой, чтоAx   x . В этом случае элемент x называют собственным элементом оператора A , а число   собственным значением оператора A ;2)    r ( A) (остаточный спектр), если оператор ( I  A) обратим и Im( I  A)  X ;3)    c ( A) (непрерывный спектр), если оператор ( I  A) обратим, Im( I  A)  X , но обратный оператор ( I  A) 1 неограничен.216Таблица 2.5.1. Классификация точек    для линейного оператора A : X  XСвойстваоператора( I  A)1Плотно определенНеплотноопределенСуществуетОграниченНеограничен   (A)   c ( A)   r ( A)Несуществует   p ( A)Из определений 2.5.1, 2.5.3 и 2.5.4 следует, что спектр линейногооператора A : X  X представим в виде объединения трех попарно непересекающихся множеств: точечного, остаточного и непрерывного спектров.Утверждение 2.5.5.

Пусть A  L ( X ) , тогда   c ( A)   ( I  A) 1 , Im( I  A)  X и Im ( I  A)  X .►  Пусть    c ( A) . Докажем, что Im ( I  A)  X .Действительно, если Im ( I  A)  X , то по теореме Банаха обобратном операторе (теорема 2.4.2) ( I  A) 1  L ( X ) , т. е.   (A) . Получаем противоречие. Пусть оператор (I  A) обратим, Im( I  A)  X иIm ( I  A)  X . Если обратный оператор (I  A) 1 ограничен,то    ( A) и, как следует из утверждения 2.5.1, оператор( I  A) 1 определен на всем X.

Это противоречит тому, чтоIm ( I  A)  X . Следовательно, обратный оператор (I  A) 1неограничен, т. е.    c ( A) . ◄Пример 2.5.2. Рассмотрим следующие линейные операторы,действующие в пространстве l2 , и выясним, является ли число  0 точкой спектра этих операторов:1) Ax   x1 , 2 x2 , x3 , 2 x4 ,..., x2 n 1 , 2 x2 n ,... ;2) Bx  ( x1 , 0, x3 , x4 ,..., xn ,...) ;2173) Cx  (0, x1 , x2 ,...) ;1 11x2 , x3 ,..., xn ,...) .n2 3Мультипликативный оператор A обратим и111A1  L (l2 ), A1 y  ( y1 , y2 , y3 , y4 ..., y2 n 1 , y2 n ,...) .222Поэтому   0 является регулярной точкой оператора A .Так как Bx  0 для x  (0,1, 0, 0, ...) , то оператор B необратим и  0 является собственным значением оператора B , т.

е. точкойточечного спектра. При этом x  (0,1, 0, 0,...) есть соответствующий собственный элемент оператора B .Уравнение Cx  0 имеет единственное решение x  0 , поэтомуоператор C обратим. При этомC 1 : l2  l2 , C 1 y  ( y2 , y3 , y4 ,...)4) Ex  ( x1 ,иIm(C )  D (C 1 )   y  l2 : y1  0 .Так как Im(C )  Im(C )  l2 , то   0 является точкой остаточногоспектра оператора C . Заметим, что оператор C 1 : l2  l2 ограничен.Мультипликативный оператор E обратим, имеет обратный неограниченный операторE 1 : l2  l2 , E 1 y  ( y1 , 2 y2 ,3 y3 ,..., nyn ,...) ,иIm( E )  D( E 1 )  { y  l2 :  n 2 | yn | 2   } .n 1При этом множество значений Im( E ) оператора E всюду плотнов l2 , так как оно содержит всюду плотное в l2 множество финитныхпоследовательностей.

Характеристики

Список файлов книги