1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Пусть для некоторого числа n   выполняется неравенство || An ||  |  | n . Доказать, что    ( A) и ( A)     : |  |  || An ||1/ n  .2.5.17. Пусть A  L ( X ) , где X  банахово пространство. Доказать, что ряд НейманаAnсходится в пространствеL( X )тогдаn 0и только тогда, когда r ( A)  1 .2.5.18. Найти спектральный радиус, спектр и резольвенту оператора ВольтерраtA  L (C[a, b]) , Ax(t )   x( s)ds .aКлассифицировать точки спектра оператора A .2272.5.19.НайтиспектрирезольвентуоператораA : C[0,1]  C[0,1] , Ax(t )  x(t ) , если:1) D( A)   х : x(t )  непрерывно дифференцируемые на отрезке [0,1] функции такие, что x(0)  0 ;2) D( A)   х : x(t )  непрерывно дифференцируемые на отрезке [0,1] функции такие, что x(0)  x(1) ;3) D( A)   х : x(t )  непрерывно дифференцируемые на отрезке [0,1] функции}.2.5.20.

Пусть X банахово пространство,A  L( X ) и   ( A) . Доказать, что  n   ( An ) , n   .2.5.21. Пусть X  банахово пространство и A, A1  L ( X ) . Доказать, что   ( A) 2.5.22. ПустьX1  ( A1 ) . банахово пространство,A  L( X ) и   c ( A) . Может ли множество Im( I  A) быть замкнутым впространстве X ?2.5.23. Привести пример оператора A  L ( X ) , спектр которогоесть заданный отрезок [ a , b] , если:1) X  C [0,1] ,2) X  L2 [0,1] ,3) X  l2 .2.5.24.

Доказать, что для любого компактного множества K  существует оператор A  L ( X ) , действующий в некотором банаховом пространстве X , спектр  ( A) которого совпадает с множеством K .228§ 2.6. Сопряженные операторыСопряженные операторы к линейным ограниченным операторам, действующим в нормированных пространствах. Сопряженные операторы к линейным ограниченным операторам, действующим в гильбертовых пространствах, свойства сопряженных операторов. Нормальные, самосопряженные, унитарныеоператоры.Для оператора A  L ( X , Y ) , где X , Y  нормированные пространства, введем понятие сопряженного оператора A* . Зафиксируем произвольный функционал f  Y * и определим на пространстве X функционал  следующим образом: ( x)  f ( Ax), x  X .Очевидно, что   линейный функционал.

Функционал  непрерывный и ограниченный, так как|  ( x) |  | f ( Ax) |  || f ||Y * || A ||L ( X ,Y ) || x || X ,т. е.   X * и||  || X *  || f ||Y * || A ||L ( X ,Y ) .(1)Определение 2.6.1. Пусть A  L ( X , Y ) . Сопряженным оператором к оператору A называется оператор A* : Y *  X * такой,чтоA* f   , f  Y * ,где  ( x)  ( A* f )( x)  f ( Ax) для любого x  X .Теорема 2.6.1. Пусть X , Y  нормированные пространства.Для любого оператора A  L ( X , Y ) существует операторA*  L ( Y * , X * ) и || A ||  || A || .► Из определения 2.6.1 следует линейность оператора A* . Действительно, для любых f , g  Y * ,  ,   () и для любогоx  X имеем229( A* ( f   g ))( x)  ( f   g )( Ax)   f ( Ax)   g ( Ax)   ( A* f )( x)   ( A* g )( x)  ( A* f )( x)  (  A* g )( x)  ( A* f   A* g )( x) ,т.

е. A* ( f   g )   A* ( f )   A* ( g ) .Из (1) следует|| A* f || X *  ||  || X *  || A ||L( X ,Y ) || f ||Y * ,т. е. A*  L ( Y * , X * ) и || A* ||L ( Y * , X * )  || A ||L ( X ,Y ) .Докажем, что|| A ||L ( X ,Y )  || A* ||L ( Y * , X * ) . ЕслиA  O , тоA*  O и || A ||  || A || .Пусть оператор A ненулевой. Для любого элемента x  X такого, что Ax  0 , по следствию 2.1.1 из теоремы Хана  Банаха,найдется функционал f x  Y * , обладающий свойствами: || f x ||  1и f x ( Ax)  || Ax ||Y . Из соотношений|| Ax ||Y  f x ( Ax)  ( A* f x )( x)  || A* || || f x || || x ||  || A* || || x ||следует неравенство || Ax ||Y  || A* || || x || . Если Ax  0 , то этонеравенство очевидно.

Поэтому || A ||L ( X ,Y )  || A* ||L ( Y * , X * ) .Итак, || A ||  || A || . ◄Пример 2.6.1. Пусть A  линейный оператор, отображающийn -мерное пространство  n в m -мерное пространство  m , и пусть(ai j )i 1,...,m  матрица этого оператора. Построим оператор A* .j 1,..., nРавенство y  Ax можно записать в виде системы уравненийnyi   ai j x j , i  1,..., m .j 1По теореме 2.1.5, функционалы f  ( m )* и   ( n )* представимы в видеmni 1j 1f ( y )   fi yi , y   m ,  ( x)    j x j , x   n .230Из равенств ( x)  f ( Ax) mfi 1получим, что  j mi 1iyi mn f ai 1 j 1iijxj nmx  f aj 1ji 1iijf i ai j , j  1,..., n .

Так как   A* f , то отсюдаследует, что оператор A* задается матрицей, транспонированной кматрице оператора A . ■Из определения 2.6.1 вытекают следующие свойства сопряженных операторов:1) ( A  B)*  A*  B* ;2) ( A)*   A* , где   произвольное число.Рассмотрим гильбертово пространство H . Отметим, что в этомпараграфе все гильбертовы пространства рассматриваются над полем комплексных чисел  .Пусть оператор A принадлежит пространству L ( H ) . Зафиксируем произвольный элемент y  H и рассмотрим линейный функционалf ( x)  ( Ax, y ), x  H .Функционал f определен на всем H и непрерывен, так как| f ( x) |  | ( Ax, y ) |  || A || || y || || x ||, x  H .По теореме Рисса 2.1.6, существует единственный элемент z  Hтакой, что f ( x)  ( x, z ), x  H .

Следовательно, для любого y  Hсуществует единственный z  H такой, что( A x , y )  ( x , z ), x  H .Оператор A : H  H , определяемый равенствомA y  z , y  H ,называют эрмитово-сопряженным к оператору A  L ( H ) . Это определение равносильно следующему определению.Определение 2.6.2. Пусть A L ( H ) .

Оператор A : H  Hназывается эрмитово-сопряженным к оператору A , если выполняется равенство( Ax, y )  ( x, A y ) , x, y  H .231Теорема 2.6.2. Если A  L ( H ) , то существует операторA  L ( H ) и || A ||  || A || .Следует подчеркнуть, что определение 2.6.2 отличается от определения 2.6.1. Согласно определению 2.6.1, для оператораA  L ( X ) , действующего в произвольном нормированном пространстве X , сопряженный оператор A* действует в сопряженномпространстве X * и A*  L ( X * ) . По определению 2.6.2, для оператора A  L ( H ) , действующего в гильбертовом пространстве H ,эрмитово-сопряженный оператор A* действует в том же пространстве H и A  L ( H ) .Далее в этом параграфе мы будем рассматривать операторытолько в гильбертовых пространствах H , поэтому, чтобы не усложнять терминологии, эрмитово-сопряженные операторы будемназывать сопряженными операторами.Утверждение 2.6.1.

Пусть A, B  L ( H ) . Тогда справедливыследующие соотношения:1) ( A   B)   A   B ;2) ( AB )  B A ;  A 3) A1 1, если существует A1  L ( H ) ;4) ( A )  A .Определение 2.6.3. Оператор A  L ( H ) называется нормальным, если A A  A A .Определение 2.6.4. Оператор A  L ( H ) называется самосопряженным, если A  A , т. е.( Ax, y )  ( x, Ay ) , x, y  H .Определение 2.6.5. Линейный оператор U , отображающий всепространство H на все H , называется унитарным, если||Ux ||  || x || , x  H .Определение 2.6.6.

Оператор P  L ( H ) называется оператором ортогонального проектирования, или ортопроектором, если Р  Р  и P 2  P .232Утверждение 2.6.2. Оператор P  L ( H ) является ортопроектором тогда и только тогда, когда в гильбертовом пространстве Hсуществует подпространство L такое, что оператор P ставит в соответствие каждому x  H его проекцию на подпространство L .Пример 2.6.2. Найдем сопряженные операторы к операторамAr x  (0, x1 , x2 , x3 ,...) ,Al x  ( x2 , x3 ,...) ,действующим в пространстве l2 .Для любых x, y  l2 рассмотрим скалярное произведение( Ar x, y)  0 y1 + x1 y2  x2 y3  x3 y4  ...

 xn yn 1  ... .Записав его в виде( Ar x, y )  x1 y2  x2 y3  x3 y4  x4 y5  ...  xn yn 1  ...  ( x, ( y2 , y3 , y4 , y5 ,...))  ( x, Ar* y ) ,получим, что Ar* y  ( y2 , y3 , y4 , y5 ,...)  Al y , т. е. Ar*  Al . Так как( A )  A (утверждение 2.6.1), то Al*  Ar .Заметим, чтоAr Ar* x  Al* Al x  Ar Al x  (0, x2 , x3 ,...) ,Ar* Ar x  Al Al* x  Al Ar x  ( x1 , x2 , x3 ,...) .Поэтому операторы Ar и Al не являются нормальными операторами, а также они не являются унитарными. ■Пример 2.6.3. Рассмотрим следующие операторы из пространства L (l2 ) :Ax  ( x2 , x1 , 0, 0, ...) ,Bx  ( x1 , 0, x3 , 0, x5 , 0,...) ,Cx  ( x1 ,  x2 , x3 ,  x4 ,..., (1) n 1 xn ,...) .Найдем сопряженные операторы к этим операторам.

Имеем длявсех x, y  l2 :( Ax, y )   x2 y1 + x1 y2  0 y3  0 y4  ...  x1 y2  x2 ( y1 )  0 y3  ...  ( x, ( y2 ,  y1 , 0, 0,...))  ( x, A* y )  A* y  ( y2 ,  y1 , 0, 0,....) ,233( Bx, y )  x1 y1 + 0 y2  x3 y3  0 y4  x5 y5  0 y6  ...  ( x, ( y1 , 0, y3 , 0, y5 , 0, ...))  ( x, B* y )  B* y  ( y1 , 0, y3 , 0, y5 , 0...)  By ,(Cx, y )  x1 y1  x2 y2  x3 y3  x4 y4  ...  ( x, ( y1 ,  y2 , y3 ,  y4 , ...))  ( x, C * y )  C * y  ( y1 ,  y2 , y3 ,  y4 ,...)  Cy .Так какA* Ax  A* ( x2 , x1 , 0, 0, ...)  ( x1 , x2 , 0, 0, ...) ,A A* x  A( x2 ,  x1 , 0, 0, ...)  ( x1 , x2 , 0, 0, ...) ,то A  несамосопряженный нормальный оператор. Операторы B иC являются самосопряженными и, следовательно, нормальными.Очевидно, что операторы A и B не унитарные. Покажем, чтооператор C унитарный.

Действительно,D(C)  Im(C )  l2и1 2 2|| Cx ||    xn   || x || n 1для всех x  l2 . ■Пример 2.6.4. Самосопряженный операторPx  ( x1 , x2 , x3 , 0, 0,...) ,действующий в пространстве l2 , является ортопроектором, так какP 2  P . При этом оператор P ставит в соответствие каждому элементу x  ( x1 , x2 , x3 , x4 ,...)  l2 его проекцию ( x1 , x2 , x3 , 0, 0,...) натрехмерное подпространствоL   x  l2 : x  ( x1 , x2 , x3 , 0, 0,...), xk  , k  1, 2, 3 . ■234Теорема 2.6.3.

Для оператора A  L ( H ) верны следующие утверждения:1)    ( A)     ( A ) ;2)    r ( A)     p ( A ) ;3)    p ( A)     r ( A )   p ( A ) ;4)    c ( A)     c ( A ) .► 1) Из равенства (( I  A) 1 )*  ( I  A* ) 1 вытекает   ( A)     ( A ) .Так как  ( A)   \  ( A), то утверждение 1) верно.2) Пусть    r ( A) . Тогда Im( I  A)  H . По критерию всюдуплотности линейного многообразия в гильбертовом пространстве(задача 1.5.19), существует x  0, ортогональный линейному многообразию Im( I  A) , т. е.

такой, что (( I  A) z , x)  0 длявсех z  H . Получаем0  (( I  A) z, x)  ( z , ( I  A* ) x) , z  H  ( I  A* ) x  H .Следовательно, ( I  A* ) x  0 , т. е.    p ( A ) .3) Пусть    p ( A) . Тогда существуетx  0 такой, что( I  A) x  0 . Следовательно, (( I  A) x, z )  0 для всех z  H ,и поэтому0  (( I  A) x, z )  ( x, ( I  A* ) z ) , z  H x  Im ( I  A* ) .По критерию всюду плотности линейного многообразия в гильбертовом пространстве, получаем, что Im( I  A* )  H .

Если найдется z  0 такой, что ( I  A* ) z  0 , то    p ( A ) . Если такого zне существует, то    r ( A ) .Итак, доказано, что    r ( A )   p ( A ) .4) Пусть    c ( A) , тогда    ( A ) . Если   r ( A )   p ( A ) ,235то из 2), 3) вытекает, что    r ( A)   p ( A) . Следовательно,    c ( A ) . Так как ( A )  A , то очевидно, что   c ( A )     c ( A) . ◄Утверждение 2.6.3. Нормальный оператор A  L (H ) обладаетследующими свойствами:1)    p ( A)     p ( A ) ;2)  r ( A)   ;3)    ( A)  m  0 : || ( I  A) x ||  m || x ||, x  H ;4)    ( A)   xn n 1  H : || xn ||  1, || ( I  A) xn ||  0 .n Утверждение 2.6.4.

Характеристики

Список файлов книги