1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Следовательно,   0 принадлежит непрерывному спектру оператора E. ■218Пример 2.5.3. Рассмотрим линейный мультипликативный операторA : C[0,1]  C[0,1] , Ax(t )  t x(t ) , x C [0,1],и покажем, что 0   r ( A) .Уравнение Ax  0 имеет в пространстве C[0,1] единственноерешение x  0 , поэтому оператор A обратим.

При этом1lim y (t ), t  0,t 0 tA1 : C [0,1]  C [0,1], A1 y (t )   1 y (t ), t  (0,1], t1D ( A1 )  Im( A)  { y  C [0,1] : существует конечный lim y (t )}t 0 t1и оператор A неограничен (пример 2.2.4). Так какIm( A)  { y  C[0,1] : y (0)  0}  С[0,1] ,то 0   r ( A) . ■Пример 2.5.4. Найдем спектр и резольвенту оператораA  L (l2 ) , Ax  ( x1  x2 , x2 , x3 ,..., xn ,...) .Рассмотрим оператор ( I  A) , где( I  A) x  ((  1) x1  x2 , (  1) x2 , (  1) x3 ,..., (  1) xn ,...) .A .

УравнениеНайдемточечныйспектроператора( I  A) x  0 эквивалентно следующей бесконечной системе уравнений:(  1) x1  x2  0,(  1) x  0,2(  1) x3  0,... ,(  1) xn  0,... .219Если   1 , то система имеет ненулевое решение x  1, 0, 0,...  l2 .Если   1 , то система имеет только нулевое решение. Таким образом, точечный спектр оператора A состоит из одного числа   1 .Итак, если   1 , то существует обратный оператор( I  A) 1 y 11111y1 y,y2 ,y3 ,...,(y ,...) 2 2(  1) 1 1  1 1 n11( y2 , 0, 0,...) .(3)( y1 , y2 , y3 ,...) (  1) 2 1Оператор ( I  A) 1 определен на всем l2 и ограничен, так какпредставим в виде суммы двух операторов из пространстваL (l2 ) .Следовательно,  ( A)   p ( A)  1 и  ( A) =  \{1} .

Резольвента R ( A) оператора A имеет вид (3). ■Пример 2.5.5. Найдем спектр и точечный спектр мультипликативного оператораA L (l2 ) , Ax  (1 x1 , 2 x2 ,..., n xn ,...) , n   , n   .Рассмотрим оператор ( I  A) , где( I  A) x  ((  1 ) x1 ,(  2 ) x2 ,...,(  n ) xn ,...) .Из утверждения 2.5.1 и примера 2.4.2 следует справедливость утверждения:   ( A)   ( I  A) 1  L (l2 )  inf |   n |  0    {   :   n , n  } .nЕсли   n для некоторого n   , то уравнение(n I  A) x  ((n  1 ) x1 , (n  2 ) x2 , (n  3 ) x3 ,..., (n  n ) xn ,...)  0имеет ненулевое решение x  (0, 0, ..., 0,1, 0, 0,...)  l2 .nЕсли   n для всех n   , то уравнение ( I  A) x  0 имеетлишь нулевое решение.220Следовательно, ( A)  {   :   n , n  } ,т. е.

спектр оператора A совпадает с замыканием множества{   :   n , n  } , и p ( A)  {   :   n , n  } . ■Теорема 2.5.1. [17] Пусть X  банахово пространство иA  L ( X ) . Тогда существует конечный пределr ( A)  lim || An || 1/ n ,n называемый спектральным радиусом оператора A . При этомinf || An ||1/ n  r ( A)  || A || .nУтверждение 2.5.6. Пусть A  L ( X ) , тогда1) если |  |  r ( A) , то    ( A) ;2) r ( A)  max |  | . ( A )Пример 2.5.6.

Найдем спектральный радиус и спектр оператораtВольтерра Ax(t )  x( s ) ds , действующего в пространстве C[0,1] .0Рассмотрим последовательностьttx1 (t )   x( s )ds  Ax(t ) , x2 (t )   x1 ( s )ds  Ax1 (t )  A2 x(t ) , … ,00txn (t )   xn 1 ( s )ds  Axn 1 (t )  An x(t ) , … .0Имеем:t| x1 (t ) |   | x( s) | ds  t max | x( s) |  || x || t ,s[0,1]0ttt2| x2 (t ) |   | x1 ( s) | ds   || x || s ds  || x || , …,200tt00| xn (t ) |   | xn 1 ( s ) | ds   || x ||221s n 1tnds  || x || , … .(n  1)!n!Отсюда получаем111max t n || x || || x ||  || An || [0,1]tn!n!n!1 || An || 1 n  n 0.n ! n Следовательно, r ( A)  lim || An ||1 n  0 .|| An x || n Если |  |  r ( A)  0 , то    ( A) .

Так как A  L (C[0,1]) , то ( A)   и, следовательно,  ( A)  {0} .tЗаметим, что если Ax(t )  x( s ) ds  0 для всех t  [0,1] , то0x(t )  0 для всех t  [0,1] , т. е. 0   p ( A) . Так какIm( A)  { y  C[0,1] : y (0)  0}  C[0,1] ,то 0   r ( A) . ■Теорема 2.5.2. Пусть X  банахово пространство. Для оператора A  L ( X ) при |  |  r ( A) справедливо разложениеR ( A)  n 1An .n 0Задачи2.5.1.

Найти спектр и резольвенту оператора A , действующего впространстве X . Классифицировать точки спектра оператора A ,если:а) X  l2 :1) Ax  ( x1 , 2 x2 ,3 x3 ,0,0,...) ,121n2) Ax  ( x1 , (2  ) x2 ,..., (2  ) xn ,...) ,xx2x, x3 , 4 ,..., x2 n 1 , 2 n ,...) ,242n4) Ax  ( x1 , x2  x3 , x3 , x4 ,...) ,3) Ax  ( x1 ,2225) Ax   2 x1 ,  x2 , 2 x3 ,  x4 ..., 2 x2 n 1 ,  x2 n ,... ,6) Ax  ( x1 , 0, x2 , x3 , x4 ,..., xn ,...) ,x2 x3 x4, , ,...) ,2 3 48) Ax  ( x1  x3 , x2 , x3 ,...) ,9) Ax  (0, x2 , 0, x4 , 0, x6 ,...) ,10) Ax  ( x2 , 0, x1 , x4 , x5 ,..., xn ,...) ,11) Ax  ( x1 , 0, 0,...) ,12) Ax  ( x1  2 x2 , x2 , x3 ,...) ,13) Ax  ( x3 , 0, 0,...) ,14) Ax  ( x2 , x1 , x3 , x4 ,..., xn ,...) ,iii15) Ax  (ix1 , x2 , x3 ,..., xn ,...) ,2 3niii16) Ax  (0, 2 x2 , 3 x3 ,..., n xn ,...) ,333ii17) Ax  ((2  i ) x1 , (2  ) x2 ,..., (2  ) xn ,...) ,2n1118) Ax  ((1  i ) x1 , (  i ) x2 ,..., ( 2  i ) xn ,...) ,n419) Ax  ( x1 , 2 x2 ,..., nxn ,...) ;б) X  C[0,1] , L2 [0,1] :1) Ax(t )  t x(t ) ,2) Ax(t )  t 2 x(t ) ,3) Ax(t )  cos t  x(t ) ,4) Ax(t )  (2t  1) x(t ) ,5) Ax(t )  (t  i ) x(t ) ,6) Ax(t )  e 2 it x(t ) ,7) Ax  (0,7) Ax(t )  et i4x(t ) ;223в) X  C[1,1] , L2 [1,1] : 2 x(t ),  1  t  0,(2  t ) x(t ), 0  t  1, 0,  1  t  0,2) Ax(t )  t x(t ), 0  t  1,1) Ax(t )   x(t ),  1  t  0,3) Ax(t )  4)г) X1)2)д) X1)2)te x(t ), 0  t  1,2t x(t ),  1  t  0,Ax(t )  0  t  1; 0, C[2, 2] , L2 [2, 2] :Ax(t )  (t  | t |) x(t ) ,Ax(t )  2(| t |  t ) x(t ) ; C[0,1] :Ax(t )  t x(1) ,Ax(t )  t x(0) ,3t , 0  t  1/ 3, 1, 1/ 3  t  1.2.5.2.

Найти спектр и резольвенту оператора A  L ( X ) . Классифицировать точки спектра оператора A , если:а) X  l2 :1111) Ax  ( x1 , x2 , 2 x3 ,..., n 1 xn ,...) ,222x3 x4xn2) Ax  (0, x2 , , 2 ,..., n  2 ,...) ,2 223) Ax  ( x1  x3 , x2 , x3 ,..., xn ,...) ,4) Ax  ( x1 , 0, x2 , 0, x5 , x6 , x7 ,...) ,5) Ax  ( x1 , x2  i x4 , x3 , x4 ,...) ,6) Ax  (ix1 , 2ix2  ix3 , x3 , x4 ,...) ;3) Ax(t )   (t ) x(t ) , где  (t )  224б) X  C[0,1] :1) Ax(t )  (t 2  1) x(t ) ,2) Ax(t )  t x(1)  x(t ) ,3) Ax(t )  t 2 x(0) ,2t , t  [0,1/ 2], 1, t  (1/ 2,1].2.5.3. Пусть A  L (C [0,1]) , Ax(t )   (t ) x(t )  мультиплика4) Ax(t )   (t ) x(t ) , где  (t )  тивный оператор.

Найти спектр и классифицировать точки спектраоператора A, если:1  t , t  [0,1 2], t , t  (1 2,1];1 2, t  [0,1 2],2)  (t )   t , t  (1 2,1];1)  (t )   t , t  [0,1 3],3)  (t )   1 3, t  (1 3, 2 3) , 2t  1, t  [2 3,1];t  [0,1 3], t,4)  (t )   1 3, t  (1 3, 2 3) , t  1 3 , t  [2 3,1]; 4t , t  [0,1 2) ,5)  (t )   2, t  [1 2,3 4],5  4t , t  (3 4,1];  1, t  [0,1 4) ,6)  (t )  8t  3, t  [1 4,1 2],2  2t , t  (1 2,1];  t , t  [0,1 3) ,2t  1, t  [1 3,1].7)  (t )  2252.5.4. Пусть   C[0,1] , Ax(t )   (t ) x(t )  мультипликативныйоператор в C[0,1] . Найти спектр  ( A) оператора A и доказать, чтоIm( I  A)  C[0,1],    ( A) .Классифицировать точки спектра.2.5.5.

Пусть X  банахово пространство, линейный оператор A определен на X и A2  O . Может ли оператор A иметьненулевое собственное значение?2.5.6. Пусть X  банахово пространство, A  линейный оператор, определенный на всем X , и  p ( A2 )   . Доказать, что p ( A)   .2.5.7. Найти все собственные значения и соответствующие собственные функции оператора A  L (C[  ,  ]) , Ax(t )  x(t ) .2.5.8. Пусть en , n    ортонормированный базис в гильбер-товом пространстве H .

Найти  ( A) и  p ( A) оператора A , определенного следующим образом: Ae1  0, Aen 1  en , n   .2.5.9. Пусть X  банахово пространство, A  L ( X ) и существуетпоследовательность xn   Xтакая,что|| xn ||  1и|| ( I  A) xn ||  0 . Доказать, что    ( A) .

Верно ли обратноеn утверждение? Привести примеры.2.5.10. Пусть X  банахово пространство, A  L ( X ) и   ( A) . Доказать, что найдется число m  0 такое, что|| ( I  A) x ||  m || x || для всех x  X . Верно ли обратное утверждение? Привести примеры.2.5.11. Пусть X  банахово пространство. Для резольвентыR ( A) линейного оператора A : X  X доказать тождество ГильбертаR ( A)  R ( A)  (    ) R ( A) R ( A) ,  ,    ( A) .2262.5.12.

Пусть X  банахово пространство. Для линейного оператора A : X  X доказать равенствоR ( A) R ( A)  R ( A) R ( A) ,  ,    ( A) .2.5.13. Пусть X  банахово пространство, A  L ( X ) . Доказать,что|| R ( A) ||  0 при |  |   .2.5.14. Пусть X  банахово пространство, A  L ( X ) . Найтипроизводную резольвенты R ( A) по параметру    ( A) .2.5.15. Пусть X  банахово пространство, A  L ( X ) . Вычислить интегралы:1)2)3)12 iR ( A) d  , где r  || A || ;12 i R ( A) d  , где r  || A || ; r12 i ( ) R ( A) d  , где r  || A || и функция  ( ) анали- rrтична на всей комплексной плоскости  .2.5.16.

Характеристики

Список файлов книги