1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

Пусть   C[0,1] и A  L (L2 [0,1]) , Ax(t )   (t ) x(t ) мультипликативный оператор. Найти спектр  ( A) и доказать, что ( A)   p ( A)   c ( A) .13)  (t )  2.6.20. Пусть A  L (H ) . Доказать, что операторы A A и AAимеют одинаковые ненулевые собственные значения.2.6.21. Доказать, что собственные элементы самосопряженногооператора в гильбертовом пространстве, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.2.6.22.

Пусть A  L (H ) . Доказать, что1) Ker ( AA )  Ker ( A ) ;2) Im ( A )  (Ker (A))  ;3) Im ( A)  (Ker (A ))  ;4) (Im ( A))   Ker (A ) ;2455) (Im ( A ))   Ker (A) ;6) (Ker ( A))   Im (A ) ;7) (Ker ( A ))   Im ( A) .2.6.23. Доказать следующие свойства унитарного оператора U ,действующего в гильбертовом пространстве H :1) || U ||  I ;2) существует оператор U 1 , являющийся унитарным;3) U U  UU   I ;4) U   U 1 ;5) (Ux, Uy )  ( x, y ) , x, y  H ;6)  (U )  {    : |  |  1} .2.6.24. ПустьU  L (H ) , U U  UU   I .Доказать, что оператор U является унитарным.2.6.25. ПустьA  L ( H ) , A  A и Im( A)  H .Доказать, что существует оператор A1  L ( H ) .2.6.26.

Пусть A  L ( H ) , A  A . Доказать, что если для действительного числа  верно равенство Im( I  A)  H , то   регулярная точка оператора A .2.6.27. Пусть P  ортопроектор в гильбертовом пространстве H . Доказать, что L  { x  H : Px  x }  подпространствов H , и оператор P ставит в соответствие каждому x  H ортогональную проекцию x на подпространство L .2.6.28. Пусть L подпространство в гильбертовом пространстве H . Доказать, что оператор, ставящий в соответствие каждомуx  H ортогональную проекцию x на подпространство L , является ортопроектором.2462.6.29.

Доказать следующие свойства ненулевого ортопроектора P  L ( H ) :1) || P ||  1 ;2) || Px ||2  ( Px, x) , x  H ;3) существует оператор  I  P   L ( H ) .12.6.30. Найти спектр и резольвенту ортопроектора P в гильбертовом пространстве H .2.6.31. Найти спектры операторов A, B  L (l2 ) и классифицировать точки спектров, если:1) Ax  (0, 2 x1 , x2 , x3 ,...) , Bx  (2 x2 , x3 , x4 ,...) ;2) Ax  (0, x1 ,3 x2 , x3 , x4 ,...) , Bx  ( x2 ,3 x3 , x4 , x5 ,...) ;3) Ax  (0, x1 , x2 , 4 x3 , x4 , x5 ,...) , Bx  ( x2 , x3 , 4 x4 , x5 , x6 ,...) ;4) Ax  (0, 2 x1 , 2 x2 , x3 , x4 ,...) , Bx  (2 x2 , 2 x3 , x4 , x5 ,...) .247§ 2.7.

Теоремы Банаха о свойствахограниченных операторовТеорема Банаха – Штейнгауза (принцип равномерной ограниченности), теорема о полноте пространства L ( X , Y ) в смыслесильной сходимости, критерий сильной сходимости последовательности операторов. Замкнутые операторы и их свойства.Теорема Банаха о замкнутом графике.Теорема 2.7.1 (теорема Банаха  Штейнгауза, принцип равномерной ограниченности).

Пусть X  банахово, Y  нормированное пространства и An  L ( X , Y ) , n   . Если для любогоx  X последовательность  An x ограничена в Y , то последова-тельность || An || также ограничена.Теорема 2.7.2. Если пространства X , Y банаховы, то пространство L ( X , Y ) банахово в смысле сильной сходимости (т. е.если An  L ( X , Y ) , n   , и для каждого x  X последовательность An xфундаментальна в Y , то найдется операторsA  L ( X , Y ) такой, что An  A ).► Пусть An  L ( X , Y ) , n   . Если для каждого x  X последовательность An xфундаментальна в банаховом пространствеY , то она сходится. ПоложимAx  lim An x, x  X .n Очевидно, что оператор A определен на всем пространстве X ,действует в пространство Y и линеен.Докажем, что оператор A ограничен.

Так как фундаментальнаяпоследовательность в нормированном пространстве ограничена, тодля любого x  X фундаментальная последовательность  An xограничена в Y . По теореме Банаха  Штейнгауза, последовательность норм || An || этих операторов также ограничена, т. е. найдет-248|| An ||  K , n   . Поскольку|| An x ||  K || x || и || An x ||  || Ax || для каждого x  X , тоK 0ся числотакое, чтоn || Ax ||  K || x || , x  X .Следовательно, оператор A ограничен, т. е.A  L( X ,Y ) , иsAn  A .

◄Теорема 2.7.3 (критерий сильной сходимости последовательности операторов). Пусть X  банахово, Y  нормированноепространства и An , A  L ( X , Y ) , n   . Последовательностьоператоров  An  сильно сходится к оператору A тогда и толькотогда, когда1) последовательность || An || ограничена;2) An x  Ax для любого x   , где   X  множество, лиn нейная оболочка которого всюду плотна в X .Замечание 2.7.1. Утверждение теоремы 2.7.3 остается в силе, если в условии 2) последовательность { An x} сходится к Ax для любого x из множества, всюду плотного в банаховом пространстве Х .Пример 2.7.1. Пусть X  Y  l2 ,An x  ( x1 ,..., xn 1 , nxn , xn 1 ,...) , n  .Очевидно, что в гильбертовом пространстве l2 элементы ортонормированного базиса en  (0,.., 0,1, 0, 0,...) , n   , образуют множеnство  , линейная оболочка которого всюду плотна в l2 (пример 1.4.5). Для любого элемента ek имеем || An ek  ek ||  0 ,n k   .

При этом последовательность операторов { An } не сходитсясильно к тождественному оператору I . Действительно, если11x  (1, ,..., , ....)  l2 , тоn2n 1|| An x  I x ||  0.n249Заметим, что этот результат не противоречит критерию сильнойсходимости операторов, так как последовательность норм|| An ||  n не является ограниченной. ■Пусть X , Y являются одновременно вещественными или комплексными нормированными пространствами.Определение 2.7.1. Прямым произведением пространств X , Yназывается пространствоX  Y   z : z  ( x, y ), x  X , y  Y , || z ||  || x ||x  || y || y  ,где для любых пар z1  ( x1 , y1 ), z2  ( x2 , y2 ) и для любых чи-сел  ,  z1 + z2   x1 + x2 ,  y1 + y2  .Пространство X  Y банахово тогда и только тогда, когда Xи Y  банаховы пространства.Определение 2.7.2. Графиком оператора A : X  Y называется множествоG ( A)  ( x, Ax) : x  D( A)  X  Y .Определение 2.7.3.

Линейный оператор A : X  Y называетсязамкнутым, если его график G ( A) есть замкнутое множество впространстве X  Y , т. е. если xn  D ( A) , n   , xn  x иAxn  y , то x  D( A) и y  Ax .Замечание 2.7.2. Пусть линейный оператор A : X  Y определен на всем пространстве X , т. е. D( A)  X . Тогда замкнутостьоператора A означает, что если xn  x и Axn  y , то y  Ax .Пример 2.7.2. Рассмотрим мультипликативный операторA : l2  l2 , Ax  (1 x1 ,..., n xn ,...) , n   () , n   .Если sup | n |   , то A  L (l2 ) (пример 2.2.1), и поэтому опеnратор A замкнут.

Действительно, если xn  x и Axn  y , то всилунепрерывностиоператорат. е. y  Ax .250AсправедливоAxn  Ax ,Если sup | n |   , то оператор A неограничен. При выполнеnнииусловияinf | n |  0nсуществуетобратныйоператорA1  L (l2 ) (пример 2.4.2). Так как оператор A1 является замкнутым, то замкнут и обратный к нему оператор A  ( A1 ) 1 (задача 2.7.10).Так, например, операторA : l2  l2 , Ax  ( x1 , 2 x2 ,..., nxn ,...) ,замкнут и неограничен. ■Пример 2.7.3. Операторx(t )m, t  0,tli0 tA : С[0,1]  С[0,1] , Ax(t )   x(t ) , t  (0,1],tx(t )D( A)  {x  C[0,1] : существует конечный lim},t 0 tнеограничен, но замкнут как обратный к операторуA1  L (С[0,1]) , A1 y (t )  t y (t ) . ■Теорема 2.7.4 (теорема Банаха о замкнутом графике).

ПустьX , Y  банаховы пространства, линейный оператор A : X  Yзамкнут и D( A)  X . Тогда оператор A ограничен.Следствие 2.7.1. Если замкнутый оператор A взаимно однозначно отображает все банахово пространство X на все банаховопространство Y , то обратный оператор A1 принадлежит пространству L (Y , X ) .► Доказательство утверждения следует из теоремы Банаха озамкнутом графике и теоремы Банаха об обратном операторе (теорема 2.4.2).◄Следствие 2.7.2. Пусть X , Y  банаховы пространства, линейный оператор A : X  Y замкнут и D( A)  X  подпространствов X .

Тогда оператор A ограничен.251► Утверждение следует из теоремы Банаха о замкнутом графикеи того, что подпространство D( A) с введенной на нем нормой пространства X образует банахово пространство. ◄Замечание 2.7.3. Пусть X , Y  нормированные пространства.Для линейного оператора A : X  Y , определенного на всем пространстве X , рассмотрим три условия:1) xn  x в X ,2) Axn  y в Y ,3) y  Ax .Имеем:из 1) следуют 2), 3);оператор A непрерывеноператор A замкнутиз 1), 2) следует 3).Замечание 2.7.4.

Пусть X  комплексное банахово пространство, A : X  X – замкнутый оператор. Тогда   ( A)   ( I  A)1 L ( X ) .► Доказательство утверждения аналогично доказательству утверждения 2.5.1. ◄Задачи2.7.1. Пусть X  банахово, Y  нормированное пространства иAn , A L ( X , Y ) , n  1, 2,... . Доказать, чтоs1) если An  A, то последовательность || An || ограничена;2) если для любого x  X последовательность An xфунда-ментальна в Y , то последовательность || An || ограничена.2.7.2.

Пусть X  банахово пространство, An , A  L ( X ) , n   ,sи An  A, xn  x . Доказать, что An xn  Ax .2.7.3. Пусть X  банахово пространство и An , Bn , A, B  L ( X ) ,sssn   . Доказать, что если An  A , Bn  B , то An Bn  AB .2.7.4. Пусть X , Y  банаховы пространства и B : X  X  Y билинейная форма, непрерывная по каждому аргументу. Доказать,что форма B непрерывна.2522.7.5. Пусть X  пространство всех непрерывно дифференцируемых на отрезке [0, 2] функций x с нормой|| x ||  max | x(t ) | .0t  2Рассмотрим операторы An : X  C[0,1] , n   , задаваемые формулойAn x(t )  n  x(t  1/ n)  x(t )  , t  [0,1] .Доказать, что существует линейный оператор A : X  C[0,1] такой, что || An x  Ax ||  0 для всех x  X , но последовательностьn || An || не ограничена. Как согласуется это утверждение с критерием сильной сходимости последовательности операторов?2.7.6.

Характеристики

Список файлов книги