1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

е.sup | Fxn ( f )  Fx ( f ) |  0 .n || f || 12.8.15. Пусть {en , n  }  ортонормированный базис в сепараwбельном гильбертовом пространстве. Доказать, что en  0.wxn  x в гильбертовом пространстве H2.8.16. Пустьиs|| xn ||  || x || .

Доказать, что xn  x .wxn  x в гильбертовом пространстве H2.8.17. ПустьиwA  L  H  . Доказать, что Axn  Ax.2.8.18. Пусть X , Y  банаховы пространства, A : X  Y  линейный оператор и D ( A)  X . Доказать, что оператор A непрерывен тогда и только тогда, когда он переводит любую сильно сходящуюся в X последовательность в последовательность, слабо сходящуюся в Y , т. е.sxn  x в XwAxn  Ax в Y .2.8.19.

Пусть последовательность xn слабо сходится к x внормированном пространстве X . Доказать, что|| x ||  lim || xn || .2.8.20. Пусть последовательность xn слабо сходится к x впространстве l2 и || xn ||  1, n   . Доказать, что || x ||  1 .2.8.21. Пусть x  l2 и || x ||  1 . Доказать, что в пространстве l2найдется последовательность xn wи xn  x .277такая, что || xn ||  1, n   ,2.8.22. Пусть X  банахово, Y  нормированное пространства,An  L ( X , Y ) , n   , и для каждого x  X и каждого f  Y  су-ществует константа cx , f , зависящая от x и f , такая, чтоsup| f ( An x) |  cx , f .nДоказать, что последовательность { An } ограничена в пространстве L ( X , Y ) .2.8.23.

Пусть X  банахово, Y  нормированное пространства иwAn , A L  X , Y  , n   . Доказать, что если An  A , то последовательность { An } ограничена в пространстве L ( X , Y ) .2.8.24. Доказать, что в нормированном пространстве множествоограничено тогда и только тогда, когда оно слабо ограничено.2.8.25. Доказать, что слабо фундаментальная последовательностьв нормированном пространстве ограничена.2.8.26.

Доказать, что1) фундаментальная последовательность в нормированном пространстве является слабо фундаментальной;2) последовательность xn (t )  t n , n   , слабо фундаментальна,но не фундаментальна в пространстве C[0,1] .2.8.27. Является ли последовательность xn  (0,..., 0,1, 0, 0,...) ,nn   , слабо фундаментальной в пространстве X , если:1) X  l2 ;2) X  l1 ;3) X  c0 ?2.8.28. Доказать, что слабо полное нормированное пространствоявляется полным. Привести пример полного нормированного пространства, не являющегося слабо полным.2.8.29. Является ли пространство X слабо полным, если:1) X  C [a, b] ;2) X  c0 ?2.8.30.

Доказать, что рефлексивное пространство слабо полно.2.8.31. Доказать, что пространство l1 слабо полно.2782.8.32. Пусть X  нормированное пространство. Доказать, чтолюбой замкнутый шар B[a, R ]  X * замкнут в X * относительно -слабой сходимости, т. е.{ f n }  B[a, R]* wf n  f  f  B[a, R] .2.8.33. Доказать, что в сепарабельном гильбертовом пространстве H из любой ограниченной последовательности можно выделитьподпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторому элементу x  H .2.8.34. Доказать, что в сепарабельном гильбертовом пространстве любой замкнутый шар B[a, R] компактен относительно слабойсходимости, т. е.w{xn }  B[a, R]  {xnk }  x  B[a, R] : xnk  x .k w2.8.35.

Пусть X  нормированное пространство и xn  x в X .Доказать, что если множество x : x  xn , n  sкомпактно в X , то xn  x .279относительно§ 2.9. Компактные операторыЛинейные компактные (вполне непрерывные) операторы.Примеры компактных операторов в различных пространствах.Свойства компактных операторов. Лемма Рисса о почти перпендикуляре, критерий компактности тождественного оператора в нормированном пространстве. Теорема Рисса  Шаудерао спектре компактного оператора. Теорема Гильберта Шмидта о полноте системы собственных элементов самосопряженного вполне непрерывного оператора в гильбертовомпространстве. Теоремы Фредгольма о разрешимости линейныхоператорных уравнений с вполне непрерывными операторами.Определение 2.9.1. Линейный оператор A , определенный нанормированном пространстве X и действующий в нормированноепространство Y , называется компактным или вполне непрерывным,если он отображает любое ограниченное множество пространства X в относительно компактное множество пространства Y .Утверждение 2.9.1.

Для линейного оператора A : X  Y следующие свойства эквивалентны:1) оператор A компактный;2) оператор A отображает единичный шар B[0,1] пространства X в относительно компактное множество пространства Y ;3) для любой ограниченной последовательности  xn   X най-дется подпоследовательность Axnk , сходящаяся в Y .Из определения 2.9.1 следует, что компактный операторA : X  Y принадлежит пространству   X , Y  . Покажем, что обратное утверждение неверно.Пример 2.9.1. Рассмотрим оператор левого сдвигаAl   (l2 ) , Al x  ( x2 , x3 , x4 ,...) .Для ограниченной последовательностиxn  (0, 0,..., 0,1, 0, 0,...) , n   ,n1280последовательность Al xn  (0, 0,..., 0,1, 0, 0,...) не имеет сходящейсяnв l2 подпоследовательности, так как || Al xn  Al xm || 2 приn  m . Следовательно, оператор Al не является компактным.Заметим, что оператор правого сдвига Ar  Al*   (l2 ) также неявляется компактным оператором.

■Пример 2.9.2. Рассмотрим мультипликативный операторA  (C[0,1]) , Ax(t )  t 2 x(t ) .Для ограниченной в C[0,1] последовательности xn (t )  t n , n   ,последовательность Axn (t )  t n 2 не имеет сходящейся в C[0,1]подпоследовательности (на отрезке [0,1] любая ее подпоследовательность поточечно сходится к разрывной функции).

Следовательно, оператор A не является компактным. ■Пример 2.9.3. Мультипликативный операторA : l2  l2 , Ax  (1 x1 , 2 x2 ,..., k xk ,...) , k   () , k   ,является компактным тогда и только тогда, когда k  0 .Пусть оператор A компактный. Предположим, что k  0 , тогда  0  0 {kn } : | kn |   0 , n   .Рассмотрим ортонормированную последовательностьxn  (0, 0,..., 0,1, 0, 0,...) , n   .Так как для всех n  mkn|| Axn  Axm ||2  || Axn ||2  || Axm ||2  | kn |2  | km |2  2 0 2 ,то множество  Axn  не относительно компактно в пространстве l2 .Следовательно, k  0 .Пусть k  0 .

Докажем, что оператор A является компактным.Для этого покажем, что оператор A отображает единичный шарB[0,1] пространства l2 в относительно компактное множество.281Для доказательства относительной компактности множества Ax : || x ||  1воспользуемся критерием относительной компакт-ности множества в пространстве l2 (утверждение 1.3.4).Пусть || x ||2 | xk 1k|2  1 . Тогда множество  Ax : || x ||  1 ог-раничено, так как|| Ax || 2  | k xk | 2  max | k | 2  | xk | 2  max | k | 2 .kk 1kk 1Зафиксируем произвольное число   0 . Так как k  0 , то найдется натуральное число K  1 такое, что | k |  при k  K .Тогда для всех k  K и для всех x  B[0,1] имеем| mkx |2  m m| xmm K| 2    | xm | 2   .m 1Таким образом, множество  Ax : || x ||  1 относительно компактнов пространстве l2 .

Компактность оператора A доказана. ■Утверждение 2.9.2. Пусть X , Y  нормированные пространства.1) Если X или Y  конечномерное пространство иA  L ( X , Y ) , то A  компактный оператор.2) Если A, B  L ( X , Y )  компактные операторы, то их линейная комбинация также является компактным оператором.3) Если A, B  L ( X ) и B  компактный оператор, то AB,BA  компактные операторы.4) Если Y  банахово пространство, An , A  L (X , Y ), n   ,An  компактные операторы и An  A , то оператор A компактен.w5) Если A  L ( X , Y )  компактный оператор и xn  x в X , тоsАxn  Аx в Y .282Если X  нормированное, а Y  банахово пространства, томножество компактных операторов образует подпространство впространстве L ( X , Y ) . Простейшим примером ограниченного, нонекомпактного оператора является тождественный оператор I вбесконечномерном нормированном пространстве.

Чтобы доказать,что в бесконечномерном нормированном пространстве X единичный шар не является относительно компактным множеством, воспользуемся следующей леммой.Лемма 2.9.1 (лемма Рисса о почти перпендикуляре). ПустьL  подпространство нормированного пространства X , L  X .Тогда  (0,1)  y  X : || y ||  1,  ( y , L)  1   .Заметим, что в гильбертовом пространстве H для любого подпространства L  H найдется элемент y  H такой, что || y ||  1и  ( y, L)  1 .

Этот элемент принадлежит ортогональному дополнению L . По аналогии, элементы y  X , удовлетворяющие условиям леммы Рисса, называют почти перпендикулярами.Следствие 2.9.1. Пусть x1 ,..., x n ,... – линейно независимые элементы нормированного пространства X . Обозначим через X nподпространство, порожденное элементами x1 ,..., x n , n   . Тогданайдется последовательность элементов y1 ,..., y n ,... , удовлетворяющих следующим условиям:1) || yn ||  1, n   ,2) y n  X n , n   ,1, n  2,3,... .xX n12► Конечномерные подпространства X n обладают свойством3)  ( yn , X n 1 )  inf  ( yn , x) X 1  X 2  ...

 X n 1  X n  ... ,283так как x1 ,..., xn  X n и x n  X n 1 (n  2,3,...) . Пусть y1 x1.|| x1 ||Для нахождения следующих y n (n  2,3,...) применим лемму Рисса, последовательно полагая1X  X n , L  X n 1 ,   , n  2,3,... . ◄2Теорема 2.9.1 (критерий конечномерности нормированногопространства). Для того чтобы нормированное пространство Xбыло конечномерным, необходимо и достаточно, чтобы любое ограниченное в X множество было относительно компактнымв X.►  Справедливость этого утверждения следует из существования изоморфизма между конечномерным нормированным пространством и конечномерным евклидовым пространством той жеразмерности (теорема 1.4.1). Пусть пространство X бесконечномерно. В силу следствия 2.9.1, в единичном шаре B[0,1] пространства X найдется последовательность y1 ,..., y n ,...

такая, что|| yn  ym || 1, n  m.2Следовательно, единичный шар не относительно компактен в бесконечномерном нормированном пространстве X . Получаем противоречие с условием теоремы. ◄Следствие 2.9.2. Тождественный оператор I , определенный нанормированном пространстве X , компактен тогда и только тогда,когда X – конечномерное нормированное пространство.Теорема 2.9.2 (теорема Шаудера). Пусть X  нормированное,Y  банахово пространства и A    X , Y  . Оператор A компактен тогда и только тогда, когда оператор A* компактен.Утверждение 2.9.3.

Характеристики

Список файлов книги