1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

Ненулевые собственные значения  интегрального оператора (9) и характеристические числа1соответст-вующего интегрального уравнения (11) взаимно обратны. Поэтомуиз свойств уравнения (11), полученных с использованием теорииФредгольма, следует, что для интегрального уравнения (1) справедливы следующие утверждения:3121) если   не характеристическое число уравнения (1), то длялюбой правой части f уравнение (1) имеет единственное решение x . При этом имеется непрерывная зависимость x от f ;2) если   характеристическое число уравнения (1), то дляданной правой части f уравнение (1) имеет решение тогда и только тогда, когда выполнено условие разрешимостиb f (t )  (t ) dt  0 ,(14)aгде  – любое решение однородного уравненияb ( s)    K (t , s)  (t ) dt  0 .aВ этом случае существует бесконечно много решений x уравнения (1);3) если   характеристическое число уравнения (1) и для данной правой части f не выполнено условие разрешимости (14), тоуравнение (1) не имеет решений;4) если   характеристическое число уравнения (1), то однородные уравненияbbaax( s )    K ( s, t ) x(t ) dt  0 и  ( s )    K (t , s )  (t ) dt  0имеют одинаковое конечное число линейно независимых решений.Задачи2.10.1.

Найти все решения интегрального уравненияx( s )    sin( s  t ) x(t ) dt  cos s ,    .02.10.2. При каких значениях параметра    однородное уравнениеx( s )    sin( s  t ) x(t ) dt  00имеет ненулевые решения? Найти эти решения.3132.10.3. Пусть   характеристическое число уравненияx( s )    sin( s  t ) x(t ) dt  f ( s ) .0При каких условиях на функцию f это уравнение имеет решения?Найти эти решения.2.10.4. Решить интегральные уравнения и ответить на следующие вопросы: для каких значений параметра  решение существует и единственно; для каких значений  решения не существует; для каких значений  существует бесконечно много решений; для каких значений  соответствующее однородное уравнениеимеет ненулевые решения?11) x( s )   sin s x(t ) dt  2 s ;012) x( s )   (3s  2) t x(t ) dt  1 ;03) x( s )   t sin s x(t ) dt 013s 2;4) x( s )   ( s  t  2 st ) x(t ) dt  s  s 2 ;015) x( s )   ( s 2  2 st ) x (t ) dt  s 3  s ;126) x( s )   sin 2 s x(t ) dt  2 s   ;07) x( s )  4 tg t x(t ) dt  ctg s ;43148) x( s )   cos( s  t ) x(t ) dt  cos 3s ;029) x( s )   sin s cos t x(t ) dt  sin s ;0110) x( s )   ( s ln t  t ln s ) x(t ) dt 06(1  4s ) ;511) x( s )   cos 2 s x(t ) dt  1 ;0112) x( s )   s et x(t ) dt  s ;1113) x( s )   (2 st  4 s 2 ) x(t ) dt  s 2 ;0114) x( s )   (5s 2  3) t 2 x(t ) dt  e s ;0115) x( s )   ei ( s t ) x(t ) dt  e 2 s ;0116) x( s )   (3s  2i ) t x(t ) dt  2 ;0117) x( s )   ( s  it ) x(t ) dt  2i ;1118) x( s )   (t  2is ) x(t ) dt  s .02.10.5.

Найти спектр и резольвенту оператора A  L  X  , еслиа) X  C[0,1] , б) X  L2 [0,1] и11) Ax( s ) s t x(t ) dt ;031512) Ax( s )  s t x(t ) dt ;013) Ax( s )  s 2t x(t ) dt ;014) Ax( s )  (3s  2) t x(t ) dt ;015) Ax( s )  (2 st  4 s 2 ) x(t ) dt ;016) Ax( s )  e s  2t x(t ) dt ;017) Ax( s )  (2 s  st ) x(t ) dt ;018) Ax( s )  ( s t  st ) x(t ) dt ;019) Ax( s )  (3s  2i ) t x(t ) dt ;0110) Ax( s )  e 2 i ( s t ) x(t ) dt ;0111) Ax( s )  (2sin s  i cos t ) x(t ) dt ;0112) Ax( s )  (st  is 2 ) x(t ) dt ;0113) Ax( s )  (is  it ) x(t ) dt ;0114) Ax( s )  (ist  it 2 ) x(t ) dt .03162.10.6. Найти спектр и резольвенту оператора A  L  X  , если:11) X  C[0,1] , Ax( s )  3 ( s 2  st ) x(t ) dt ;02) X  L2 [0, ) , Ax( s ) e s tx(t ) dt .02.10.7.

Для каких непрерывных функций f уравнение1x( s )    e s t x(t ) dt  f ( s )0имеет решения, если   характеристическое число этого уравнения? Найти эти решения.2.10.8. Для каких непрерывных функций f следующие уравнения имеют решения:11) x( s )  x(t ) dt  f ( s ) ;02) x( s ) 12sin s x(t ) dt  f ( s ) ;2 03) x( s ) 1| s | x(t ) dt  f ( s ) ;4 2214) x( s )  5 s 3t x(t ) dt  f ( s ) ;05) x( s ) 122ei ( s t )x(t ) dt  f ( s ) ;016) x( s )  2 se 2 i ( s t ) x(t ) dt  f ( s ) ?0Найти эти решения.3172.10.9. Для каких значений параметра    и при каких условиях на непрерывную функцию f следующие уравнения а) неимеют решений; б) имеют бесконечно много решений:11) x( s )   (3s t  5s 2t 2 ) x(t ) dt  f ( s ) ;12) x( s )   cos( s  t ) x(t ) dt  f ( s ) ;013) x( s )   (3s  2) t x(t ) dt  f ( s ) ;014) x( s )   ( s  t  2 st ) x(t ) dt  f ( s ) ;015) x( s )   (2 st  4 s 2 ) x(t ) dt  f ( s ) ;016) x( s )   2 s ln t x(t ) dt  f ( s ) ?02.10.10.

Для каких значений параметра    уравнение1x( s )    ( s 2  t ) x(t ) dt  f ( s )0имеет единственное решение для любой непрерывной функции f ?Найти это решение.318Глава 3. Интеграл Римана  Стилтьеса§ 3.1. Функции ограниченной вариации *Функции ограниченной вариации и их свойства.В этой главе рассматриваются вещественные функции.Определение 3.1.1. Функция f , заданная на отрезке [ a , b] , называется функцией с ограниченным изменением или функцией ограниченной вариации, если существует такая константа C  0 , что длялюбого разбиения отрезка [ a , b] точкамиa  x0  x1    xn  bвыполнено неравенствоn| f (x )  f (xk 1k 1k)|  C .Определение 3.1.2.

Пусть f  функция с ограниченным изменением на отрезке [ a , b] . Полным изменением или полной вариациейфункции f на отрезке [ a , b] называется величинаnVab [ f ]  sup  | f ( xk )  f ( xk 1 ) | ,k 1где супремум берется по всевозможным разбиениям отрезка [ a , b] .Утверждение 3.1.1. Функция f ограниченной вариации на отрезке [ a , b] ограничена.*Доказательства всех утверждений этого параграфа можно найти в [2; 8;10].319► Справедливость утверждения следует из неравенства| f ( x) |  | f ( x)  f (a ) |  | f ( a) |  Vab [ f ]  | f (a) |  K , x  [ a, b] .

◄Пример 3.1.1. Монотонная на отрезке [ a , b] функция f естьфункция ограниченной вариации и Vab [ f ]  f (b)  f ( a ) .Не ограничивая общности, можно считать, что f является неубывающей функцией, т. е. f ( x )  f ( y ) при x  y . Тогда длялюбого разбиения отрезка [ a , b] имеемn | f ( xk )  f ( xk 1 ) | k 1n ( f (x )  f (xkk 1k 1))  f (b)  f ( a ) . ■Пример 3.1.2.

Функция f , удовлетворяющая на отрезке [ a , b]условию Липшица с константой K  0 , т. е.| f ( x)  f ( y) |  K | x  y | , x, y  [ a, b],есть функция ограниченной вариации.Действительно, Vab [ f ]  K (b  a ) , так как для любого разбиенияотрезка [ a , b] справедливо неравенствоnnk 1k 1 | f ( xk )  f ( xk 1 ) |  K  | xk  xk 1 |  K (b  a) . ■Пример 3.1.3. Неограниченная функция 0, x  0,f ( x)   1 x , 0  x  1,не является функцией с ограниченным изменением на отрезке [0,1](см. утверждение 3.1.1). ■Пример 3.1.4. У постоянных на отрезке [ a , b] функций, и толькоу них, полная вариация Vab [ f ] равна нулю. ■Утверждение 3.1.2.

Функции f с ограниченным изменением наотрезке [ a , b] обладают следующими свойствами:1) Vab [ f ]  |  | Vab [ f ] для любого числа  ;3202) если f и g – функции с ограниченным изменением, тофункция f  g также имеет ограниченное изменение иVab [ f  g ]  Vab [ f ]  Vab [ g ];3) если a  c  b , то Vab [ f ]  Vac [ f ]  Vcb [ f ] ;4) функцияv( x)  Vax [ f ] , x  [ a, b] ,является неубывающей на отрезке [ a , b] .Из утверждения 3.1.2 следует, что функции с ограниченным изменением на отрезке [ a , b] образуют линейное пространство (в отличие от множества монотонных функций, которые линейного пространства не образуют).Пример 3.1.5.

Найдем полную вариацию функции x 3 , x  [0,1) ,f ( x)   3, x  1,3  x, x  (1,3],на отрезке [0, 3] . В силу утверждения 3.1.2V03[ f ]  V01[ f ]  V13 [ f ] .На отрезке [0,1] функция f возрастает, поэтомуV01[ f ]  f (1)  f (0)  3(см. пример 3.1.1). На отрезке [1, 3] функция f убывает, поэтомуV13 [ f ]  f (1)  f (3)  3 .Окончательно получаем, что V03 [ f ]  6 . ■Теорема 3.1.1. Для того чтобы функция f была функцией с ограниченным изменением на отрезке [ a , b] , необходимо и достаточно, чтобы f была представима в виде разности двух неубывающих функций.►  Функцияv( x)  Vax [ f ], x  [a, b] ,не убывает на отрезке [ a , b] (утверждение 3.1.2, п.

4). Покажем, чтофункция321g ( x)  v ( x )  f ( x ), x  [a, b] ,также является неубывающей.Действительно, пусть x  y , тогдаg ( y )  g ( x )  v ( y )  v ( x )  ( f ( y )  f ( x )) .(1)Из неравенства | f ( y )  f ( x) |  v( y )  v( x)  V [ f ] следует, чтоправая, а значит, и левая части равенства (1) неотрицательны. Итак,f  v  g , где v и g  неубывающие функции. справедливость этого утверждения следует из утверждения3.1.2, п. 2 и примера 3.1.1. ◄Пример 3.1.6.

Характеристики

Список файлов книги