1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

1) Указание. Воспользоваться теоремой Кантора  Бернштейнаили построить взаимно однозначное соответствие между элементами рассматриваемых множеств. П28. Указание. Рассмотреть множество всехфункций, определенных на отрезке  0,1 .Глава 1§ 1.11.1.3. 2) Нет; 3) да. 1.1.5.

1) Указание. Воспользоваться монотонностьюфункции  ( ) на множестве [0, ) . 1.1.6. Может. 1.1.15. 1) Нет;1 2) да. 1.1.17. 1) Нет; 2) нет. 1.1.30. Нет. 1.1.32. 1) X  c0 , l : ограничено,замкнуто; X  l1 , l2 : не ограничено, замкнуто; 2) X  c0 , l1 , l2 , l : не ограничено, замкнуто; 5) X  c0 , l2 , l : ограничено, замкнуто; X  l1 : неограничено, замкнуто; 7) X  c0 , l : ограничено, не замкнуто; X  l1 , l2 :не ограничено, не замкнуто; 10) X  c0 , l1 , l2 , l : ограничено, замкнуто.1.1.33.

1) Ограничено, замкнуто; 5) не ограничено, не замкнуто; 9) не ограничено, замкнуто; 11) ограничено, не замкнуто. 1.1.36. 1) Замкнуто; 2) незамкнуто и не открыто. 1.1.37. Р[a, b]  C[a, b] . 1.1.41. 2) X  12 : ( x, M )  1 , y  (0, 0)  наилучший элемент приближения точки x элементами множества M ; 3) X   2 :  ( x, M )  1 , y  (0, ),   [1,1] ,  наилучшие элементы приближения точки x элементами множества M .1.1.42.  ( x, M )  1 , наилучшего элемента приближения точки x элемента11, y (t )  наи22лучший элемент приближения точки а элементами множества A ;112)  (a, A)  ,y (t )   наилучший элемент приближения;2233y (t )  наилучший элемент приближения.3)  (a, A)  ,22ми множества M не существует.

1.1.43. 1)  (a, A)  3541.1.44. 1)  3) Возможно.1.1.45.A, B–замкнутыемножества, ( A, B)  0 . 1.1.47. 1) М  l2 . 1.1.48. Не будет. 1.1.49. Будет. 1.1.52. Указание. См. доказательство в [7, с. 50]. 1.1.53  1.1.54. Указание. См. доказательство в [8, гл. 2].§ 1.21.2.2. Указание.

Доказать фундаментальность последовательности {n } . 1.2.4. В C[0,1] последовательность xn (t )  t n не является фунда-ментальной,таккак (t n , t 2 n ) 1, n .41.2.10.Пусть11xn  (1, ,..., , 0,...) , n   , тогда в пространстве l p ( 1  p   ) последо2n11вательность {xn } сходится к x  (1, ,..., ,...) . В пространстве l1 последоn2вательность {xn } не сходится, так как она не фундаментальна2n1n 1 ). 1.2.13.

1) Нет; 2) да. 1.2.14. 1) X  l1 : нет;i2n 2i  n 1X  l2 , l : да; 2) X  l1 , l2 : нет; X  l : да; 5) X  l1 , l2 , l : да.(  ( xn , x2 n ) 11 11.2.15. 1) X  l1 : не сходится; X  l3 : сходится к x  (1, , ..., ,, ...) ;n n 126) X  C[0,1] : не сходится; X  L2 [0,1] : сходится к x(t )  0 ; 13) не сходится. 1.2.16. 1) Не сходится; 3) сходится к x(t )  0 . 1.2.17.

1) X  C[0,1] ,L1[0,1] : сходится к x(t )  1 ; 4) X  C[0,1] : не сходится; X  L1[0,1] : сходится к x(t )  0 . 1.2.22. 1) Да; 3) нет; 5) да. 1.2.23. 1) Нет, пополнение Xесть c0 ; 2) нет, пополнение X есть l2 . 1.2.24. 1) Полное; 2) полное; 3) неполное. 1.2.25. Пополнениями являются изометричные пространстваX  ([, ) :  ( x, y )  | e x  e y |, y  ;  ( x, )  e x ) ,Y  ([0, ) :  ( x, y )  | x  y |) .§ 1.31.3.1. А) 1) Нет; 2) да.

1.3.2. Указание. Используя равномерную непрерывность непрерывной на отрезке функции, показать, что x C[ a , b ]    0  g  C[ a , b ] :  ( x, g )   , 355где g – кусочно-линейная функция. 1.3.4. 1) Нет; 2) да. 1.3.7. Да.1.3.9. Указание. Доказать, что в l1 всюду плотно множество всех финитных последовательностей с рациональными координатами.

1.3.12. Указание. Доказать, что множество M всюду плотно в дискретном пространстве ( X ,  ) тогда и только тогда, когда M  X . 1.3.13. Указание. Доказать,что изолированная точка метрического пространства принадлежит любомувсюду плотному множеству этого пространства. 1.3.17. 1) Компактно,вполне ограничено; 3) не компактно, не вполне ограничено; 9) не компактно, вполне ограничено. 1.3.19. 1) Да; 2) нет; 5) нет. 1.3.20. Указание. Доказать, что в пространстве (,  ) из последовательности четных чисел нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность.

1.3.25. 1) В пространстве 111(0, 1)   [ ,1  ] .n 3 nnn1.3.26.  (n  ) , l p ( 1  p   ), C[a, b] , L p [a, b] ( 1  p   ) – полныесепарабельные, но не компактные метрические пространства. 1.3.28. Указание. Пусть {Bn }  последовательность замкнутых вложенных друг вдруга шаровB1  ...  Bn  Bn 1  ... ,где Bn  B[ xn , rn ], n   . Исследовать сходимость последовательности {xn } .

1.3.29. Указание. Воспользоваться определением инфимума.1.3.31. Указание. Предположив противное, построить в рассматриваемоммножестве последовательность, у которой нет сходящейся подпоследовательности. 1.3.33. Указание. Воспользоваться тем, что ограниченное мноnжество в  можно поместить в n-мерный куб. 1.3.34. 1) Нет; 2) нет.1.3.35. Нет. 1.3.36. Указание. Рассмотреть последовательность{xn }  S [0,1] , гдеxn  (0,...0,1, 0, 0,...), n   .n1.3.37. Указание. Воспользоваться теоремой Хаусдорфа 1.3.3 и утверждением 1.3.4.

1.3.42. Нет, в качестве нужной последовательности достаточно1рассмотреть xn  (0,..., 0, , 0, 0,...)  B (0,1) , n   . 1.3.45. В C[0,1] : 1) нет;2n2) да; 3) нет. 1.3.46. Указание. Воспользоваться теоремой Хаусдорфа 1.3.3и теоремой Арцела 1.3.4. 1.3.47. 1) Нет; 2) нет; 3) да. 1.3.48. 1) Нет; 3) да.1.3.49. 1) Да; 2) да; 3) нет. 1.3.50. Указание. Воспользоваться теоремой Ар 356цела 1.3.4.

1.3.51. Указание. Пусть x  E . Доказать, что из условия1 | x(t ) |2dt  1следуетсуществованиеточкиt0  [0,1]такой,что0| x(t0 ) |  1 . Воспользоваться интегральным представлением функции x :tx(t )  x(t0 )   x ( ) d  , t  [0,1] ,t0и применить теорему Арцела 1.3.4. 1.3.52. Указание. Воспользоваться интегральным представлением для функций x  E (см.

указание к задаче1.3.51). 1.3.53. 1) а) Да, б) да; 2) а) нет, б) нет; 6) а) да, б) нет. 1.3.54. Указание. Предположив противное, построить в рассматриваемом множествепоследовательность, у которой нет сходящейся подпоследовательности.1.3.55. Указание. Воспользоваться неравенствамиk  | xn |2 nkn|xnnk|2  1 , k   ,и утверждением 1.3.4. 1.3.59  1.3.60.

Указание. Воспользоваться следствием 1.3.2 из теоремы Хаусдорфа.§ 1.41.4.2. Указание. Доказательство следует из неравенства треугольника|| xn ||  || x ||  || xn  x || . 1.4.3. Указание. Пусть на линейном пространствеX заданы две нормы ||  ||1 и ||  ||2 , причем существует константа k  0такая, что || x ||1  k || x ||2 , x  X .

Для доказательства неэквивалентностинорм ||  ||1 и ||  ||2 нужно найти последовательность {xn }  X такую, что|| xn ||2  . 1.4.4. Нет, нет, да. 1.4.9. 1) Нет; 2) да. 1.4.10. Рассмотрим ли|| xn ||1 n нейное пространство X всех вещественных чисел с метрикой ( x, y )  | e x  e y | . X – неполное одномерное метрическое пространство(см. задачу 1.2.25). В силу утверждения 1.4.1 неполного конечномерногонормированного пространства не существует. 1.4.12.

1) Да; 2) нет; 3) нет.1.4.13. Подпространство в пространстве l1 ; в пространствах l p(1  p  ) – незамкнутое линейное многообразие. 1.4.18. 2) Пополнение –пространство L1[a, b] . 1.4.19. 1) Пополнение – пространство l1 .1.4.20. 1) Нет; 2) да; 3) нет. 1.4.22. Указание. В пространстве l p (1  p  )рассмотреть последовательность 357xn  (0,0,...0,1, 0, 0,...), n   .n12; 5)  ( x, L)  . 1.4.28. Множест32C[0,1]и ( a, L )  1 .подпространством в1.4.27. 1)  ( x, L)  2 ; 3)  ( x, L) воявляетсяL15, x0 (t ) – наилучший элемент приближения точ2211– наилучшийки a элементами множества A ; 2)  (a, A)  , x0 (t ) 22элемент приближения. 1.4.30.

Указание. Если x  T [a, b] , то для любых1.4.29. 1)  (a, A) t 1 , t2  [a, b] верно неравенство | x(t1 )  x(t2 ) |  || x || | t1  t2 | , т. е. функ-ция x удовлетворяет условию Липшица. Для доказательства несепарабельности пространства рассмотреть функцииt  , 0,,x (t )  t   , t   ,где t ,   [a, b] и показать, что || x  x || T [ a ,b ]  1,    .§ 1.51.5.1  1.5.3. Указание. Воспользоваться теоремой 1.5.1.

Характеристики

Список файлов книги