1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 41

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 41)

Доказать, что в каждой точке разрыва x0 имеют место равенства| f ( x0 )  f ( x0  0) |  v( x0 )  v( x0  0) ,| f ( x0  0)  f ( x0 ) |  v( x0  0)  v( x0 ) .331§ 3.2. Интеграл Римана  Стилтьеса *Интеграл Римана  Стилтьеса и его свойства.Пусть на отрезке [a , b] заданы две функции f и F . Рассмотримразбиение отрезка [a , b] точками a  x0  x1   xn  b , выберем вкаждом отрезке [ xi , xi 1 ] по точке i ( i  0, , n  1 ) и составимсуммуn 1   f (i )  F ( xi 1 )  F ( xi )  .i 0Определение 3.2.1.

Если при   max( xi 1  xi )  0 существуетiконечный предел сумм  , не зависящий ни от способа разбиения,ни от выбора точек i , то этот предел называется интегралом Римана  Стилтьеса от функции f по функции F и обозначаетсяbb f ( x) dF ( x) f dF .илиaaЗаметим, что интеграл Римана есть частный случай интегралаРимана  Стилтьеса, когда F ( x )  x .Утверждение 3.2.1. Интеграл Римана  Стилтьеса обладает следующими свойствами:1)bbaba2)  f d   F   ab3)b  f1  f 2  dF   f1 dF   f 2 dF ;ab f dF , где  ,bb f d  F  F    f dF   f dF1a  произвольные числа;a21a2.aВо всех трех случаях из существования интегралов в правой части следует существование интеграла в левой части.*Доказательства всех утверждений этого параграфа можно найти в [10].332b4) Если существует интеграл f dFи a  c  b , то существуютacинтегралыabf dF , f dFи верно равенствоcbcf dF abf dF a f dF .(1)cb5) Из существования одного из интеграловbf dF ,a F dfвыте-aкает существование другого и равенствоbbaa f ( x) dF ( x)   F ( x) df ( x)  f (b) F (b)  f (a) F (a) .Теорема 3.2.1.

Если функция f непрерывна на отрезке [ a , b] , афункция F имеет на этом отрезке ограниченное изменение, тоbинтеграл Римана  Стилтьеса f dFсуществует.aУтверждение 3.2.2. Пусть f  непрерывная на отрезке [ a , b]функция. Тогда справедливо:1) если F  абсолютно непрерывная функция, тоb f dF  af F  dx ,[ a ,b ]где интеграл справа понимается в смысле Лебега;2) если F  функция, постоянная на каждом из интервалов(a, c1 ), (c1 , c2 ), , (cm , b) , где a  c1   cm  b , тоbamf dF  f ( a )  F ( a  0)  F ( a )    f (ck )  F (ck  0)  F (ck  0)  k 1 f (b)  F (b)  F (b  0)  ;3333) если F  функция ограниченной вариации на отрезке [ a , b] ,bто значение интеграла f dFне зависит от значений, принимае-aмых функцией F в точках разрыва, лежащих в интервале ( a , b) .Замечание 3.2.1.

Пусть функция f непрерывна на отрезке[a, b] , а функция F имеет на нем ограниченное изменение. В силутеоремы 3.1.6 справедливо представлениеF  s    ,где s  функция скачков функции F ,   абсолютно непрерывнаяфункция,   сингулярная функция. Тогдаbabbbaaaf dF   f ds   f d   f d  ,b f d  af   dx ,[ a ,b ]b f ds  f (a)  F (a  0)  F (a)  a  f ( xk )  F ( xk  0)  F ( xk  0)   f (b)  F (b)  F (b  0)  ,kгде {xk }  точки разрыва функции F .Пример 3.2.1. Вычислим интеграл Римана  Стилтьеса3 x df ,0где x 3 , x  [0,1) ,f ( x)   3, x  1,3  x, x  (1,3].Справедливо представлениеf  s  ,334где s  функция скачков функции f , а   абсолютно непрерывная функция:0, x  [0,1) ,s ( x)  2, x  1, 1, x  (1,3], x 3 , x  [0,1], 2  x, x  (1,3]. ( x)  В силу замечания 3.2.1 справедливо303300x df ( x)   x ds ( x)   x d ( x) ,где3 x ds( x)  1 ( f (1  0)  f (1  0))  1 (s(1  0)  s(1  0))  1 ,031003131013 x d ( x)   x ( x) dx   x ( x) dx   3x dx   x dx 3Окончательно получаем34.41 x df ( x)  2 4 .

■0Пример 3.2.2. Вычислим интеграл Римана  Стилтьеса1 x d ( x ) ,0где функция   «канторова лестница».В силу утверждения 3.2.1, п. 5 имеем1 x d ( x ) 01x ( x) |    ( x)dx  1 1001 1 .■2 2Задачи3.2.1. Пусть f  непрерывная на отрезке [a , b] функция, а F функция ограниченной вариации. Доказать неравенствоb|  f dF |  max | f ( x) |  Vab [ F ] .ax[ a ,b ]3353.2.2. Привести пример функций f и F , для которых существуют интегралыcbbaca f dF ,  f dF , где a  c  b , но интеграл  f dFне существует.3.2.3.

Вычислить следующие интегралы Римана  Стилтьеса: 0, x  0,1)  ( x  1) df , где f ( x)  1  x, 0  x  1,0 5, x  1;132)x2 x df , где f ( x)  e ;21 x  1, 0  x  1,3)  x df , где f ( x)   10, x  1,0 x 2 , 1  x  2;22 x3 ,  2  x  0,x  0,4)  x df , где f ( x)   5,2 3  x 2 , 0  x  2;2 0, x  0 ,,гдеfx(x2)df()0xe , 0  x  2;2, x  0,1 26)  xdf , где f ( x)   x , 0  x  1,0 0, x  1.3.2.4. Пусть   «канторова лестница».

Вычислить следующиеинтегралы Римана  Стилтьеса:25)111) d ( x ) ,2) x d ( x) .200336§ 3.3. Общий вид линейных непрерывныхфункционалов в пространстве C[ a, b] *Представление линейного непрерывного функционала в пространстве C[ a, b] в виде интеграла Римана  Стилтьеса, нерефлексивность пространства C[ a, b] .Пусть x – непрерывная на отрезке [ a , b] функция, а функция Ф имеет на этом отрезке ограниченное изменение.

Отображение f : C[ a, b]   видаbf ( x)   x(t ) dФ (t ), x  C[ a, b] ,(1)aестьлинейный непрерывный функционал из пространства(C[ a, b])* . Линейность отображения f вытекает из утверждения3.2.1, а непрерывность f  из следующего утверждения.Утверждение 3.3.1. Пусть x  непрерывная на отрезке [ a , b]функция, а Ф  функция ограниченной вариации на [ a , b] . Тогдасправедливо неравенствоb|  x(t ) dФ(t ) |  max | x(t )| Vab [Ф].t[ a ,b ]a► Действительно, для любого разбиения a  t0  t1    tn  bотрезка [a , b] имеемn 1|  x(i ) Ф(ti 1 )  Ф(ti )  | i 0n 1 max | x(t ) | |Ф(ti 0t[ a ,b ]i 1n 1 | x( ) | |Ф(ti 0ii 1)  Ф(ti )| )  Ф(ti ) |  max | x(t ) | Vab [Ф] .t[ a ,b ]Перейдя в левой части этого соотношения к пределу при  max(ti 1  ti )  0 , мы получим нужное неравенство. ◄i*Доказательства всех утверждений этого параграфа можно найти в [2; 8].337Из этого утверждения вытекает следующая оценка нормыфункционала f  (C [ a, b])* вида (1):|| f || ( C [ a ,b ])*  Vab [Ф].Замечание 3.3.1.

Рассмотрим функции Ф1 , Ф2 с ограниченнымизменением на отрезке [ a , b] , совпадающие на [ a , b] всюду, за исключением не более чем счетного множества внутренних точек этого отрезка. В силу утверждения 3.2.2 эти функции определяют одини тот же функционал на C[ a, b] , т. е.bbaa x(t ) dФ1 (t )   x(t ) dФ2 (t ), x  C[a, b] .Пусть теперь функции Ф1 , Ф2 определяют один и тот же функционал из (C[ a, b])* , т. е.bb x(t ) dФ (t )   x(t ) dФ (t )1a2aдля всех x  C[a, b] . Отсюда следует, что Ф1  Ф2  const во всехточках непрерывности функции Ф1  Ф2 , т.

е. всюду, кроме, бытьможет, конечного или счетного множества точек.Теорема 3.3.1 (Ф. Рисса). Всякий линейный непрерывный функционал f  (C [ a, b])* представим в виде (1), где Ф  некотораяфункция с ограниченным изменением на отрезке [a , b] , и при этом|| f ||( C [ a ,b ])*  Vab [Ф ] .(2)Замечание 3.3.2. В силу замечания 3.3.1 каждому линейномунепрерывному функционалу, определенному на C[ a, b] , отвечаеткласс функций с ограниченным изменением на [ a, b] , причем Ф1 иФ2 принадлежат одному классу в том и только том случае, если ихразность отличается от постоянной не более чем на счетном множестве внутренних точек отрезка [ a, b] .

В каждом таком классе можновыбрать одну и только одну функцию, равную нулю в точке a инепрерывную справа всюду на полуинтервале ( a, b] . Функции,удовлетворяющие этим условиям, образуют в линейном простран338стве всех функций с ограниченным изменением на отрезке [ a, b]линейное многообразие, которое мы обозначим V 0 [a , b ] . Зададимна V 0 [a , b ] норму|| Ф ||V 0 [ a ,b ]  Vab [Ф], Ф  V 0 [a, b] ,и получим, что V 0 [a , b ] есть нормированное пространство.Для любого функционала f  (C [ a, b])* существует единственная функция Ф  V 0 [ a, b] , для которой имеет место представление (1) и выполняется равенство (2).

Поэтому теореме 3.3.1 можнопридать следующий вид.Теорема 3.3.2. Существует изоморфное и изометричное отображение между пространствами (C [a, b])* и V 0 [ a, b] , устанавливаемое равенствами (1), (2).Теорема 3.3.3. Пространство C[ a, b] нерефлексивно.► Доказательство проведем от противного. Предположим, чтопространство C[ a, b] рефлексивно (определение 2.1.13).

Тогда длялюбого функционала F  (C [ a, b])** существует единственнаяфункция x  C[ a, b] такая, чтоF ( f )  f ( x ),f  (C [ a, b])* .В силу теоремы 3.3.2 отождествим функционал f  (C [ a, b])* ссоответствующей ему функцией Ф  V 0 [a, b] . Получим, что функционал F имеет видbF (Ф )   x (t ) dФ (t ), Ф  V 0 [ a, b].(3)aПостроим функционал из пространства (C [a, b])** , который непредставим в виде (3).

Наличие такого функционала и будет означать нерефлексивность пространства C[ a, b] .Пусть t0  (a , b)  произвольная фиксированная точка. Рассмотрим функционалFt0 (Ф)  Ф(t0 )  Ф(t0  0), Ф  V 0 [a, b] ,339который каждой функции Ф с ограниченным изменением из пространства V 0 [a, b] ставит в соответствие ее скачок в точке t0 . Линейность Ft0 очевидна. Из соотношений| Ft0 (Ф) |  | Ф(t0 )  Ф(t0  0) |  Vab [Ф]получаем, что || Ft0 || ( C [ a ,b ])**  1 , так как Vab [Ф]  || f || ( C [ a ,b ])* . Очевидно, что функционал Ft0 ненулевой, так как Ft0 (Ф1 )  1 , где0, a  t  t0 ,Ф1 (t )  1, t0  t  b .В силу (3) найдется ненулевая функция x0  C[ a, b] такая, чтоbFt0 (Ф )   x0 (t ) dФ (t ), Ф  V 0 [ a, b].aРассмотрим теперь абсолютно непрерывную функциюtФ0 (t )   x0 ( ) d , t  [a, b] ,aдля которой Ft0 (Ф0 )  0 . С другой стороны,bbbaaaFt0 (Ф0 )   x0 (t ) dФ0 (t )   x0 (t ) x0 (t ) dt   x02 (t ) dt  0 ,так как x0  0 .

Полученное противоречие доказывает утверждениетеоремы. ◄Пример 3.3.1. Пусть f  (C [1,1])* , f ( x)  x(0) . Тогда1f ( x)   x(t ) dФ(t )  x(0) ,1где0,  1  t  0,Ф(t )  1, 0  t  1.0При этом Ф  V [1,1] и || f ||  V11[Ф]  1 . ■340Пример 3.3.2. Пусть1f  (C [1,1])* , f ( x)   t x(t ) dt 1x(1).2Тогда1f ( x)  x(t ) dФ(t ) 11 t x(t ) dt 1x(1),2где 0, t  1,Ф(t )   t 2 , t  (1,1].23При этом Ф  V 0 [1,1] и || f ||  V11[Ф]  .

■2Пример 3.3.3. Пустьf  (C [2, 2])* , f ( x) 0220 x(t ) dt  2 t x(t ) dt  3x(0).Найдем1) функцию Ф0  V 0 [2, 2] такую, что2f ( x)  x(t ) dФ (t ),x  C[2, 2] ;022) норму функционала f .Из свойств интеграла Римана  Стилтьеса (замечание 3.2.1) вытекает, что функция Ф с ограниченным изменением на [2, 2] , длякоторой справедливо равенствоf ( x) 022202 x(t ) dt  2 t x(t ) dt  3x(0)   x(t ) dФ(t ),имеет вид t  с,  2  t  0,t  0,Ф(t )   a,3  t 2  с, 0  t  2,341x  C [2, 2],где a , с – произвольные числа.

Характеристики

Список файлов книги