1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 44

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

1.5.6. Указание. Если x и y линейно независимы, то для всех чисел  справедливо|| x   y ||2  0 . Если y  0 , то достаточно взять  ( x, y )и убедиться в( y, y )том, что | ( x, y ) |  || x ||  || y || . 1.5.16. Если M  подпространство гильбертова пространства H , то M   M   . 1.5.20. Указание.

Воспользоватьсякритерием всюду плотности линейного многообразия в гильбертовом пространстве (задача 1.5.19). 1.5.21.Ln   {x  l2 : x  (c,...,c, 0, 0,...), c  } .n1.5.23.M   {x : x  (0, 0,..., 0, xn 1 , xn  2 ,...), xi  , i  n} ,1.5.24.M   {0} . 1.5.25.1.5.27. 1) l2  M  M  .M   {x  l2 : x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...), x1  x2  0} .2 323 23 2; 2); 3). 1.5.28. 1); 3)32243583 .

1.5.29. 1) 0.|a1.5.30.|2 , где | an0 |  max | ak | . 1.5.31. 12 :  ( x0 , L)  1 , y  (t , t ) ,kk  n0k 1t  [1, 0] , – наилучшие элементы приближения точки x0 элементами1 12, y  ( ,  ) – единственный наилуч2 22ший элемент приближения точки x0 элементами множества L .множества L ;  2 :  ( x0 , L) e 2 11. 1.5.34. 1) а); б) 0,9t  0, 2 ;24в) 1, 5 t 2  0, 6 t  0, 05 . 1.5.43. Указание. Воспользоваться теоремой Рис-1.5.32.1  7e 2 .1.5.33.са  Фишера 1.5.6.Глава 2§ 2.12.1.1. 1) Нелинейный, непрерывный; 2), 4), 6), 8) линейные, непрерыв211ные, ограниченные.

2.1.10. 1) ; 2) 1; 3)  2 ; 4) 2; 5)  2 ; 6) 1; 7) 1;3k 1 kk 1 k8) 2; 9)2 ; 10)11; 11) ; 12)221kk 14; 13) 2; 14) 1; 15)211; 16) ; 17) ;2211; 22) 2; 23) || x0 || ; 24) 5 ; 27). 2.1.11. 1) Ограни32чен , || f ||  2 ; 2) не ограничен. 2.1.12. D( f )  {x : x(t ) – непрерывные наотрезке [0,1] функции, дифференцируемые в нуле}, f не ограничен.18) 1; 20) e  1 ; 21)2.1.13.

Да, нет. 2.1.15. I: 1) l1 : || f ||  7 , l2 : || f ||  83 , l : || f ||  15 ;2)f  l1* , l2* , l* ;|| f || 1kk 1|| f ||  3 ,23) 29 ;f  l2* , l* ;f  l* . II: 1) C[0,1] ,,2)8)l1 : || f ||  1 ,l2 :L2 [0,1] : || f ||  1 ; 2) C[0,1] :11, L2 [0,1] : || f || ;35f  ( L2 [0,1])* . III: 1) C[1,1] : || f ||  7 , L2 [1,1] :f  ( L2 [0,1])* ;4) C[0,1] : || f ||  5 ,|| f || l1 : || f ||  1 ,3)C[0,1] : || f || C[1,1] : || f ||  2 ,359f  ( L2 [1,1])* .2.1.16.1.2r2.1.18. F ( )   (0)  продолжение функционала f с сохранением нормы,|| F ||  1 .

2.1.19. 1) Два продолжения F1 ( )   (0) и F2 ( )    (1) ;2) продолжение F ( )   (1) ; 3) бесконечно много продолженийFt0 ( )   (t0 ) , где t0  любая точка из отрезка [0, 1] . 2.1.21. 1) ПродолжениеF ( x) || F || 25x1 2 x2, || F || 551;52)F ( x) продолжение2 x1 4 x2,55. 2.1.22. 1) Бесконечно много продолжений Fa ( x)  ax1  x2 ,|| Fa ||  1 , где a  [1, 1] ; 2) продолжение F ( x)  4 x1 4 x2,33x1 x21 , || F ||  ;44 44. 2.1.23. 1) Продолжение3x1F ( x )   x2 , || F ||  1 ; 2) продолжение F ( x )  2 , || F ||  ; 4) бесконечно33много продолжений Fa ( x)  ax1  (a  1) x2 , || Fa ||  1 , где a  [ 1, 0] .3) продолжение F ( x)  1)2.1.24.Продолжение|| F || F ( x )   x2 ,|| F ||  1 ;2) продолжениеx1 3 x2x x1F ( x)   1  2 ,, || F || ; 4) продолжение2 210 10101|| F || .

2.1.35. Указание. Воспользоваться утверждением задачи22.1.34. Сравнить решение с решением задачи 1.5.20. 2.1.37. Указание. См.доказательство в [18, задача 12.13]. 2.1.41. Указание. Показать, что любойэлемент a  (а1 ,..., аn ,...)  l1 определяет по формулеF ( x)  f ( x )   an xn , x  ( x1 ,..., xn ,...)  l ,n 1функционал f  l* , причем || f ||  || a || l1 .

С другой стороны, доказать существование функционала f  l* , который не может быть определен элементом a  l1 . Для этого рассмотреть в пространстве l функционалf ( x)  lim xn , определенный на подпространстве c всех сходящихся поn следовательностей x  ( x1 ,..., xn , ...) . 2.1.43. Указание. В пространстве X *воспользоваться следствием 2.1.1 из теоремы Хана  Банаха. 360§ 2.22.2.6. 1) Верно; 2) неверно.

2.2.8. 1) Верно; 2) неверно.2.2.12. 1) D( A)  Im ( A)  l2 ; 2) D( A)  l2 , Im ( A)  { y  l2 : y  ( y1 ,..., yn ,...),y1  0}  подпространство в l2 ; 3)D( A)  C1[0,1] , Im ( A)  C[0,1] ;4) D( A)  { x : x(t )  непрерывно дифференцируемые на отрезке [0,1]функции}, Im ( A)  C[0,1] ; 5) D( A)  C1[0,1] , Im( A)  { y : y (t )  непрерывно дифференцируемые на отрезке [0,1] функции}; 6) D( A)  C[0,1] ,y (t )} . 2.2.14. 1) Нелинейtный непрерывный оператор, D( A)  C[0,1] ; 2)  3) линейный непрерывный оператор, D( A)  C[0,1] , || A ||  1 ; 6) линейный оператор, не являетсянепрерывным, D( A)  { x : x(t )  непрерывно дифференцируемые на отIm( A)  { y  С[0,1]: существует конечный limt 0резке [0,1] функции}; 8) линейный непрерывный оператор, D( A)  C[0, 2] ,e2  1; 9) линейный непрерывный оператор, D( A)  L2 () ,2|| A ||  1 ; 10) линейный непрерывный оператор, D( A)  L p [1,3] ,|| A || pq|| A ||  2 p q . 0,1)2) 0    1 ,|| A ||  1 ;|| A || 1.2.2.16.

1) – 2) || A ||  1 ; 3) || A ||  sup | n | . 2.2.17. б) 2) оператор ограничен,2.2.15.nD( A)  {x  C[0,1] : lim t x(t )  0} , || A ||  1 ; 3) оператор неограничен,t 1 0x(t )1 0} . 2.2.18. 1) – 2) || A ||  1 ; 3) || A ||  ;t21| x(t ) |22.2.19.1)D( A)  {x  L2 [0,1]: dt  };t20D( A)  {x  C[0,1] : limt 04)|| A ||  1 .12)D( A)  {x  L2 [0,1]:012| x(t ) |dt  };t3)2D( A)  {x  L2 [0,1]:| x(t ) |dt  } .

2.2.21. 1) – 3) D( A)  l2 , || A ||  1 ; 4) операторt40ляется непрерывным,D( A)  {x  l2 : x  ( x1 ,..., xn ,...),  ((2n  1)n 13612A не яв-| x2 n 1 |2  | x2 n |2 )  } ;6)AоператорнеD( A)  {x  l2 : x  ( x1 ,..., xn , ...),n2n 1являетсяba2.2.25. 1) || A ||  b  a ; 2) || A || D( A)  l1 ,| xn |2  } ; 7)8) D( A)  l1 , || A ||  2 . 2.2.24. 1) || A || 2непрерывным,|| A ||  1 ;111; 2) || A ||  ; 3) || A ||  .232.

2.2.26. 1) || A ||  || K || C ([0,1][0,1]) ;12) || A ||  || K || L2 ([0,1][0,1]) ; 3) || A ||  max0  s 1 | K ( s, t ) |10) || A || 2) || A || || A || 4)dt .02.2.27. || A ||  || K ||L2 ([ a ,b ][ a ,b ]) . 2.2.28. 1) || A || 3) || A ||  1 ;21(1  e 2 ); 2) || A ||  e3;2211;2|| A ||  max  ln | s  t | ds  1  ln 2 ;6)0  t 1013 2; 11) || A ||  2 . 2.2.29. 1) || A ||  12(  0,   1) ;12(   0,   1) ; 3) || A || (  1) .

2.2.30. 1) || A ||  e ;1 11e2  1( 125  27) ; 5) || A ||  e; 7)  8) опера32тор A не является непрерывным. 2.2.31. || P ||  1 . 2.2.32. 1) || A ||  1 ;2) || A ||  sin1 ; 3) || A || pq12) || A ||  (b  a) pq ; 3) || A ||  (b  a ) q .  (2 x , 2 x ,..., (1) n 2 x ,...) .2.2.34. 2) Ax12n§ 2.3sss2.3.2. 1) An  O , An  ; 2) An  I , An  ; 3) An  2 I , An  . 2.3.3. 1) –2)An  O ; 3)sAn  O ,An  ; 4)sAn  A ,An  ,Ax  (0, x2 , 0,...) ;ss5) An  A , Ax  ( x1 , 0, 0, ...) ; 6) An  I , An  ; 7) An  , An  ; 8) –ssss9) An  I , An  I ; 10) An  , An  ; 11) An  , An  ; 12) An  O , An  ; 36213) An  A , Ax  ( x1 ,sxx2,..., n ,...) ; 14) An  O , An  .

2.3.4. 1) An  2 I ;2nss2) An  , An  ; 3) An  A , Ax(t )  t x(t ) ; 4) An  , An  ; 5) An  O .sss2.3.5. 1) An  O , An  O ; 4) – 5) An  O ; 7) An  O , An  ; 8) An  2 I ,ssAn  ; 9) An  O , An  ; 10) An  2 I , An  .t2.3.9. An 1 x(t )   x( s )a2.3.10. || An1 || (t  s ) nds, n  0,1,... .n!1n ! 2n  1)(2n  2), n  0,1, 2... .

2.3.12. e I  eI .§ 2.42.4.5  2.4.6. Указание. Воспользоваться теоремой Неймана 2.4.3.t2.4.8. 1) A1 : C [0,1]  C [0,1] , A1 y (t )  y (t )   y ( s ) e s  t ds ;0t3) A1 : C [0,1]  C [0,1] , A1 y (t )   y (t )  3 y ( s) e3(t  s ) ds. Указание. В урав0tнении Ax  y сделать замену z (t )   x( s ) ds и решить полученное диффе0ренциальное уравнение при условии z (0)  0.t2.4.9.

A1 : C [0,1]  C [0,1] , A1 y (t )   y ( s ) ds .02.4.10. 1) – 2) оператор A необратим;3) A1 y  ( y1  y2 , y2 , y3 ,..., yn ,...) , D( A1 )  Im( A)  l2 ;4) A1 y  ( y1 , 2 y2 ,..., 2n 1 yn ,...) , D( A1 )  Im( A)  { y  l2 :2.4.11. 1) A1 : C [0,1]  C [0,1] ,1m y (t ), t  0,tli0tA y (t )   1 y (t ), t  (0,1], t1 3634n 1n 1| yn |2  } .1Im( A)  D( A1 )  { y  C[0,1] :  конечный lim y (t )} не всюду плотно вt 0 tпространстве C [0,1] , так как Im( A)  { y  C[0,1] : y (0)  0} , A1 неогра-ничен; 5) оператор A не обратим. 2.4.12. 4) а) A1 : C [0, 2]  C [0, 2] , 1 1  t y (t ), t  [0,1)  (1, 2],A1 y (t )  lim 1 y (t ), t  1, t 1 1  t1неy (t )}1 tзамкнуто в C [0, 2] . Множество Im( A) не всюду плотно в C [0, 2] , так какмножествоIm( A)  D( A1 )  { y  C[0, 2] :  конечный limt 1Im( A)  { y  C[0, 2] : y (1)  0} ; б) A1 : L2 [0, 2]  L2 [0, 2] , A1 y (t ) 2множество Im( A)  D( A1 )  { y  L2 [0, 2] :  |0не замкнуто в пространствеy (t ),1 ty (t ) 2| dt  } всюду плотно и1 tL2 [0, 2] ; 5) а)A1 : C [0, 2]  C [0, 2] ,y (t )y (t ), D( A1 )  C[0, 2] ; б) A1 : L2 [0, 2]  L2 [0, 2] , A1 y (t )  t ,t3e3e1D( A )  L2 [0, 2] .2.4.13.Указание.ВоспользоватьсяоценкойA1 y (t ) || Ax ||Y  m || x || X , x  X , где m  0 .

2.4.18. Указание. Доказать, чтоA  G   0    ( A,  ) : B  G || B  A ||    || B 1  A1 ||   .2.4.19. Указание. Воспользоваться теоремой 2.4.1. 2.4.22. 1) Указание.|| Ax ||Y  m || x || X , x  X ,гдеm  0.ВоспользоватьсяоценкойA1  1  2 A  ...  n An 1 .2.4.24.

Указание.Доказать,что2.4.25. Указание. Пусть X i  ( X ,||  ||i ) , i  1, 2 ,  банаховы пространства.Рассмотреть оператор I : X 2  X 1 , I x  x , и воспользоваться теоремойБанаха 2.4.2 об обратном операторе.§ 2.52.5.1. а) 1)  ( A)   p ( A)  {0,1, 2,3} ,yyy y yR ( A) y   1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,...

 ;  1   2   3   3641 111 1 13)  ( A)  0,1, , ,..., ,... ,  p ( A)  1, , ,... , ,... ,  c ( A)  {0} ,2 42n 2n  2 4 y1y3y2 n 1 y2 ny2y4R ( A) y  ,,,, ...,,,...  ; 1   1   1   1   1   1242n 4)  ( A)   p ( A)  {1} ,y3y yyyyR ( A) y   1 , 2 , 3 , 4 ,..., n ,...

Характеристики

Список файлов книги