1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 46

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 46)

2.9.10. Указание. Доказать, что мультиплика11222тивный оператор Ax  (1 x1 , 2 x2 , ..., n xn , ...) , действующий в пространствеl p , 1  p   , компактен тогда и только тогда, когда n  0 . 2.9.13. Укаn зание. Воспользоваться свойствами конечномерных нормированных пространств и результатом задачи 2.2.11. 2.9.15. Указание.

Воспользоватьсякритерием конечномерности нормированного пространства (теорема 2.9.1). 2.9.16. 1) Да; 2) нет. Указание. Рассмотреть операторыAn  L  l2  , n   , где An x  ( x1 , x2 ,..., xn , 0, 0,...) . 2.9.22. Указание. Воспользоваться критерием конечномерности нормированного пространства(теорема 2.9.1). 2.9.23.

1): Могут все, кроме 5), 8) – 11); 2): 1), 2), 5), 6), 8) –12) – не могут; 4) может, если пространство X конечномерно; 3) и 7) могут. 2.9.24. 1) Ax  ( x1 , x2 , 0, 0,...) , x  l2 ; 6) Ax  x, x   2 . 2.9.29. Может.12.9.30. 1)  ( A)   p ( A)  0    ; 3)  ( A)   r ( A)  0 ; 2n n 1114)  ( A)  0   n  ,  p ( A)   n  ,  c ( A)  0 ; 2 n 1 2 n16)  ( A)   r ( A)  0 .2.9.31. Указание. Доказать, что обратный оператор A 1: X  X существует и не является непрерывным.

2.9.32. Указание. Доказать, что ортопроектор P компактен тогда и только тогда, когда подпространство L конечномерно. 2.9.33 – 2.9.34. Указание. Воспользоваться критерием компактности тождественного оператора в нормированном пространстве (следствие 2.9.2). 2.9.36 – 2.9.39. Указание. Воспользоваться определением обрат 371ного оператора и критерием компактности тождественного оператора внормированном пространстве (следствие 2.9.2).§ 2.10Во всех ответах этого параграфа буквой C обозначается произвольная константа. В задаче 2.10.9 C   , в остальных задачах C   .cos s2 ( ) 2 cos s , где    .2 1  ( ) 22 1  ( ) 222222.10.2.   , x( s )  C (sin s  cos s ) ;    , x( s )  C (sin s  cos s ) .2.10.1. x( s )  22.10.3.   ,sin s f (s) (sin s  cos s) ds  0ния, x( s)  C (sin s  cos s) ния;   2– условие разрешимости уравне-02cos s  f (t ) sin t dt  f ( s ) – решения уравне0, f ( s) ( cos s  sin s) ds  0– условие разрешимости уравне-0ния, x( s )  C ( sin s  cos s) 2cos s  f (t ) sin t dt  f ( s ) – решения уравне0ния.2.10.4.

1)  при  1sin s, x( s)   2 s – единственное решение;1  cos11   (1  cos1)11решений не существует; при  однородное1  cos11  cos1уравнение имеет решения x( s )  C sin s ;(3s  2)  1  единственное решение при всех  ; однородное2уравнение при всех  имеет только нулевое решение;131существует3)   , x( s )  s  2 – единственное решение; при  2) x( s ) 31однородноебесконечно много решений x( s)  C sin s  s  2 ; при  уравнение имеет решения x( s )  C sin s ; 3725)  338sи    , x( s)   s 3  s – единственное решение; при245(3  4 )113существует бесконечно много решений x( s )  Cs 2  s 3  s , при15233   решений не существует; при   однородное уравнение имеет423решения x( s )  Cs 2 , при    однородное уравнение имеет решения4x( s )  Cs ;6)  4, x( s )   2 sin 2 s4 2s   – единственное решение; при    4решений не существует; при  4однородное уравнение имеет решенияx( s )  C sin 2 s ;7) x( s )   ctg s  единственное решение при всех  ; однородное2уравнение при всех  имеет только нулевое решение;22существует8)    , x( s )  cos 3s – единственное решение; при  бесконечно много решений x( s )  C cos s  cos 3 s , при   бесконечно много решений x( s )  C sin s  cos 3 s ; при  уравнение имеет решения x( s )  C cos s , при   222существуетоднородноеоднородное уравне-ние имеет решения x( s )  C sin s ;2sin s – единственное решение; при   2 решений не2при   2 однородное уравнение имеет решения9)   2 , x( s ) существует;x( s )  C sin s ; 37322cos 2 s  1 – единственное решение; при  2  2однородное уравнение имеет решениярешений не существует; при  11)  2, x( s )  x( s)  C cos 2 s ;(e 2  i  1) ise  e 2 s – единственное решение; при   1(1   )(2  i )решений не существует; при   1 однородное уравнение имеет решенияx( s )  C eis .15)   1 , x( s )  2.10.5.

1) R ( A) 2 (2  1)Aсобственная функция для  2) R ( A) 3 (3  1)3) R ( A) 4 (4  1)4) R ( A) 12A11;21I ,  ( A)   p ( A)  {0, } , x( s )  C s – собствен31;31Aная функция для  1I ,  ( A)   p ( A)  {0, } , x( s )  C s –21Aная функция для  11I ,  ( A)   p ( A)  {0, } , x( s )  C s 2 – собствен41;4I ,  ( A)   p ( A)  {0} ;5) R ( A) y ( s ) 6s12 s 2y( s),((3  4) y1  3 y2 ) (3 y1  (3  2) y2 ) 22 (3  1) (3  1)111где y1   y (t )t dt , y2   y (t ) dt ;  ( A)   p ( A)  {0,  } , x( s )  C ( s  s 2 ) –3001собственная функция для    ;3119) R ( A) A  I ,  ( A)   p ( A)  {0,1  i} , x( s )  C (3s  2i ) – (  (1  i ))собственная функция для   1  i ; 37411A  I ,  ( A)   p ( A)  {0,1} , x( s )  C e 2 is – собст (  1)венная функция для   1 .2112.10.6.

2) R ( A) A  I ,  ( A)   p ( A)  {0, } , x( s )  C e  s – (2  1)210) R ( A) собственная функция для  2.10.7.  1.22– характеристическое число уравнения,2e 11 f ( s) esds  0 –0условие разрешимости уравнения, x( s )  Ce s  f ( s ) – решения.12.10.8. 1) f (s) ds  0– условие разрешимости уравнения, x( s )  C  f ( s )0– решения;22) единственное решение x( s )  sin s  f (t ) dt  f ( s ) существует для любой0непрерывной функции f ;23) f (s) ds  0– условие разрешимости уравнения, x( s ) 2|s|C  f ( s) –4решения;14) s f ( s) ds  0– условие разрешимости уравнения, x( s )  s 3 C  f ( s ) –0решения.2.10.9. 1) Если  1и211f ( s ) s ds  0 или1имеет решений; если   f (s) s2ds  0 , то уравнение не11,211f ( s ) s ds  0 и1 f (s) s2ds  0 , то уравнение1имеет бесконечно много решений x( s )  C1 s  C2 s 2  f ( s ) ;2) Если  2и f (s) cos s ds  0 , или, если0то уравнение не имеет решений; если  нение имеетбесконечно37522и f (s) sin s ds  0 ,0и f ( s) cos s ds  0 , то урав0многорешенийx( s )  C cos s sin sf (t ) sin t dt  f ( s ) ; если   0уравнениеимеетбесконечноcos sx( s )  C sin s  f (t ) cos t dt  f (s) ;2и f ( s) sin s ds  0 , то0многорешений013) x( s )   (3s  2)  f ( s ) s ds  f ( s )  единственное решение для всех  и0для всех непрерывных функций f ;6) если    2 и1 f ( s) ln s ds  0 , то уравнение не имеет решений; если0  2 и1 f (s) ln s ds  0 , то уравнение имеет бесконечно много решений0x( s )  Cs  f ( s ) .2.10.10.

Для всех   1  i 11 уравнение имеет единственное решениедля любой непрерывной функции f .Глава 3§ 3.13.1.2. 1) 2(1  cos1) ; 2) 3; 3) 8. 3.1.4. 1) 7; 2) 4; 3) e9  e  2 ; 10) 1;11) e  1 . 3.1.9. Указание. Воспользоваться утверждением 3.1.3. Используяразбиение отрезка [0,1]111 1  1,2n 2n  13 2показать, что функция f не имеет ограниченного изменения на [0,1] .3.1.13. Существуют и разрывные, и непрерывные на отрезке [a, b] функис ограниченным изменением, для которыхцииfg0Vab [ f  g ]  Vab [ f ]  Vab [ g ] . Например, разрывные функции:0, x  [a, b) , 0, x  [a, b) ,f ( x)  g( x)   1, x  b ,  1, x  b ;непрерывные функции:f ( x)  x , g( x)   x . 3763.1.17.

Указание. См. решение в [11, задача 672]. 3.1.21. Указание. См. решение в [11, задача 661]. 3.1.22. Указание. См. решение в [11, задача 663].§ 3.23.2.2 Указание. Рассмотреть функции0,  1  x  0,0,  1  x  0,иf ( x)  F ( x)  1,0x1, 1, 0  x  1,0и показать, что существуют интегралы1f dF ,1 f dF , но не существует01152(см.

[10, гл. VIII, § 6]). 3.2.3. 1) 9 ; 4)  . 3.2.4. Ука321зание. Воспользоваться утверждением 3.2.1, 5).интеграла f dF§ 3.3 0,  1  t  0,3.3.1. 1) Ф0 (t )  || f || ( C [ 1,1])*  V11[Ф0 ]  1 ;1, 0  t  1, 0,  1  t  0,3) Ф0 (t )  || f || ( C [ 1,1])*  V11[Ф0 ]  2 ;1,t0t1,7) Построим функцию Ф0  V 0 [1,1] такую, чтоf ( x) 100k 11 (1) kx()kk1 x(t ) dФ (t ),0x  C[1,1] .1Из утверждения 3.2.2 следует, что Ф0 есть функция скачков. Воспользуемсяалгоритмомеепостроенияиз<3.1.1>.Обозначим(1) ktk  [1,1], k  1, 2,...,100 .

Характеристики

Список файлов книги