1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 45

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

 ;2 1    1   1 (  1)   1   15)  ( A)   p ( A)  {1, 2} ,yyyyy yR ( A)   1 , 2 , 3 , 4 ,..., 2 n 1 , 2 n ,...  ;2121211 1 1 1,... ,7)  ( A)   p ( A)  0, , , ,...,n 1  2 3 4 y1 y2y3yn 1y4R ( A) y   ,,,,...,,...

 ;1    1   1   1n 1 234i i i ii  i i i15)  ( A)  0, i, , , ,..., ,... ,  p ( A)  i, , , ,..., ,... ,  c ( A)  {0} ,n234n234 yyyyyR ( A) y   1 , 2 , 3 , 4 ,..., n ,...  ;i   i   i   i   i234n 19)  ( A)   p ( A)  1, 2,..., n,... ,yy yR ( A) y   1 , 2 ,..., n ,...

 ;12nб) 1) X  C[0,1] :  ( A)   r ( A)  [0,1] , R ( A) y (t ) X  L2 [0,1] :  ( A)   c ( A)  [0,1] , R ( A) y (t )  3651y (t ) ;(  t )1y (t ) ;(  t )5) X  C[0,1] :  ( A)   r ( A)  {   :   a  i, a  [0,1]} ,R ( A) y (t ) 1y (t ) ;(  t  i )X  L2 [0,1] :  ( A)   c ( A)  {   :   a  i, a  [0,1]} ,R ( A) y (t ) 1y (t ) ;(  t  i )в) 1) X  C[ 1,1] :  ( A)  [2,3] ,  p ( A)  {2} ,  r ( A)  (2,3] ,x  C[1,1] : x(t )  0, 0  t  1 ,  собственная функция, соответствующаясобственному значению   2 ,1 (  2) y (t ),  1  t  0,R ( A) y (t )  1y (t ), 0  t  1; (  2  t )X  L2 [1,1] :  ( A)  [2,3] ,  p ( A)  {2} ,  c ( A)  (2,3] ,x  L2 [1,1] : x(t )  0, 0  t  1 ,  собственная функция, соответствующаясобственному значению   2 ,1 (  2) y (t ),  1  t  0,R ( A) y (t )  1y (t ), 0  t  1; (  2  t )д) 1)  ( A)   p ( A)  {0, 1} , R ( A) y (t ) t y (1) (  1)y (t ).1 111 1 12.5.2.

а) 1)  ( A)  0,1, , 2 , ..., n1 ,... ,  p ( A)   1, , 2 , ..., n 1 ,... ,2 222 2 2 y1y3yny2,,, ...,,...  ;n 12 1 2  1  1 2  1 2 c ( A)  {0} , R ( A) y  4)  ( A)   p ( A)  {0,1} ,y yyyy y yR ( A) y   1 , 2 , 22  3 , 4 , 5 , 6 ,...  ;   1  1   1  (A)[0,1],(A){1} ,  r ( A)  [0,1) ,б) 4)p 3661,  собственная функция, соответствующая2собственному значению   1 ,1 1 (  2t ) y (t ), 0  t  2 ,R ( A) y (t )   1 y (t ), 1  t  1.2 (  1)x  C[0,1] : x(t )  0, 0  t 2.5.3. 1)12 ( A)   r ( A)  [ , 1] , r ( A)  [0, 2) .5) ( A)  [0, 2] , p ( A)  {2} ,2.5.4.  ( A)   :    (t ), t  [0,1]  Im  , p ( A)  {  Im  : множество {t  [a, b] :  (t )  }содержит внутренниеточки},  r ( A)   ( A) \  p ( A) ,  c ( A)   .2.5.5.Нет.2.5.6.Указание.Воспользоватьсяравенством2A   I  ( A   I ) ( A   I ) .

2.5.7.   1 , x  x(t ) – ненулевая четнаяфункция;   1 , x  x(t ) – ненулевая нечетная функция.2.5.8.  ( A)     :   1 ,  p ( A)     :   1 . Указание. Восполь-зоваться тем, что для любого x  H справедливо разложение в ряд Фурьеn 1n 1x   xn en , где xn  ( x, en ) и || x ||  | xn |2 , и рассмотреть операторA : l2  l2 , Ax  ( x2 , x3 , x4 ,...) .2.5.14.( R ( A) )   ( R ( A) ) 2 .Указание.ВоспользоватьсяформулойR   ( A)  R ( A).

2.5.15. 1) I ; 2) A . 2.5.17. Указание. Воспользоватьсяопределениеминфимума.2.5.19.1) ( A)   ;2)  ( A)  { :   2 ki, k  } , 3)  ( A)   .( R ( A) )  lim 0§ 2.62.6.3. 1) A* y  (0, 0,..., 0, y1 , y2 ,...) ;n 12) A y  ( y2 , y1 ,  y4 , y3 ,...,  y2 n , y2 n 1 ,...)   Ay .* 3672.6.4.2)A* y  (1 yn 1 , 2 yn  2 ,...) .11)2.6.5.A* y ( s )   y (t ) dt .sb2.6.6.

A*u  (u , z ) y . 2.6.8. A* y (t )   K ( s, t ) y ( s ) ds , K ( s, t )  K (t , s ) . 2.6.13 a2.6.14. Указание. Воспользоваться критерием принадлежности числа   резольвентному множеству самосопряженного оператора. 2.6.15.Указание. Доказать, что   2  регулярная точка самосопряженногооператора A . (1) n  (1) n 2.6.17. 1)  ( A)  {0}   ,  p ( A)   ,  c ( A)  {0} ; n n 1 n n 1 15)  ( A)   p ( A)  {2}  2   ;n n 11 16)  ( A)  {2}  2   ,  p ( A)  2   ,  c ( A)  {2} .nn n 1n 12.6.18.

1)  ( A)   c ( A)  [1 2,1] ;2)  ( A)  [1 2,1] ,  p ( A)  {1 2} ,  c ( A)  (1 2, 1] ;5)  ( A)  [0, 2] ,  p ( A)  {2} ,  c ( A)  [0, 2) ;9)  ( A)   p ( A)  {2,3} ;12)  ( A)  [ 5 4, 1]  [0,1] ,  p ( A)  {1} ,  c ( A)  [ 5 4, 1]  [0,1) .2.6.19.  ( A)   :    (t ), t  [0,1]  Im  , p ( A)  {  Im  : множество {t  [a, b] :  (t )  }содержит внутренниеточки,  c ( A)   ( A) \  p ( A) .2.6.25  2.6.26. Указание. Воспользоваться теоремой Банаха 2.4.2 об обратном операторе.2.6.31. 1)  ( A)   ( B)  {   : |  |  1} ,  r ( A)   p ( B)  {   : |  |  1} , p ( A)   r ( B)   ,  c ( A)   c ( B)  {   : |  |  1} .§ 2.72.7.4.

Указание. Для каждого xn определить линейный непрерывныйоператор Bn : X  Y , действующий по формуле Bn ( y )  B( xn , y ) , воспользоваться теоремой 2.7.1 и доказать, что если xn  0 и yn  0 , 368то B ( xn , yn )  0 . 2.7.7.

3) Пусть существует оператор A  L ( X , Y ) такой,sчто An  A . Так как || An x  x ||Y  0, x  L, то Ax  x , x  L . Возьмем11, ..., 2 ,...)  l1 , z  L , и рассмотрим последовательность22n11{xn }  L , где xn  (1, 2 ,..., 2 , 0, 0,...) . Так как || xn  z || l1  0 , Axn  xn и2nоператор A непрерывен и определен в точке z , то Axn  Az , гдеAz  lim xn в пространстве Y . С другой стороны, пространство Y не полное и данная последовательность {xn } не сходится в Y , поэтому операторэлемент z  (1,A не определен в точке z . Итак, оператора A  L ( X , Y ) не существует.2.7.14.

2) непрерывный и замкнутый; 6) не является непрерывным, замкнутый. 2.7.20. Указание. Рассмотреть операторы Ai (i  1, 2)  операторыпроектирования на подпространство M и, соответственно, на подпространство N , т. е. A1 , A2 : X  X , A1 x  y, A 2 x  z, x  X . Доказать замкнутость операторов Ai (i  1, 2) и воспользоваться теоремой Банаха 2.7.4 озамкнутом графике. 2.7.21 – 2.7.22.

Указание. Доказать замкнутость оператора A и воспользоваться теоремой Банаха 2.7.4 о замкнутом графике.2.7.24. Указание. Воспользоваться задачей 2.7.23 и доказать, что резольвентное множество замкнутого оператора открыто. 2.7.25. Указание. Рассмотреть оператор вложения A :  X , ||  || 1   C[0,1] , Ax  x , и доказать егозамкнутость. 2.7.26. Указание. Доказав замкнутость и неограниченностьоператора A1 , воспользоваться следствием 2.7.2 из теоремы Банаха озамкнутом графике.§ 2.8sxn  0 ; 2)2.8.2. 1)swxn  ,xn  0 ; 3)sxn  ,wxn  ; 7)sxn  ,wsswsw1 1xn  x  (1, , ,...) . 2.8.3. 1) xn  0 ; 2) xn  , xn  0 ; 3) xn  , xn  0 ;2 3swswsws4) xn  , xn  . 2.8.4.

1) xn  , xn  0 ; 2) xn  , xn  x , x(t )  t ; 5) xn  ,ws* ws2xn  ; 6) xn  x , x(t )  t . 2.8.5. 1) X  l1 : f n  , f n  f , f ( x)   xi ;i 1sw* ws* wsX  l2 , c0 : f n  , fn  , fn  ; X  l : f n  , fn  ; 2) X  l1 : f n  , 369* wsfn  f ,sfn  ,* wwfn  f ,sfn  f ,* wwf ( x)  x2 ; X  c0 : f n  ,fn  , fn  f ,f ( x)  x2 ; X  l2 :* wsf ( x)  x2 ; X  l :fn  ,fn  ; 4) X  l1 :sw* wxk; X  l2 : f n  f , f n  f , f n  f ,k 1 k* wf n  f , f n  f , f ( x)  x10  f ( x)  x10  k 12.8.7. 1)sw* ws* wxk; X  c0 : f n  , fn  , fn  ; X  l : f n  , fn  .k* wsfn  ,f n  0 ; 2)s1sf n  0 ; 4)f ( x)   x(t ) et dt .fn  f ,0swsws2.8.8.

1) An  , An  , An  0 ; 2) An  , An  , An  ; 3) An  , An  ,wswsAn  0 ; 9) An  , An  , An  A , Ax  ( x1  x2 , 0, 0,...) ; 10) An  , An  0 .2.8.9. Нет. Указание. Рассмотреть операторы An , Bn  L  l2  , n   , гдеAn x  ( xn , 0, 0,...) , Bn x  (0,..., 0, x1 , 0, 0, ...) .n 12.8.11. 1) Да; 2) нет. Указание. Рассмотреть операторы An  L  l2  , n   ,где An x  ( xn 1 , xn  2 ,...) ; 3) да. 2.8.13. 1) ( xn , yn )  ( x, y ) . 2.8.18. Указание.n Доказать замкнутость оператора A и воспользоваться теоремой Банаха2.7.4 о замкнутом графике.

2.8.22. Указание. Используя естественное вложение пространства Y в Y ** и теорему Банаха  Штейнгауза 2.7.1, доказать, что || An x ||  Cx , x  X . 2.8.27. 1) Да; 2) нет; 3) да. 2.8.29. 1) Нет (последовательность xn (t )  t n , n   , слабо фундаментальна в C[0,1] , но1,...,10, 0,....) , n   ,слабо не сходится); 2) нет (последовательность xn  (1,nслабо фундаментальна в c0 , но слабо не сходится). 2.8.33 – 2.8.34. Указание. Воспользоваться теоремой Алаоглу 2.8.10.§ 2.92.9.2. Указание. Для доказательства компактности оператораA  L ( X ) воспользоваться критерием относительной компактности множества в пространстве X : X  l2  утверждение 1.3.4, X  C [a, b]  теорема Арцела 1.3.4.

2.9.3. 1) Да; 2) нет; 3) да; 4) нет. 2.9.4. Указание. Воспользоваться утверждением 2.9.1 и построить последовательность 370 xn   Xтакую, что || xn ||  1 и последовательность  Axn  не имеет схо-дящейся в X подпоследовательности. 2.9.5. Указание. Для доказательстваотносительной компактности множестваx : x  C [0,1], || x ||1C1 [0,1]1в пространстве C[0,1] воспользоваться теоремой Арцела 1.3.4.

2.9.9. Указание. Пусть A  L (l2 ) – компактный оператор и Ax  y , x  l2 , гдеy  ( y1 , y2 ,..., yn ,...) . Используя критерий относительной компактности в l2множества { y  l2 : y  Ax, || x ||  1} (утверждение 1.3.4), найти такое числоN  1 , что Ax  y  y  y , x  l , где122y  ( y , y ,..., y , 0, 0,..) , y  (0, 0,..., 0, y , y ,...)112N2N 1N 2и || y 2 ||  1 для всех || x ||  1 . Доказать, что A1 , A2  искомые операторы,где A x  y , A x  y , x  l .

Характеристики

Список файлов книги