1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

Доказать, что оператор A : X  X не является компактным, если:1) X  l1 , Ax  ( x1 , 0, x3 , 0, x5 , 0,...) ;2) X  l2 , Ax  (0, x1 ,..., xn ,...) ;xx2x, x3 , 4 ,..., x2 n 1 , 2 n , x2 n 1 ,,...) ;242nx10x1 x2 l2 , Ax  ( , 2 , ..., 10 , x11 , x12 ,...) ;2 22 C[0,1] , Ax(t )  2 x(t ) ; C[0,1] , Ax(t )  t 3 x(t ) ; C[0,1] , Ax(t )  et x(t ) ;3) X  l2 , Ax  (x1 ,4) X5) X6) X7) X2921 x(t ), 0  t  3 ,8) X  L2 [0,1] , Ax(t )   0, 1  t  1;31 x(t ), 0  t  2 ,9) X  L2 [0,1] , Ax(t )  2 x(t ), 1  t  1;21 2 x(t ), 0  t  4 ,10) X  L2 [0,1] , Ax(t )  3x(t ), 1  t  1;411) X  L2 () , Ax(t )  x(t  h) , где h    фиксированноечисло.2.9.5. Доказать, что оператор вложенияA : C1[0,1]  C[0,1] , Ax(t )  x(t ) ,вполне непрерывен.2.9.6.

Является ли ограниченный операторA : C1[0,1]  C[0,1] , Ax(t )  x(t ) ,компактным?2.9.7. Пусть X и Y  конечномерные нормированные пространства и A : X  Y  линейный оператор, определенный на X . Доказать, что A – компактный оператор.2.9.8. Пусть линейный ограниченный оператор A : X  Y определен на нормированном пространстве X и действует в конечномерное линейное многообразие нормированного пространства Y(оператор конечного ранга). Доказать, что оператор A вполне непрерывен.2.9.9.

Доказать, что в пространстве l2 любой вполне непрерывный оператор A представляется в виде A  A1  A2 , где A1  оператор конечного ранга и || A2 ||  1 .2932.9.10. Сформулировать и доказать критерий компактностимультипликативного оператораA : l p  l p , Ax  (1 x1 , 2 x2 ,..., n xn ,...) , n   , n   ,действующего в пространстве l p , 1  p   . нормированные пространства иA , B  L ( X , Y )  компактные операторы. Доказать, что любая линейная комбинация операторов A и B также является компактнымоператором.2.9.12. Пусть X  нормированное пространство, A, B  L ( X )и B  компактный оператор.

Доказать, что AB, BA  компактныеоператоры.2.9.13. Пусть X , Y  нормированные пространства иA  L ( X , Y ) . Доказать, что если пространство X или Y конечномерное, то A  компактный оператор.2.9.14. Пусть X , Y  нормированные пространства. Доказать,что множество значений компактного оператора A  L ( X , Y ) естьсепарабельное линейное многообразие в Y .2.9.15. Доказать, что компактный оператор, действующий в бесконечномерном нормированном пространстве X , не имеет ограниченного обратного оператора.2.9.16. Пусть X  банахово пространство, An , A  L ( X ) и An ,2.9.11. ПустьX, Yn   ,  компактные операторы.

Верны ли следующие утверждения:1) если An  A , то оператор A компактен;s2) если An  A , то оператор A компактен;w3) если An  A , то оператор A компактен?2.9.17. Пусть H  сепарабельное гильбертово пространство,A  L ( H )  компактный оператор. Доказать, что существует последовательность операторов конечного ранга An  L ( H ) , n   ,сходящаяся к оператору A равномерно.2942.9.18.

Пусть X  нормированное пространство. Доказать, чтокомпактный оператор A  L ( X ) переводит слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся, т. е.wsxn  x  Axn  Ax .Доказать, что в рефлексивном пространстве X справедливо иобратное утверждение: оператор A  L ( X ) , переводящий слабосходящуюся последовательность в сильно сходящуюся, компактен.2.9.19. ПустьA : l2  l2  компактный оператор иxn  ( 0,..,0,1, 0, 0,...) , n   . Доказать, что || Axn ||  0 .n2.9.20.

Пусть en , n    ортонормированная система в гильбертовом пространстве H , A : H  H  вполне непрерывныйоператор. Доказать, что || Aen ||  0 .2.9.21. Пусть H  гильбертово пространство, {xn }, { yn }  H иwA  L ( H )  компактный оператор. Доказать, что если xn  0 ,wyn  0, то ( Axn , yn )  0 .2.9.22. Пусть A  вполне непрерывный оператор, действующийв банаховом пространстве X . Доказать, что Ker ( I  A)  конечномерное подпространство пространства X .2.9.23.

Пусть X  банахово пространство. Могут ли следующиемножества:1) [1, 2] ;3) {0, 1} ;2) [1, 1] ;4) {1, 2} ;1n1, n  } ;n18) {0 , 1  , n  } ;n10) (1, 1) ;5) { , n  } ;6) {1, 1 1, n  } ;n9) n , n   ;7) {0,29511) {0 , n,1, n  } ;n1n12) {0, 1, 1  , n  }быть спектром 1) оператора A  L ( X ) ; 2) компактного оператораA  L( X ) ?2.9.24. Привести примеры компактных операторов, спектры которых являются следующими множествами:1) {1, 0, 1} ;2) {0, 1, 2} ;(1) n, n  } ;n5) {2, 3} ;3) {0,4) {0,1, n  } ;2n6) {1} .2.9.25. Привести пример компактного оператора A такого, что ( A)   p ( A)  0, 1 , причем собственное значение   1 имеетконечную кратность, а собственное значение   0  бесконечнуюкратность.2.9.26.

Привести пример компактного оператора A такого,что  p ( A)   .2.9.27. Пусть H  гильбертово пространство. Доказать, что ненулевой самосопряженный компактный оператор A  L ( H ) имеетхотя бы одно ненулевое собственное значение.2.9.28. Пусть H  гильбертово пространство и A  L ( H ) компактный самосопряженный оператор, имеющий конечное множество собственных значений. Доказать, что 0  p ( A) .2.9.29. Пусть X  банахово пространство, A  L ( X )  компактный оператор и 0  p ( A) .

Может ли собственное подпространство, отвечающее собственному значению   0 , быть бесконечномерным?2.9.30. Доказать, что оператор A: X  X является вполне непрерывным. Найти спектр оператора A и классифицировать точкиспектра, если:1) Ax  (0,xx2x, 0, 4 ,..., 0, 2 n , 0,...) , X  l2 ;242n296xx2,..., n ,...) , X  l2 ;n2x x3) Ax  (0, x1 , 2 , 3 ,...) , X  l2 ;2 3xx x4) Ax  ( 1 , 22 , ..., nn ,....) , X  l2 ;2 22xx1 x25) Ax  (0, , 2 ,..., nn ,....) , X  l2 ;3 33xx26) Ax  (0, х1 , 0, ,..., 0, n , 0,....) , X  l2 ;2n7) Ax  ( x1 , x2  x3 , x3 , ..., xn , 0, 0,...) , где n  3  фиксированное число, X  l2 ;2) Ax  (0,t8) Ax(t )  3 x( s ) ds , X  C[0,1] .02.9.31. Пусть X  бесконечномерное банахово пространство,A: X  X  вполне непрерывный оператор и уравнение Ax  yимеет для каждого y  Im( A) единственное решение x .

Доказать,что зависимость решения x от правой части y не может быть непрерывной.2.9.32. Пусть P  ортопроектор гильбертова пространства H наподпространство L  H . Сформулировать и доказать критерийкомпактности оператора P .2.9.33. Пусть X  банахово пространство и A  L ( X ) . Можетли резольвента оператора A быть компактным оператором?2.9.34.

Пусть X  банахово пространство и A  L ( X ) . Можетли оператор A быть компактным, если он удовлетворяет уравнению3 A7  2 A4  I  0 ?2.9.35. Пусть A  компактный оператор, действующий в банаховом пространстве X . Доказать, что если для числа   0 существует оператор   I  A  , то   регулярная точка оператора A .12972.9.36.

Пусть X  банахово пространство и A  L ( X ) . Может1?22.9.37. Пусть X  банахово пространство и A  L ( X ) . Можетли оператор I  A быть компактным, если || A ||  1?2.9.38. Пусть X  нормированное пространство и A  L ( X ) .Может ли оператор A быть компактным, если для некоторой константы m  0 справедливо неравенство|| Ax ||  m || x ||, x  X ?2.9.39. Может ли унитарный оператор A  L ( H ) , действующийв гильбертовом пространстве H , быть компактным?ли оператор A быть компактным, если || I  A || 298§ 2.10. Интегральные уравненияРазрешимость линейных интегральных уравнений с вырожденными ядрами. Спектр интегральных операторов с вырожденными ядрами. Применение теории Фредгольма.В этом параграфе предполагается, что пространства C[a, b] иL2 [a, b] являются комплексными.Рассмотрим интегральное уравнениеbx( s )    K ( s, t ) x(t ) dt  f ( s )(1)aс вырожденным ядромn a (s) b (t ) ,K ( s, t ) k 1kk(2)где функции ak (k  1,..., n) , как и bk (k  1,..., n) , принадлежатпространству C[a, b] и линейно независимы.Пусть f  C[a, b]  заданная функция,     комплексныйпараметр.

Тогда решением интегрального уравнения (1) будет такаяфункция x из пространства C[a, b] , чтоnbk 1ax( s )    ak ( s )  bk (t ) x(t ) dt  f ( s ) .Обозначив неизвестные константыbck   bk (t ) x(t ) dt , k  1,..., n,aполучим окончательный вид решенияnx( s )    ck ak ( s )  f ( s ) .(3)k 1При   0 решение уравнения (1) существует и равно правойчасти, т. е. x( s )  f ( s ), s  [a, b] .Пусть   0 . Чтобы найти константы ck , подставим выражение(3) в исходное уравнение299bnx( s )     ak ( s ) bk (t ) x(t ) dt  f ( s)a k 1и получим соотношениеbnnn  ck ak ( s)  f ( s)     ak ( s)bk (t )(  cm am (t )  f (t )) dt  f ( s) ,k 1a k 1m 1равносильное уравнениюbnn a (s)(c   b (t )(  ck 1kkkam 1mam (t )  f (t )) dt )  0 .Пользуясь линейной независимостью функций ak (k  1,..., n) , получим систему линейных алгебраических уравненийnbbm 1aack    cm  am (t )bk (t ) dt   bk (t ) f (t ) dt , k  1,..., n .(4)Функция x , определяемая равенством (3) с коэффициентами ck ,k  1,..., n, удовлетворяющими системе (4), является решением интегрального уравнения (1).Объединяя случаи, когда   0 и   0 , приходим к следующему утверждению.

Для данной функции f и при данном  интегральное уравнение (1) имеет решение тогда и только тогда, когдасоответствующая система (4) разрешима. При этом решение xуравнения (1) имеет вид (3) с коэффициентами ck , k  1,..., n, удовлетворяющими системе (4). Таким образом, интегральное уравнение (1) эквивалентно линейной системе алгебраических уравнений (4).Определитель D( ) линейной системы (4) является функциейпараметра  .

Рассмотрим два возможных случая.1. Пусть для данного значения  определитель системы (4) неравен нулю. Тогда эта система и интегральное уравнение (1) однозначно разрешимы при любой правой части f .2. Пусть для   0 определитель системы (4) равен нулю. Тогдав зависимости от правой части f как система, так и интегральноеуравнение (1) будут одновременно или иметь бесконечно много300решений, или вообще не иметь решений. Отметим, что еслиD(0 )  0 , то 0  0 .Значение параметра 0 , при котором определитель системы (4)равен нулю, называется характеристическим числом ядра K ( s, t )или характеристическим числом интегрального уравнения (1).Интегральное уравнение (1) с вырожденным ядром (2) имеет неболее чем n характеристических чисел, при этом все характеристические числа не равны нулю.Пример 2.10.1. Рассмотрим интегральное уравнение1x( s )    (1  s ) t x(t ) dt  s ,    .0Решение уравнения имеет видx( s )   (1  s )c  s ,(5)1где c  t x(t ) dt .

Для нахождения константы c умножим (5) на s0и полученное равенство проинтегрируем по отрезку [0, 1] . Получим уравнение1100c   c  s (1  s ) ds   s 2 ds ,т. е.1 1   c  .3 6Следовательно, если   6 , то и алгебраическое, и интегральноеуравнения имеют, соответственно, единственные решенияc26и x( s ) 2(1  s )  s ,    .6Если   6 , то оба уравнения решений не имеют. Число   6является характеристическим числом ядра K ( s, t )  (1  s ) t (характеристическим числом интегрального уравнения). ■301Пример 2.10.2.

Укажем все значения параметра    , при которых однородное уравнение1x( s )    (1  s) t x(t ) dt  00имеет ненулевые решения, и найдем эти решения.Рассуждая так же, как в предыдущем примере, получим следующий вид решения этого уравнения:x( s )   (1  s )c ,где1c   t x(t ) dt .0Константа c удовлетворяет уравнению 1   c  0 . 6Итак, ненулевые решения однородного алгебраического уравнения возможны только при   6 , т. е. когда  есть характеристическое число интегрального уравнения. При   6 однородное алгебраическое уравнение имеет бесконечно много решений c  const, аоднородное интегральное уравнение  бесконечно много решенийx( s )  c (1  s ) ,где c    произвольная константа.

Характеристики

Список файлов книги