1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

е. | zn |  0 .n Рассматривая в качестве ортонормированной системы исходную систему {en } , получаемf (en )   n  (en , y )  ( y, en )  yn  0 ,n 259где yn  коэффициенты Фурье элемента y  H по системе {en } . Всилу произвольности f  H * слабая сходимость к нулю ортонормированной системы {en } доказана. ■Теорема 2.8.1 (критерий слабой сходимости в нормированном пространстве). Пусть X  нормированное пространство иxn , x  X , n   . Последовательность  xn  слабо сходится к xтогда и только тогда, когда1) последовательность  xn  ограничена;2) f ( xn )  f ( x) для любого f   , где   X   множество,линейная оболочка которого всюду плотна в X  .► При доказательстве утверждения 2.8.1 было показано, чтослабая сходимость последовательности элементов x n ( n   ) к x внормированном пространстве X равносильна поточечной сходимости последовательности соответствующих функционалов Fx n кфункционалу Fx в X  , т.

е.Fxn ( f )  Fx ( f ) , f  X * .Если функционалы из X ** рассматривать как линейные операторыиз пространстваL  X * , 1   или L  X * , 1  , то получаем, что по-следовательность операторов {Fxn } сильно сходится к Fx . Поэтомуутверждение теоремы следует из критерия сильной сходимости последовательности операторов (теорема 2.7.3), который применяетсяк последовательности {Fxn } .

◄Теорема 2.8.1 используется для получения критериев слабойсходимости последовательностей в конкретных нормированныхпространствах.Теорема 2.8.2 (критерий слабой сходимости в конечномерномнормированном пространстве). В конечномерном нормированномпространстве Xsxn  x 260wxn  x .►  В силу утверждения 2.8.1 в любом нормированном пространстве из сильной сходимости следует слабая сходимость, т. е.sxn  x wxn  x . Докажем, что в конечномерном нормированном пространстве X верно и обратное утверждение, т.

е.wxn  x sxn  x .wДля этого покажем, что если xn  x , то {xn } сходится к x покоординатно, что равносильно сильной сходимости в X (задача 1.4.22).При доказательстве этого утверждения последовательность {xn } впространстве X мы будем обозначать {x ( n ) } .Пусть пространство X имеет размерность k , где k  фиксированное натуральное число, и a1 ,..., ak  базис в пространстве X .Тогда справедливы представленияx(n) k хi( n ) ai , n   , x i 1kх a ,i 1iiгде хi( n ) , хi – координаты x ( n ) и, соответственно, x при разложении по данному базису.Рассмотрим в сопряженном пространстве X * базис, состоящийиз функционалов g1 ,..., g k  X * таких, что g i ( a j )   ij , где  ij символы Кронекера (теорема 2.1.5).

Справедливоgi ( x ( n ) )  xi( n ) , gi ( x)  хi , i  1,..., k .Из слабой сходимости {x ( n ) } к x следует, чтоxi( n )  gi ( x ( n ) )  gi ( x)  xi , i  1,..., k ,n (n)т. е. последовательность {x } сходится к x покоординатно. ◄261Теорема 2.8.3 (критерий слабой сходимости в пространстве l p , 1  p   ). Последовательность  xn  слабо сходится к x впространстве l p , 1  p   , тогда и только тогда, когда1) последовательность  xn  ограничена;2) последовательность  xn  сходится к x покоординатно.► При доказательстве этого утверждения обозначим последова- тельность  xn  в пространстве l p через x ( n ) . Пустьx ( n )  ( x1( n ) , x2( n ) ,..., xi( n ) ,...), n  , x  ( x1 , x2 ,..., xi ,...).Известно (табл.

2.1.1), что сопряженное пространство к l p ,1  p   , изоморфно и изометрично пространству lq ( l *p  lq ), где1 p  1 q  1 . Это означает, что для любого функционала f l *pсуществует единственный элемент f  ( f1 ,..., f i , ...)  lq такой, чтоf ( x) x f ,x l p ,i ii 1и при этом || f ||l*  || f ||lq .pВ пространстве lq элементы g i  (0,..., 0,1, 0, 0,...), i  1, 2,...,iобразуютсчетныйбазис,такy  ( y1 , y2 ,..., yi ,...)  lq справедливоn|| y   yi g i ||lq какqi 1|y |qii  n 1длялюбого 0.n Поэтому соответствующие функционалыgi ( х)  хi , х  l p , i  1, 2,...,образуют счетный базис в пространстве l *p .

Действительно, для любого функционала f l *p справедливо единственное представлениеf fgi 1262ii,так какnn|| f   fi gi || l*  || f   f i g i || lq  0 .pi 1n i 1Применим критерий слабой сходимости (теорема 2.8.1) к пространству l p , взяв в пространстве l p* множество функционалов{gi }i1 в качестве множества  . Имеем:f ( xn )  f ( x) для любого f    xi( n )  gi ( x ( n ) )  gi ( x)  xi , i  1,.2,... .n wПолучаем, что x ( n )  x в l p тогда и только тогда, когда выполнены условия 1), 2) теоремы. ◄Замечание 2.8.1.

Из теоремы 2.8.1 следует, что в пространствахl1 и l условия 1), 2) теоремы 2.8.3 необходимы для слабой сходиwмости xn  x . Покажем, что эти условия не являются достаточными.Рассмотрим в пространстве l1 последовательность0,1,x ( n )  (0,..., 0, 0,...) , n   ,nи функционал*f  l1 , f ( x)  x , xl .i 1i1Последовательность {x ( n ) } ограничена ( || x ( n ) ||  1, n   ) и покоординатно сходится к нулю. При этом {x ( n ) } не сходится к нулюслабо, так как f ( x ( n ) )  1  0 .Рассмотрим в пространстве l последовательностьx ( n )  (0,...,0,1,1,1,...), n  ,n263которая ограничена ( || x ( n ) ||  1, n   ) и покоординатно сходитсяк нулю. Покажем, что {x ( n ) } не сходится слабо к нулю в l , длячего построим F  l* такой, что F ( x ( n ) )  1  0 .Рассмотрим в пространстве l подпространство c сходящихсяпоследовательностей, т.

е.c  {x  l : x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...) и существует конечный lim xn } .n Определим линейный функционалf ( x)  lim xn , x  с ,n который ограничен на c , так как| f ( x) |  | lim xn |  lim | xn |  sup| xn |  || x || l , x  с .n n nПо теореме Хана  Банаха существует функционал F  l* , который является продолжением функционала f на все пространствоl с сохранением нормы (например, F ( x)  lim xn , x  l ). Очеn видно, что F ( xn )  1  0 . ■Пример 2.8.2. Исследуем в пространствах l и l2 сходимостьпоследовательности {xn } , где111xn  (0,0,...,0, n , n  1 ,..., 2n , 0, 0,...) , n   .n 1Последовательность {xn } покоординатно сходится к нулю и|| xn || l 1 0.nswПоэтому xn  0 и, следовательно, xn  0 в пространстве l .Последовательность {xn } ограничена в l2 , так как|| xn || l22 1111 ...

 (n  1)  2 .2n nn n 1wПоэтому xn  0 в пространстве l2 .264Сильным пределом рассматриваемой последовательности в l2может быть только нуль, но|| xn || l22 11111(n  1)  . ... 2n 2n2n n 1Значит, {xn } не сходится сильно к нулю, а следовательно, вообщене сходится сильно в l2 . ■Теорема 2.8.4 (критерий слабой сходимости в пространстве l1 ).

([5], гл. VIII, § 3) В пространстве l1 справедливоwxn  xsxn  x .Теорема 2.8.5 (критерий слабой сходимости в гильбертовомпространстве). Пусть H – гильбертово пространство иxn , x  H , n   . Справедливы следующие утверждения:w1) xn  x  ( xn , a )  ( x, a ) для любого a  H ;n w2) xn  x  а) последовательность  xn  ограничена;б) ( xn , e )  ( x, e )n для любого  A , где{e ,   A}  ортонормированный базис в H .► В силу теоремы Рисса о виде линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве H (теорема 2.1.6), утверждение 1) есть определение слабой сходимости в H .В гильбертовом пространстве H линейная оболочка ортонормированного базиса всюду плотна в H .

Поэтому справедливостьутверждения 2) следует из критерия слабой сходимости в нормированном пространстве (теорема 2.8.1). ◄Пример 2.8.3. Рассмотрим последовательностьx ( n )  (0,..., 0, (1) n , 0, 0,...), n  ,nв пространстве l2 . Для любого a  (a1 , a2 ,..., an ,...)  l2 имеем( x ( n ) , a )  (1) n an  0 ,n 265swпоэтому x ( n )  0 . Но x ( n )  , так как || x ( n ) ||  1 , n  . ■Теорема 2.8.6 (критерий слабой сходимости в пространстве L p [a, b] , 1  p   ). ([5], гл.

VIII, § 3) Последовательностьфункций xn слабо сходится к функции x в пространствеL p [a, b] , 1  p   , тогда и только тогда, когда1) последовательность  xn  ограничена;2) x (t ) dtnen  x(t ) dtдля любого измеримого множест-eва e  [a, b] .Теорема 2.8.7 (критерий слабой сходимости в пространстве C[a, b] ).

([5], гл. VIII, § 3) Последовательность функций {xn }слабо сходится к функции x в пространстве C[a, b] тогда итолько тогда, когда1) последовательность  xn  ограничена;2) последовательность xn (t )сходится к x(t ) для каждо-го t  [a, b] .Введем некоторые понятия, связанные со слабой сходимостью.Определение 2.8.3. Последовательность  xn   X называетсяслабо фундаментальной, если для любого функционала f  X числовая последовательность f ( xn ) фундаментальна.Определение 2.8.4. Нормированное пространство X называетсяслабо полным, если любая слабо фундаментальная последовательность  xn   X слабо сходится к некоторому элементу x  X .Определение 2.8.5. Множество M  X называется слабо ограниченным, если для любого функционала f  X  множество егозначений f ( x) : x  M ограничено, т. е.

существует констан-та K f  0 такая, что| f ( x) |  K f , x  M .266Теорема 2.8.8 (критерий рефлексивности банахова пространства). ([16], § 4, п. 7) Для того чтобы банахово пространство Xбыло рефлексивным, необходимо и достаточно, чтобы из любойограниченной последовательности пространства X можно быловыделить слабо сходящуюся в X подпоследовательность.2. Сходимость последовательности функционалов { f n }в сопряженном пространстве X *Пусть X  нормированное пространство.

Характеристики

Список файлов книги