1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

Для последовательности функционалов { f n }  X  определим следующие виды сходимости к функционалу f  X * .Определение 2.8.6. Последовательность { f n } сходится к fsсильно ( f n  f ), если || f n  f ||  0 .n Определение 2.8.7. Последовательность { f n } сходится к fwслабо ( f n  f ), если для любого функционала F  X  числоваяпоследовательность F  f n  сходится к F ( f ) , т. е.| F  fn   F ( f ) |  0 .n Определение 2.8.8. Последовательность { f n } сходится к f w -слабо ( f n  f ), если для любого x  X числовая последовательность f n ( x) сходится кf ( x) , т. е.| f n ( x)  f ( x) |  0 .n *В сопряженном пространстве X связь между сильной и слабойсходимостями и свойства слабо сходящихся последовательностейтакие же, как в любом нормированном пространстве.

Рассмотримнекоторые свойства  -слабой сходимости последовательностифункционалов.267Утверждение 2.8.2. Пусть X  нормированное пространство,f n , f  X  , n   . Тогдаwfn  f wfn  f .► Справедливы соотношения:wf n  f   F  X ** F ( f n )  F ( f );* wf n  f  x  Xx  X(2)f n ( x )  f ( x)  ( X )  X **Fx ( f n )  Fx ( f ).(3)Так как Fx   ( x)  X , то из соотношений (2) следует справедливость соотношений (3), т. е.** wwfn  f  fn  f .

◄Замечание 2.8.2. Если X  рефлексивное нормированное пространство, то в сопряженном пространстве X * слабая и * -слабаясходимости совпадают.► Нормированное пространство X рефлексивно (определение2.1.13), если  ( X )  X ** . Поэтому в рефлексивном пространст-F  X ** существует единственный элементx  X такой, что F   ( x)  Fx . В этом случае соотношения (2) иве X для любого(3) эквивалентны. ◄В силу замечания 2.8.2 пример последовательности функционалов { f n }  X  , сходящейся  -слабо, но не слабо, можно построитьтолько в нерефлексивном пространстве.Пример 2.8.4. Рассмотрим нерефлексивное пространство X  c0и последовательность функционалов f n  с0 , n   , гдеf n ( x)  xn , x  c0 . wТак как | f n ( x) |  | xn |  0 для каждого x  c0 , то f n  0 .n 268Известно (утверждение 2.1.2), что с0  l1 , поэтому функционалы f n определяются элементамиfn  (0,0,1,..., 0, 0,...)  l1 , n   .nsСледовательно, || f n || с*  || fn || l1  1 и f n  0 .0wПокажем, что f n  0 .

Известно (табл. 2.1.1), что l1*  l , т. е.c0**  (с0* )*  l . Рассмотрим функционал F  c0** , определяемыйэлементом F  (1, 1, ..., 1, ...)  l . Тогда для всех f  c *F( f ) 0f,i 1iгде f  ( f1 , f 2 ,...., f n ,...)  l1  элемент, определяющий функционал f . Получаем F  f n   1  0 . Следовательно,wfn sиУтверждение 2.8.3. Пусть Xfn , f  X  , n   .fn  .

■ банахово пространство и w1) Если f n  f , то последовательность { f n } ограничена.2) Пространство X * полно в смысле  -слабой сходимости.Теорема 2.8.9 (критерий  -слабой сходимости). Пусть X банахово пространство и f n , f  X  , n   . Последовательность функционалов fn -слабо сходится к функционалу f то-гда и только тогда, когда1) последовательность { f n } ограничена;2) f n ( x)  f ( x) для любого x   , где   X  множество,n линейная оболочка которого всюду плотна в X .269► Если функционалы из X  рассматривать как линейные операторы из пространства L X , 1  или L X , 1 , то сильная схо-димость последовательности функционалов соответствует равномерной сходимости последовательности операторов, а  -слабаясходимость  сильной сходимости.

Поэтому утверждение 2.8.3 итеорема 2.8.9 следуют из теорем 2.7.1  2.7.3 для линейных ограниченных операторов. ◄Теорема 2.8.10 (теорема Алаоглу). Пусть X  сепарабельноенормированное пространство. Тогда всякий замкнутый шарB[a, R]  X * компактен в X * относительно  -слабой сходимости, т. е.* w{ f n }  B[a, R ]  { f n k } и  f  B[a, R] : f n k  f .k 3. Сходимость последовательности операторов { An } впространстве L ( X , Y )Пусть X , Y  нормированные пространства. Для последовательности операторов An  L ( X , Y ) , n   , в § 2.3 были определены два вида сходимости к оператору A L ( X , Y ) :{An }( An  A) , если || An  A ||  0 ;1)последовательностьсходитсякAравномерноn s2) последовательность { An } сходится к A сильно ( An  A ), если для любого x  X последовательность An xсильно сходитсяк Ax в Y , т. е.|| An x  Ax ||Y  0 , x  X .n В пространстве L ( X , Y ) имеется еще один вид сходимости последовательности операторов.270Определение 2.8.9.

Последовательность { An } сходится к Awслабо ( An  A ), если для любого x  X An x слабо сходится кпоследовательностьAx в Y , т. е. для любого f  Y | f  An x   f  Ax  |  0 .n Утверждение 2.8.4. Пусть X , Y  нормированные пространства и An , A L ( X , Y ) , n   . ТогдаAn  A sAn  A wAn  A .Приведем пример, показывающий, что слабо сходящаяся последовательность операторов может не сходиться ни сильно, ни равномерно.Пример 2.8.5. Рассмотрим последовательность операторовAn  L  l2  , An x  {0,...,0 , x1 , 0, 0,...} , n   .n1Для каждого x  l2 последовательность An xсходится покоорди-натно к нулю.

Поэтому предельным оператором может быть тольконулевой оператор A  О . Так как|| An x ||  | x1 | , n   ,то последовательность операторов не сходится ни сильно, ни равномерно.wwПокажем, что An  О , т. е. An x  0 для каждого x  l2 . Согласно критерию слабой сходимости в гильбертовом пространстве(теорема 2.8.5),wAn x  0  ( An x, a )  0 для любого a  l2 .Пусть a  (a1 , a2 ,..., an ,...)  l2 , тогда| ( An x, a) |  | x1an |  0 . ■n 271Задачи2.8.1. Доказать единственность предела слабо сходящейся последовательности {xn } в нормированном пространстве.2.8.2.

Исследовать последовательность {xn }n 1 на сильную ислабую сходимости в пространстве l2 , если:11, n  1 n  2 ,...) ;n1) xn  (0,..., 0,1 1 1 2 3 4n2) xn  (0, ..., 0,1, , , ,...) ;3) xn  (0,..., 0, n, 0, 0,...) ;n 11 11 n n  1 ,..., 3n , 0, 0,...) ;n 14) xn  (0,..., 0, ,11,...,, 0, 0,...) ;2n6) xn  (0, ..., 0, (1) n , 0, 0,...);5) xn  (1,n 11117) xn  (1, ,...,,1,,...) ;2n 1 n  1118) xn  (1,...,1,,,...) ;n 1 n  2n1 11 1,.., n , , 0, 0,...) ;22 22 21110) xn  (1, , ..., , n  1, 0, 0,...) .2n9) xn  ( ,2.8.3. Исследовать последовательность {xn }n 1 на сильную ислабую сходимости в пространстве L2 [0,1] , если:2) xn (t )  cos (2 nt ) ;1) x n ( t )  t n ;2721n, t  [0, n ) ,4) xn (t )  0, t  [ 1 ,1];n10, t  [0, n ) ,6) xn (t )  1 , t  [ 1 ,1]; tn1 2n t , t  [0, n ) ,8) xn (t )   1 , t  [ 1 ,1]. tn2.8.4.

Исследовать последовательность {xn }n 1 на сильную ислабую сходимости в пространстве C[0,1] , если:1) xn (t )  t 4 n  t 2 n ;2) xn (t )  e  nt  e 2 nt  t ;1 n , t  [0, n ) ,3) xn (t )   0, t  [ 1 ,1];n1 2 t , t  [0,1  n ) ,5) xn (t )   0, t  [1  1 ,1];n1 t e , t  [0,1  n ) ,7) xn (t )   t , t  [1  1 ,1];n3) xn (t )  etn sin t ;4) xn (t ) 1 2 n t, 0  t  n ,125) xn (t )  2n  n 2t ,  t  ,nn2 t  1; 0,nnt;2  n 2t 26) xn (t )  t 4 2.8.5.

Исследовать последовательность функционаловсильную и  -слабую сходимости в пространствеX  c0 , l1 , l2 , l и1) f n ( x) nxk 1k1.n2 f n n1X  , если2) f n ( x)  x2  xn ;273наxn 1;nnx3) f n ( x)  n  x2 n ;2nx5) f n ( x)   k2  xn 1 ;k 1 k4) f n ( x)  x10  k 16) f n ( x)  k nxk;3k n knxn 1 ;9) f n ( x)  xn n 1xkk32xk;k;x1 xn ;nn10) f n ( x) x1  x2 n .n 17) f n ( x)  x1  8) f n ( x) Исследовать эти последовательности функционалов на слабуюсходимость в пространстве X  , если X  c0 , l2 .2.8.6. Пусть функционалы f n  ( L2 [ 1,1])* , n   , определеныследующим образом:11) f n ( x)  x(t ) cos ( nt )dt ;112) f n ( x)  x(t ) sin (3 nt ) dt .1 wsДоказать, что f n  0 , f n  0 .2.8.7.

Исследовать последовательность функционаловсильную и *-слабую сходимости в пространстве X  , если:11) f n ( x)  x(t ) sin(2 nt ) dt ,X  L2 [1,1] ;112) f n ( x)  x(t ) t n dt , X  L2 [0,1] ;01n3) f n ( x)  x(t ) dt , X  L2 [0,1] ;0274 fnна14) f n ( x) 1nx(t ) et dt , X  L2 [0,1] .02.8.8.ИсследоватьпоследовательностьоператоровAn  L  X  , n   , на равномерную, сильную и слабую сходимости, если:1) An x  (0,..., 0, x1 , 0, 0,...) , X  l3 ;n12) An x  (0,..., 0, x1 , 0, 0,...) , X  l1 ;n13) An x  (0,..., 0, x1 , 0, 0,...) , X  c0 ;n14) An x  (0,..., 0, x1 , x2 ,...) , X  l1 ;n15) An x  (0,..., 0, x1 , x2 ,...) , X  c0 ;n16) An x  (0,..., 0, x1 , x2 ,...) , X  l2 ;n17) An x  (0,..., 0, x1 ,n 1x2 x3, ,...), X  l2 ;2 38) An x  ( x1 , 0,..., 0, nx2 , 0, 0,...), X  l3 ;n 19) An x  ( x1  x2 , 0,..., 0, x3 n 1xn, 0, 0,...), X  l2 ;n10) An x  ( xn , 0, 0,...), X  l2 ;11) An x  (2 x1  xn , x2 , 0, 0,...), X  l2 ;12) An x  (nx1 ,x2 x3, ,...), X  l2 .2 3275Пусть2.8.9.Хнормированноеwпространство,An , A ,wBn , B  L  X  , n   , и An  A , Bn  B .

Можно ли утверждать,wчто An Bn  AB ?2.8.10. Пусть H  гильбертово пространство, An , A  L  H  ,wswn   , и An  A , xn  x . Доказать, что An xn  Ax .2.8.11. Пусть H  гильбертово пространство, An , A L  H  ,n   . Какие из утверждений верны:1) если An  A , то An*  A* ;ssww2) если An  A , то An*  A* ;3) если An  A , то An*  A* ?X2.8.12. Пусть банахово пространство,xn , x  Xиf n , f  X , n   .

Доказать, что f n ( xn )  f ( x) , если:n sss w1) xn  x , f n  f ;wssw2) xn  x , f n  f ;3) xn  x , f n  f ;4) xn  x , f n  f .2.8.13. Пусть H  гильбертово пространство и xn , x  H ,n   . Что можно сказать о сходимости числовой последовательности ( xn , yn ) , если:swww1) xn  x , yn  y ;2) xn  x , yn  y ?2.8.14. Пусть X  банахово пространство и xn , x  X , n   .sДоказать, что xn  x тогда и только тогда, когда последовательность функционалов Fxn   ( xn )  X  равномерно сходится к276функционалу Fx   ( x)  X  на единичном шаре пространства X  , т.

Характеристики

Список файлов книги