1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

е. отображение, осуществляемое оператором A , взаимно однозначно. ◄Пример 2.4.1. Рассмотрим операторы Al , Ar  L (l2 ) , соответственно, левого сдвига и правого сдвига, действующие в вещественном или комплексном пространстве l2 :Al x  ( x2 , x3 , x4 ,...) ,Ar x  (0, x1 , x2 , x3 ,...) .Проверим, являются ли операторы обратимыми.

Для этого, в силу утверждения 2.4.2, исследуем ядра этих операторов.Запишем уравнение Al x  0 в покоординатном виде:x2  0, x3  0, x4  0,... .Решая эту систему, получим, чтоKer ( Al )  {x  l2 : x  ( x1 , 0,..., 0, ...), x1   ()},т. е. оператор Al не имеет обратного оператора.Уравнение Ar x  0 равносильно бесконечной системе уравненийx1  0, x2  0, x3  0,... .,т. е. Ker ( Ar )  {0} . Следовательно, оператор Ar обратим. Заметим,чтоD( Ar )  l2 , Im( Ar )  { y  l2 : y1  0} .Для нахождения оператора Ar 1 решим уравнение Ar x  y прификсированном y  ( y1 ,..., yn ,...)  Im( Ar ) .

Это уравнение эквивалентно бесконечной системе уравнений2030  y1 , x1  y2 , x2  y3 ,..., xn  yn 1 , ... .Следовательно, обратный оператор Ar 1 : l2  l2 , определенный намножестве D( Ar 1 )  Im( Ar )   y  l2 : y1  0 , имеет видAr 1 y  ( y2 , y3 , y4 ,...) .вернотолькоAr 1 y  Al yдля y  Im( Ar ) . При этом для любого x  l2 верны равенстваAr Al x  (0, x2 , x3 ,...) ,Al Ar x  ( x1 , x2 , x3 ,...)  I x . ■Отметим,чторавенствоПример 2.4.2. Рассмотрим мультипликативный операторA : l2  l2 , Ax  (1 x1 ,..., n xn ,...) , n   () , n   .Покажем, что обратный оператор A1 существует тогда и толькотогда, когда n  0 , n   .

Действительно, уравнение Ax  0 равносильно бесконечной системе уравнений n xn  0 , n   . Следовательно, Ker ( A)  {0} тогда и только тогда, когда n  0 , n   .Докажем также, что обратный оператор A1 определен на всемпространстве l2 и ограничен тогда и только тогда, когдаinf | n |  0 . Действительно, обратный оператор A1 : l2  l2 имеnет видA1 y  (11y1 ,...,1nyn ,...) .В силу утверждений, доказанных в примере 2.2.1, справедливо1   inf | n |  0 .n| n |Если n  0 , n   , и inf | n |  0 , то обратный операторA1  L (l2 )  supnn1A : l2  l2 , определенный на множествеD( A1 )  Im( A)  { y  l2 :неограничен. ■2041| n 1nyn |2   }  l2 ,Теорема 2.4.1.

Пусть X , Y  нормированные пространства иA : X  Y  линейный оператор. Оператор A1 : Y  X существует и ограничен тогда и только тогда, когда для некоторой постоянной m  0 выполняется неравенство|| Ax ||Y  m || x || X , x  D( A) .(3)►  Пусть оператор A1 существует и ограничен.

Тогда длянекоторого числа c  0 и любого y  Im( A) выполняется неравенство || A1 y || X  c || y ||Y . Так как y  Ax , где x  D( A) , то получаем1|| x || X ,с1т. е. неравенство (3) выполняется с константой m .c Из неравенства (3) следует, что Ker ( A)  {0} , т. е.

оператор A обратим. Это означает, чтоx  D( A)  x  A1 y, y  Im( A) .|| A1 Ax || X  c || Ax ||Y  || Ax ||Y Тогда из (3) вытекает|| AA1 y ||Y  m || A1 y || X  || A1 y || X 1|| y ||Y ,mт. е. оператор A1 ограничен. ◄Следствие 2.4.1. Линейный оператор A : X  Y не имеет ограниченного обратного оператора тогда и только тогда, когда найдется последовательность  xn   D ( A) такая, что|| xn ||  1 и || Axn ||  0 .n ►  По теореме 2.4.1, линейный оператор A : X  Y неимеет ограниченного обратного оператора тогда и только тогда, когда для любой постоянной m  0 найдется элемент z ( m )  D ( A)такой, что || Az (m) || < m || z ( m) || . Заметим, что z (m)  0 . Для каждого n   возьмем ненулевой элемент zn  z (n)  D ( A) такой,что205|| Azn || 11 0.|| zn || <|| zn ||nn n zПоследовательность  xn   D ( A) , где xn  n , n   , удовле|| zn |||| Azn || <творяет условиям утверждения. Пусть существует последовательность xn   D( A)такая,что || xn ||  1 и || Axn ||  0 .

Очевидно, что неравенство (3) не выn полняется ни для какой константы m  0 . Следовательно, оператор A не имеет ограниченного обратного оператора. ◄Теорема 2.4.2 (теорема Банаха об обратном операторе). ПустьX , Y  банаховы пространства, A  L ( X , Y ) . Если оператор Aвзаимно однозначно отображает X на все Y , то обратный оператор A1 принадлежит пространству L (Y , X ) .Пример 2.4.3. Мультипликативный оператор1 11A : l2  l2 , Ax  ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ,...) ,n2 3определен на всем пространстве l2 , ограничен и обратим.

При этомобратный операторA1 : l2  l2 , A1 y  ( y1 , 2 y2 ,3 y3 ,..., nyn ,...)не ограничен (пример 2.4.2). Теорема Банаха не применима, так какIm( A)  { y  l2 :nn 12| yn |2  }  l2 .Заметим, что Im( A)  l2 . ■Теорема 2.4.3 (теорема Неймана). Пусть X  банахово пространство, A  L ( X ) и || A ||  1 . Тогда существует оператор ( I  A) 1  L ( X ) , где( I  A) 1   An ,n 0|| ( I  A) 1 || 2061.1 || A ||Пример 2.4.4.

Пусть X  комплексное банахово пространство,A  L ( X ) . Если    и |  |  || A || , то существует оператор  I  A1 L( X ) .Из условий следует, что |  |  0 и ||этому(I 1потеоремеНеймана1A ||  |1| || A ||  1 . По-существуетоператор11A) 1  L ( X ) . Так как   I  A    ( I A)   I ( I A) ,то  I  A (I 1A) 111 ( I ( I I1(I 11A)) 1 A) 1  L ( X ) .

■Задачи2.4.1. Доказать, что обратный оператор к линейному операторулинеен.2.4.2. Пусть X , Y  нормированные пространства и у линейного оператора A : X  Y существует обратный оператор. Доказать,что системы элементов x1 , x2 , ..., xn  D ( A) и Ax1 , Ax2 , ..., Axn(n  ) одновременно линейно независимы или линейно зависимы.2.4.3.

Пусть A  L ( X ) , где X  банахово пространство. Доказать, что ряд НейманаAnсходится в пространствеL( X )тогдаn 0итолькотогда,когдасуществуетpчто || A || < 1 .207числоpтакое,2.4.4. Пусть A  L ( X ) , где X  банахово пространство. Доказать, что если ряд НейманаAnсходится в пространствеL( X ) ,n0то его сумма есть оператор  I  A  .12.4.5. Пусть A  L ( X ) , где X  банахово пространство, и|| I  A ||  1 . Доказать существование обратного оператора A1  L ( X ) .2.4.6. Пусть X  банахово пространство и A , A1 , B L( X ) .1, то существуют операто|| A1 ||ры ( A  B) 1 , ( A  B ) 1  L ( X ) .2.4.7. Пусть A : l2  l2 , Ax  (1 x1 , 2 x2 ,..., n xn ,...)  мультип-Доказать, что если|| B || ликативный оператор.

Доказать, что1) если n  (1) n , n   , то существует ограниченный обратный оператор A1 , определенный на всем пространстве l2 ;2) если n  1  (1) n , n   , то оператор A не обратим;1, n   , то существует обратный неограниченныйn3) если n оператор A1 , область определения которого не замкнута и всюдуплотна в l2 .2.4.8. Пусть A : C[0,1]  C[0,1] .

Найти обратный оператор A1и доказать, что он непрерывен на всем пространстве C[0,1] , если:tt1) Ax(t )  x ( s ) ds + x (t ) ;2) Ax(t )  2 x( s ) ds +3 x(t ) ;00tt3) Ax(t )  3 x( s ) ds  x(t ) ;4) Ax(t )  2 x(t )  5 x( s ) ds ;00tt5) Ax(t )  x( s ) ds  2 x(t ) ;6) Ax(t )  3 x(t )  x( s ) ds .002082.4.9. Пусть оператор A действует в пространстве C[0,1] иAx(t )  x(t ) , где D( A)   x : x(t )  непрерывно дифференцируемые на отрезке [0,1] функции такие, что x(0)  0 . Доказать,что оператор A не ограничен, но имеет ограниченный обратныйоператор, определенный на всем пространстве C[0,1] .

Найти A1 .2.4.10. Проверить существование обратного оператора A1 коператору A : l2  l2 . В случае его существования найти оператор A1 и его область определения, если:1) Ax  (0, x1  x2 , x3 , x4 ,...) ;2) Ax  ( x2  x3 , x3 , x4 ,...) ;3) Ax  ( x1  x2 , x2 , x3 ,..., xn ,...) ;xx2,..., nn1 ,...) ;225) Ax  ( x3 , x1 , x2 , x4 , x5 ,..., xn ,...) ;6) Ax  ( x1 , x2 , x2 , x2 , x3 , x2 ,.., xn , x2 , xn 1 ,...) ;7) Ax  ( x1 , 0, x2 , 0, x3 , 0,.., xn , 0,...) ;8) Ax  ( x1 , 0, x3 , 0, x5 , 0,.., x2 n 1 , 0,...) .2.4.11. Для оператора A : C[0,1]  C[0,1] проверить существование обратного оператора A1 и в случае его существования исследовать ограниченность A1 , если:1) Ax(t )  t x(t ) ;2) Ax(t )  (1  t ) x(t ) ;4) Ax  ( x1 ,t3) Ax(t )  x(s) ds ;0t4) Ax(t )  x(s) ds  2 x(t ) ;05) Ax(t )  t x(0) ;6) Ax(t )  (t  1) x(1) ;2097) Ax(t )   (t ) x(t ) , где0  t  1/ 2, 0,t  1/ 2, 1/ 2  t  1.Будет ли множество Im( A) всюду плотным в пространстве C[0,1] ?2.4.12.

Пусть A : X  X , Ax(t )   (t ) х(t )  мультипликативный оператор в пространстве X , гдеа) X  C[0, 2] , б) X  L2 [0, 2] . (t )  Найти A1 . Будет ли область определения D( A1 ) всюду плотна изамкнута в X , если:1)  (t )  2t ;2)  (t )  t  1 ;3)  (t )  t 2 ;4)  (t )  1  t ;5)  (t )  3e ;6)  (t )  2  t 2 ?2.4.13. Пусть X  банахово пространство и оператор A  L ( X )имеет ограниченный обратный оператор.

Доказать, что множествозначений оператора A является подпространством в пространстве X .2.4.14. Пусть X  нормированное пространство и A , A1 , B ,B 1  L ( X ) . Доказать, что существует обратный операторt( AB ) 1  L ( X ) и ( AB) 1  B 1 A1 .A : C1[0,1]  C[0,1] ,Ax(t )  x(t ) , существует оператор B : C[0,1]  C1[0,1] такой, чтоAB  I , но оператор A не имеет обратного оператора.2.4.16.

Показать, что оператор A  L ( l2 ) , Ax  ( x3 , x5 , x7 ,...) , необратим, хотя существует оператор B  L ( l2 ) такой, что AB  I .2.4.17. Пусть X  банахово пространство и G  L ( X )  мно2.4.15. Показать, что для операторажество, состоящее из операторов, имеющих обратные операторы,принадлежащие пространству L ( X ) . Доказать, что множество Gоткрыто в L ( X ) .2102.4.18. Пусть G  множество из задачи 2.4.17. Доказать непрерывность в L ( X ) отображения  такого, что ( A)  A1 , A  G .2.4.19. Пусть X  нормированное пространство.

Доказать, чтооператор A  L ( X ) имеет непрерывный обратный оператор тогда итолько тогда, когда оператор A2 имеет непрерывный обратныйоператор.2.4.20. Пусть A : C[0,1]  C[0,1] , Ax(t )   (t ) x(t )  мультипликативный оператор, где   C[0,1] . Доказать, что оператор Aимеет непрерывный обратный оператор, определенный на всемпространстве C[0,1] , тогда и только тогда, когда  (t )  0 длявсех t  [0,1] .2.4.21. Привести пример оператора A  L ( X ) , обратный оператор к которому неограничен, если:1) X  l2 ;2) X  C[0,1] ;3) X  L2 [a, b] .2.4.22. Пусть X , Y  банаховы пространства, A  L ( X , Y ) .1) Доказать, что если оператор A имеет непрерывный обратныйоператор, то Im( A) замкнуто в пространстве Y .2) Показать на примере, что если оператор A обратим, то множество значений Im( A) может быть не замкнутым в пространстве Y .2.4.23.

Характеристики

Список файлов книги