1625915895-3a744cb5c06ad75d9b8c6809466dfe6e (844024), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Тогда множество элементов из L, ортогональных ко всем элементам из M называется ортогональным дополнением подпространства M и обозначается M ⊥ .Предложение 2.3.2 Ортогональное дополнение M ⊥ есть подпространство пространства L.Теорема 2.3.5 Если M – (замкнутое!) линейное подпространство сепарабельного гильбертова пространства L, то любой элемент x ∈ L единственным образом представим в виде x = x1 + x2 ,где x1 ∈ M , а x2 ∈ M ⊥ .Следствие 2.3.1 (M ⊥ )⊥ = M .Следствие 2.3.2 Каждая ортонормированная система может быть расширена до системы, полной в L.Определение 2.3.4 Если каждый вектор x ∈ L представим ввиде x = x1 + x2 , где x1 ∈ M , а x2 ∈ M ⊥ , то говорят, что L естьпрямая сумма взаимно ортогональных подпространств M и M ⊥ ипишут L = M ⊕ M ⊥ .Ясно, что понятие прямой суммы может быть обобщено на любоеконечное, или даже счетное число подпространств.532.3.4Свойство параллелограмма∗Мы выяснили, что всякое евклидово пространство является нормированным, а по многим свойствам евклидовы пространства гораздоудобнее, чем произвольные нормированные.

Изучим теперь вопросо том, каким дополнительным условиям должна удовлетворять норма в пространстве L, чтобы пространство L было евклидовым, т.е.чтобы эта норма определялась некоторым скалярным произведением.Теорема 2.3.6 Для того чтобы нормированное пространствобыло евклидовым, необходимо и достаточно, чтобы для любых элементов x, y ∈ L выполнялось равенство параллелограмма:(2.3.1)kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ).Пример 2.3.1 В пространстве Rnp (p 6= 2) нельзя ввести скалярное произведение, согласованное с нормой, поскольку не выполненоравенство параллелограмма. В самом деле, для x = (1, 1, 0, .

. . , 0)и y = (1, −1, 0, . . . , 0) мы имеем x + y = (2, 0, 0, . . . , 0), x − y =(0, 2, 0, . . . , 0). Следовательно,kx + yk2p + kx − yk2p = 22 + 22 = 8 6=2(kxk2p + kyk2p ) = 2(22/p + 22/p ) = 4 · 22/p ,если p 6= 2.54Пример 2.3.2 В пространстве C[a, b] нельзя ввести скалярноепроизведение, согласованное с нормой, поскольку не выполнено равенство параллелограмма. В самом деле, для a = 0, b = π/2 иx(t) = cos t, y(t) = sin t мы имеем kxk2 = kyk2 = 1,kx + yk = max | cos t + sin t| =√2,t∈[a,b]kx − yk = max | cos t − sin t| = 1.t∈[a,b]Следовательно,kx + yk2 + kx − yk2 = 3 6= 2(kxk2 + kyk2 ) = 4.Для произвольных a, b можно рассмотреть функцииx(t) = cos2.3.5πt,2(b − a)y(t) = sinπt.2(b − a)Комплексные евклидовы пространства∗Наряду с действительным евклидовым пространством может бытьвведено и комплексное евклидово пространство (т.е. над полем C).Однако аксиомы 1) – 4), сформулированные в определении 2.1.12 немогут быть в комплексном пространстве выполнены одновременно.В самом деле, из 1) и 3) следует, что 0 ≤ (ax, ax) = a2 (x, x), откуда√√√при a = −1 имеем ( −1x, −1)x) = −(x, x) ≤ 0.

Таким образом,√скалярные квадраты векторов x и −1x не могут быть одновременно положительны. Иными словами, аксиомы 1) и 3) несовместимыс аксиомой 4).55Определение 2.3.5 Скалярным произведением на линейномпространстве L над полем C называется комплекснозначная функция (x, y), удовлетворяющая следующим условиям:1) (x, y) = (y, x) для всех x, y ∈ L;2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) для всех x, y, z ∈ L;3) (λx, y) = λ(x, y) для всех x, y ∈ L и всех λ ∈ R;4) (x, x) ≥ 0, причем (x, x) = 0 только при x = 0. Линейноепространство L над полем C со скалярным произведение (x, y) называется комплексным евклидовым пространством.Легко проверить, что все теоремы, доказанные выше для действительных евклидовых пространств справедливы (с незначительными изменениями, учитывающими комплексность скалярного произведения) и для комплексных пространств. Отметим лишь некоторые из них.Предложение 2.3.3 Всякое комплексное евклидово пространpство является нормированным с нормой kxk = (x, x).Понятие угла между векторами в комплексном пространстве какправило не вводят, поскольку величина(x,y)kxkkyk ,вообще говоря, ком-плексна; однако понятие ортогональности сохраняется.Пример 2.3.3 Пространство Cn2 со скалярным произведением(x, y) =nXj=1xj y j56является евклидовым комплексным.

Один из ортонормированныхбазисов в нем образуют вектора ej (1 ≤ j ≤ n). Все n-мерные комплексные евклидовы пространства изоморфны Cn2 , и, следовательно,изоморфны между собой.Пример 2.3.4 Комплексное пространство l2 , состоящее из последовательностей комплексных чисел (x1 , . . . , xn , . . . ), таких, чтоP∞2j=1 |xj | , со скалярным произведением(x, y) =∞Xxj y jj=1является комплексным евклидовым. Один из ортонормированныхбазисов в нем образуют вектора ej (j ∈ N). Все сепарабельные комплексные евклидовы пространства изоморфны комплексному пространству l2 , и, следовательно, изоморфны между собой.Пример 2.3.5 Пространство C2 [a, b] комплекснозначных непрерывных функций на отрезке [a, b] со скалярным произведениемZbx(t)y(t) dt(x, y) =aявляется комплексным евклидовым.

Как известно из курса математического анализа, один из ортонормированных базисов в нем образуют вектора1,2π12πntcos,2πb−a12πntsin2πb−an ∈ N.572.4Лекция 112.4.1Функционалы: основные определения и примерыОпределение 2.4.1 Числовая функция f : L → R (C) на некотором линейном пространстве L называется функционалом. Функционал называется аддитивным, если f (x+y) = f (x)+f (y) для всехx, y ∈ L; функционал называется однородным, если f (x) = af (x)для всех x ∈ L,∈ R (C). Аддитивный однородный функцио-нал называется линейным.

Функционал g : L → R называетсяположительно-однородным, если g(ax) = ag(x) для всех x ∈ Lи a > 0.Мы будем изучать, в основном, свойства линейных функционалов.Пример 2.4.1 Пусть x и a – два вектора из Rn . Функцияf (x) =nXaj x jj=1является линейным функционалом на Rn .Пример 2.4.2 Пусть x – вектор из l2 . Функция fj (x) = xj является линейным функционалом на l2 .Пример 2.4.3 Пусть x(t) и a(t) – две функции из C[a, b]. ФункционалZbf (x) =x(t)a(t) dtaявляется линейным на C[a, b].58Выясним геометрический смысл линейного функционала в конечномерных пространствах.Определение 2.4.2 Ядром функционала f : L → R называетсяподмножество ker f элементов x пространства L, таких, что f (x) =0.Предложение 2.4.1 Пусть f – линейный функционал. Тогдамножество ker f является подпространством пространства L и,более того, если dim L = n < ∞ и f 6≡ 0, то dim ker f = n − 1.Таким образом, всякий ненулевой линейный функционал определяет гиперплоскость ker f в конечномерном пространстве.

Ядроненулевого линейного функционала на бесконечномерном пространстве также можно трактовать как гиперплоскость (см. [1], с. 147–148).В основном, мы изучим некоторые свойства непрерывных функционалов на метрических пространствах. Мы уже давали определение непрерывного отображения метрических пространств (см. определение 1.2.1). Переформулируем это определение для функционалов.Определение 2.4.3 Функционал f : L → R называется непрерывным в точке x0 ∈ L, если для всякого ε > 0 существует такоеδ > 0, что для всех x ∈ L, удовлетворяющих ρ(x, x0 ) < δ, выполняется неравенство |f (x) − f (x0 )| < ε.

Функционал f назовем непрерывным на L, если он непрерывен в каждой точке пространства L.592.4.2Компактные множества в метрическом пространстве.Непрерывные функционалы на компактахЗададимся вопросом, на каких подмножествах непрерывный функционал на метрическом (нормированном, евклидовом и т.д.) достигает своего максимума или минимума.

В этой связи мы приходим ктакому важному понятию, как компактность.Определение 2.4.4 Множество M в метрическом пространствеX называется предкомпактным, если из всякой последовательности{xn }n=1∞ ⊂ M можно извлечь фундаментальную подпоследовательность. Множество M компактным, если из всякой последовательности {xn }∞n=1 ⊂ M можно извлечь сходящуюся в M подпоследовательность.Предложение 2.4.2 В метрическом пространстве всякоекомпактное множество является замкнутым.Предложение 2.4.3 В полном метрическом пространствевсякое предкомпактное множество является ограниченным.Напомним, что в пространстве Rn2 множество компактно в томи только том случае, когда оно замкнуто и ограничено. В общемслучае это, вообще говоря, неверно.Пример 2.4.4 Последовательность {sin nt}∞n=1 является ограни√ченной в пространстве C 2 [−π, π], так как k sin ntk = π.

Легко вы√числить, что ρ(sin kt, sin nt) = k sin kt − sin nt)k = 2, поэтому это60множество не имеет предельных точек, а значит, замкнуто. Однакопо этой же причине {sin nt}∞n=1 не может содержать ни одной фундаментальной подпоследовательности, т.е. это множество не являетсядаже предкомпактным.Теорема 2.4.1 Пусть M – компактное множество в метрическом пространстве X. Тогда всякий непрерывный функционална M является ограниченным.Доказательство. Покажем, что f ограничен сверху, т.е.

найдется такая постоянная C > 0, что f (x) ≤ C для всех x ∈ M .Допустим противное. Тогда существует такая последовательность{xn } ⊂ M , что f (xn ) > n. Так как M компактно, то существует сходящаяся в M подпоследовательность {xnk } последовательности {xn }.

Пусть limn→∞ xnk = x0 ∈ M . Тогда по непрерывностифункционала мы имеем: limn→∞ f (xnk ) = f (x0 ). Значит, {f (xnk )}ограничена. С другой стороны, f (xnk ) > nk , т.е. {f (xnk )} неограничена сверху. Таким образом, мы получили противоречие.Аналогично доказывается ограниченность снизу.Теорема 2.4.2 Пусть M – компактное множество в метрическом пространстве X. Тогда всякий непрерывный функционална M достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.612.4.3Компактность и полная ограниченностьНапомним, что в курсе математического анализа ключевую рольпри описании компактов играла лемма Гейне-Бореля.

Похожая ситуация имеет место и в произвольном метрическом пространстве.Определение 2.4.5 В метрическом пространстве X множествоMε называется ε-сетью для множества M в X, если для всякогоx ∈ M существует y ∈ Mε , такая, что ρ(x, y) < ε (иначе говоря,SM⊂B(y, ε)).y∈MεОпределение 2.4.6 В метрическом пространстве X множество M называется вполне ограниченным, если при любом ε > 0 длянего существует конечная ε-сеть Mε в X.Теорема 2.4.3 В метрическом пространстве множество является предкомпактным тогда и только тогда, когда оно вполнеограничено.Следствие 2.4.1 В полном метрическом пространстве множество является компактным тогда и только тогда, когда онозамкнуто и вполне ограничено.Любой шар в пространстве Rn2 является предкомпактным.

В бесконечномерном пространстве это не так.Предложение 2.4.4 В бесконечномерном нормированном пространстве всякий шар не является предкомпактным.622.4.4Компактные множества в C[a, b]. Теорема Арцела∗Дадим характеризацию компактных множеств в пространствах непрерывных функций.Определение 2.4.7 Множество Φ функций, определенных наотрезке [a, b] называется равномерно ограниченным, если существуеттакая постоянная C > 0, что|φ(t)| ≤ C для всех t ∈ [a, b] и всех φ ∈ Φ.Определение 2.4.8 Множество Φ функций, определенных наотрезке [a, b] называется равностепенно непрерывным, если для всякого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех t1 , t2 ∈ [a, b], удовлетворяющих |t1 − t2 | < δ, мы имеем|φ(t1 ) − φ(t2 )| ≤ ε для всех φ ∈ Φ.Теорема 2.4.4 Для того, чтобы множество Φ функций, непрерывных на отрезке [a, b] было предкомпактно в C[a, b] необходимо и достаточно, чтобы это множество было равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным.632.5Лекция 122.5.1Свойства непрерывных линейных функционаловПредложение 2.5.1 Если линейный функционал f непрерывенв какой либо точке x0 ∈ L, то он непрерывен всюду на L.Определение 2.5.1 Функционал f , заданный на нормированном пространстве L, называется ограниченным на множестве M ⊂L, если существует такая постоянная C > 0, что |f (x)| ≤ C для всехx ∈ M.Теорема 2.5.1 Для того, чтобы линейный функционал был непрерывным на L, необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен в некоторой окрестности нуля.Определение 2.5.2 Пусть f – ограниченный функционал на L.Число(2.5.1)kf k = sup |f (x)|kxk≤1называется нормой функционала f .Предложение 2.5.2 Норма линейного функционала f обладает следующими свойствами:1) kf k = supkxk=1 |f (x)|;(x)|2) kf k = supkxk6=0 |fkxk;3) |f (x)| ≤ kf kkxk для всех x ∈ L.64Пример 2.5.1 Пусть L – какое-нибудь евклидово пространство,a ∈ L – фиксированный вектор, fa (x) = (x, a).

Характеристики

Список файлов лекций