1625915895-3a744cb5c06ad75d9b8c6809466dfe6e (844024), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Для этого нам понадобятся несколько определений.Определение 1.2.5 Последовательность {xn }n∈N точек метрического пространства X = (X, ρ) называется сходящейся, если найдется такая точка x ∈ X, что для всякого ε > 0 существует номерN ∈ N, такой, что для всех n ≥ N мы имеем ρ(xn , x) < ε. Точка xназывается пределом последовательности {xn }: limn→∞ xn = x.Предложение 1.2.1 Никакая последовательность метрического пространства не может иметь двух различных пределов.Предложение 1.2.2 Если последовательность точек метрического пространства сходится, то любая ее подпоследовательность сходится к тому же самому пределу.В курсе математического анализа сходимость описывалась также на языке окрестностей.Определение 1.2.6 Открытым шаром B(x0 , r) с центром в точке x0 радиуса 0 < r < ∞ в метрическом пространстве X называетсямножество точек x ∈ X, таких, что ρ(x, x0 ) < r.

Соответственно,замкнутым шаром B(x0 , r) с центром в точке x0 радиуса 0 ≤ r < ∞в метрическом пространстве X называется множество точек x ∈ X,таких, что ρ(x, x0 ) ≤ r.1.2. Лекция 211Определение 1.2.7 Окрестностью точки x0 ∈ X будем называть любой открытый шар с центром в точке x0 .Опыт евклидова пространства говорит нам, что шар меньшегорадиуса строго вложен в шар большего радиуса, если их центрысовпадают.

В произвольном метрическом пространстве это, вообщеговоря, не так.Пример 1.2.4 В дискретном пространстве X рассмотрим шары x0 , 0 ≤ r < 1; x0 , 0 ≤ r ≤ 1;B(x0 , r) =B(x0 , r) = X, r ≥ 1. X, r > 1;Для таких шаров имеет место включение B(x0 , 3) ⊂ B(x0 , 2), точнееB(x0 , 3) = B(x0 , 2) = X.121.31.3.1Лекция 3ЗамыканиеРассмотрим теперь важнейшие типы множеств в метрическом пространстве.Определение 1.3.1 Множество M ⊂ X называется ограниченным, если оно содержится целиком в некотором шаре.Определение 1.3.2 Точка x ∈ X называется точкой прикосновения множества M ⊂ X, если любая ее окрестность содержит хотябы одну точку из M .Определение 1.3.3 Совокупность всех точек прикосновениямножества M из X называется замыканием множества M в X иобозначается M .Теорема 1.3.1 Множества M и M связаны следующими соотношениями:1) M ⊂ M ; 2) M = M ;3) если M1 ⊂ M2 , то M 1 ⊂ M 2 ;4) M1 ∪ M2 = M 1 ∪ M 2 .Определение 1.3.4 Точка x ∈ X называется предельной точкой множества M ⊂ X, если любая ее окрестность содержит бесконечно много точек из M .13Пример 1.3.1 Предельная точка x может как принадлежатьмножеству (X = R, M = [0, 1], x = 1/2), так и не принадлежатьмножеству (X = R, M = [0, 1), x = 1).Определение 1.3.5 Точка x ∈ M называется изолированнойточкой этого множества, если найдется такая ее окрестность, в которой нет точек из M , отличных от x.Предложение 1.3.1 Всякая точка прикосновения множества M есть либо предельная точка, либо изолированная точка этого множества.Отсюда заключаем, что замыкание множества M состоит из1) изолированных точек множества M ;2) предельных точек множества M , принадлежащих M ;3) предельных точек множества M , не принадлежащих M .Таким образом, замыкание множества M получается присоединением к M всех его предельных точек, не содержащихся в нем.Теорема 1.3.2 Для того чтобы точка x была точкой прикосновения множества M необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность точек из M , сходящаяся к x.Следствие 1.3.1 Для того чтобы точка x была предельнойточкой множества M необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность попарно различных точек из M , сходящаяся к x.14Предложение 1.3.2 Если limn→∞ xn = x и limn→∞ yn = y, тоlim ρ(xn , yn ) = ρ(x, y).n→∞1.3.2Замкнутые множестваОпределение 1.3.6 Пусть X = (X, ρ) – метрическое пространство.

Множество M ⊂ X называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием, т.е. M = M .В силу теоремы 1.3.1 замыкание любого множества есть множество замкнутое.Пример 1.3.2 Всякое множество, состоящее из конечного числаточек, замкнуто, так как оно не имеет предельных точек.Пример 1.3.3 Каково бы ни было метрическое пространство(X, ρ), пустое множество ∅ и само X замкнуты.Пример 1.3.4 Всякий отрезок [a, b] ⊂ R есть множество замкнутое.15Пример 1.3.5 Любой замкнутый шар есть множество замкнутое.Основные свойства замкнутых множеств перечислены в следующей теореме.Теорема 1.3.3 Пересечение любого числа и объединение любого конечного числа замкнутых подмножеств метрического пространства суть замкнутые множества.161.41.4.1Лекция 4Открытые множестваОпределение 1.4.1 Точка x ∈ X называется внутренней точкой множества M , если существует окрестность B(x, r) этой точки, целиком лежащая в M .

Точка x ∈ X называется внешней точкоймножества M , если существует окрестность B(x, r) этой точки, несодержащая ни одной точки из M . Точка x ∈ X называется граничной точкой множества M , если в любом шаре B(x, r) есть точкипринадлежащие M и точки не принадлежащие M .Границей множества M называется множество ∂M его граничных точек. Граничная точка M может как принадлежать M , так ине принадлежать.Определение 1.4.2 Множество M , все точки которого внутренние, называется открытым.Пример 1.4.1 Всякий интервал (a, b) ⊂ R (a < b) есть открытое множество.Пример 1.4.2 Всякий открытый шар в метрическом пространстве X есть множество открытое.Теорема 1.4.1 Для того, чтобы множество M было открытым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение X \ M былозамкнутым.17Пример 1.4.3 Каково бы ни было пространство X, пустое множество ∅ и само X открыты.

Это следует из примера 1.3.3 и теоремы 1.4.1, поскольку ∅ = X \ X, X = X \ ∅.Теорема 1.4.2 Объединение любого числа и пересечение любого конечного числа открытых множеств суть открытые множества.1.4.2Полные метрические пространстваВ определении сходящейся последовательности есть один очень существенный изъян – его невозможно проверить непосредственно, незная самого предела. В рамках классического анализа этот вопросрешался с помощью теоремы Коши о фундаментальных последовательностях. Для произвольных метрических пространств ситуацияболее сложная.Определение 1.4.3 Последовательность {xn } точек метрического пространства X называется фундаментальной, если для всякого ε > 0 существует Nε ∈ N, такое, что ρ(xn , xm ) < ε для всехn > Nε и m > Nε .Лемма 1.4.1 Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной.Определение 1.4.4 Если в пространстве X всякая фундаментальная последовательность сходится, то это пространство называется полным.18Приведем примеры полных и неполных пространств.Пример 1.4.4 Конечный интервал X = (a, b) с метрикой ρ(x, y)= |x − y| является неполным метрическим пространством.

Например, можно взять фундаментальную последовательность {xn =a + 1/n}, не имеющую предела в X.Пример 1.4.5 Пространства последовательностей lp , 1 ≤ p <∞, полны.Пример 1.4.6 Пространство C[a, b] полно.Пример 1.4.7 Дискретное пространство из примера 1.1.12 полно, поскольку в нем фундаментальными являются только стационарные последовательности, т.е. такие, в которых, начиная с некоторого номера, повторяется все время одна и та же точка.Пример 1.4.8 Пространствa M0 и M полны. Более подробномы рассмотрим этот пример на практических занятиях.19Пример 1.4.9 Пространство Cp [a, b] (1 ≤ p < ∞) не полно. Действительно, рассмотрим последовательность непрерывных функцийв пространстве Cp [−1; 1]−1xn (t) =nt1−1 ≤ t ≤ − n1 ;− n1 < t < n1 ;1n≤ t ≤ 1.Она фундаментальна в Cp [−1, 1], и не имеет в этом пространствепредела.201.51.5.1Лекция 5Теорема о вложенных шарахПопробуем ответить на естественный вопрос: как отличить полноеметрическое пространство от неполного, кроме как непосредственнопроверяя определение.Напомним, что для доказательства теоремы Коши о фундаментальных последовательностях можно использовать лемму о вложенных отрезках.

В теории метрических пространств аналогичную рольиграет теорема о вложенных шарах.Теорема 1.5.1 Для того чтобы метрическое пространствобыло полным, необходимо и достаточно, чтобы в нем всякая последовательность {Bj }∞j=1 вложенных друг в друга замкнутых шаров,радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение.Следствие 1.5.1 В условиях теоремы 1.5.1 пересечение шаров∞TBj состоит из одной точки.j=1Пример 1.5.1 Без условия о том, что радиусы шаров стремятсяк нулю теорема 1.5.1 неверна.

В самом деле, пусть X = N, 0,n = m;ρ(n, m) = 1 + 1 n 6= m.k+mЭто полное метрическое пространство (доказательство аналогичнодоказательству для дискретного пространства). В нем замкнутые21вложенные друг в друга шары Bj = B(j, 1 + 2j1 ) имеют пустое пересечение, так как Bj = N \ {1, .

Характеристики

Список файлов лекций