1625915895-3a744cb5c06ad75d9b8c6809466dfe6e (844024), страница 17
Текст из файла (страница 17)
для y = 0) имеет единственное (нулевое) решение. В силутеорем Фредгольма отсюда и следует наше утверждение.4.10.3Заключительные замечанияУместно отметить, что существенно за рамками данного курса остались значительная часть линейного и почти весь нелинейный анализ.В линейном анализе мы практически не затронули теорию топологических (векторных) пространств, реализующую анализ в векторных пространствах без привлечения метрики, а только с использованием систем открытых (замкнутых) множеств для определенияпредела. В рамках этого подхода все еще можно определить сопряженные пространства и сопряженное отображение, играющие ключевую роль в теории операторных уравнений (см., например [1]).Кроме того, нами не изучена спектральная теория для произвольных (непрерывных) операторов в пространствах Гильберта, дающаямощный инструмент для изучения операторных уравнений.
Основная причина – большой объем материала, связанный с теорией "интегрирования" операторнозначных функций в пространствах Банаха и технические трудности построения спектральной функции.4.10. Лекция 34171Что касается нелинейного функционального анализа, то этопрежде всего теория Лере-Шаудера о неподвижных точках, позволяющая получить (достаточные) условия существования неподвижных точек для вообще говоря, нелинейных отображений в банаховых пространствах, не являющихся сжатиями.
Уже изученный намиматериал позволяет сформулировать, понять и даже доказать соответствующие утверждения. К сожалению, их доказательства оченьсложны технически и занимают много времени, которое у нас ужевышло.Наконец, совсем без внимания осталась теория "дифференцируемости" операторов, позволяющая доказывать аналоги теоремы"о неявном операторе (функции)" в произвольных (банаховых) пространствах, а значит, локально разрешать операторные уравнения вних. Основополагающим здесь является понятие "дифференциала"отображения.172Неохваченные направления−→ Теория Лере-ШаудераНелинейный анализ↓Дифференцирование операторов↓Теорема о неявномОтображенииЛинейный анализ↓Анализ в векторныхтопологическихпространствах↓Двойственностьдля пространств Фреше−→ Условно корректныезадачиЛитература[1] Колмогоров А.Н.
Элементы теории функций и функционального анализа/А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Физматлит,2004.[2] Треногин В.А. Функциональный анализ/ В.А. Треногин. – М.:Наука, 1980.[3] Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной/И.П. Натансон. – М.: Гостехиздат, 1957.[4] Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальныйкурс/ Г.Е. Шилов. – М.: МГУ, 1984.[5] Робертсон А. Топологические векторные пространства/ А. Робертсон, В.
Робертсон. – М.: Мир, 1967.[6] Лаврентьев М.М. Линейные операторы и некорректные задачи/ М.М. Лаврентьев, Л.Я. Савельев. – М.: Наука, 1991.[7] Иосида К. Функциональный анализ/К. Иосида. – М.: Мир, 1967.174Литература[8] Канторович А.В. Функциональный анализ в нормированныхпространствах / А.В.
Канторович, Г.П. Акилов. – М.: Физматгиз, 1959.[9] Треногин В.А. Задачи и упражнения по функциональному анализу/ В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева. – М.:Физматлит, 2002.[10] Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейнойалгебры/ Д.В. Беклемишев.
– М.: Наука, 1984.[11] Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике/ В.С. Владимиров. – М.: Наука, 1979.[12] Владимиров В.С. Сборник задач по уравнениям математической физики/ В.С. Владимиров, А.А. Вашарин. – М.: Физматлит, 2001.[13] Пуляев В.Ф. Задачи по функциональному анализу/ В.Ф. Пуляев, З.Б. Цалюк.
– Краснодар: изд-во КубГУ, 1983..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
