1625915895-3a744cb5c06ad75d9b8c6809466dfe6e (844024), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Тогда BA ∈ L(X, Z) непрерывно обратим и (BA)−1 =A−1 B −1 .Следствие 3.6.3 Пусть Y – банахово пространство, A, B ∈L(X, Y ), оператор B непрерывно обратим, иkB − Ak <1.kB −1 kТогда A непрерывно обратим и справедливы оценкиkB −1 kkB −1 k2 kB − Ak−1−1, kB − A k ≤.kA k ≤1 − kB − AkkB −1 k1 − kB − AkkB −1 k−11243.73.7.1Лекция 24Спектр оператора.

РезольвентаВ этом параграфе мы рассмотрим линейный оператор в комплексном нормированном пространстве X. Введение числового параметрапозволяет по-новому взглянуть на вопросы разрешимости операторных уравнений и приводит к одному из фундаментальных понятийв теории линейных операторов.Определение 3.7.1 Число λ ∈ C называется регулярным дляоператора A, если оператор (A − λI) непрерывно обратим. Совокупность всех регулярных λ ∈ C назовем резольвентным множеством.

Совокупность всех остальных значений λ ∈ C называетсяспектром оператора A.Определение 3.7.2 Резольвентой оператора A в нормированном пространстве X называется оператор Rλ = (A − λI)−1 , где λпринадлежит резольвентному множеству.Обратите внимание, что R0 = A−1 , (когда A−1 существует), асуществование и непрерывность оператора A−1 зависят от поведениярезольвенты Rλ при λ → 0.В регулярных значениях λ ∈ C оператор Rλ определен на всемпространстве X.

Из теоремы 3.6.2 Банаха об обратном оператореследует, что в точках спектра резольвента либо не существует, либоне определена на всем пространстве X.125Определение 3.7.3 Число λ ∈ C называется собственным значением оператора A если Ax = λx для некоторого ненулевого вектора x ∈ X, называемого собственным вектором оператора A, соответствующим значению λ.

Совокупность всех собственных значений называется точечным спектром оператора A. Остальная частьспектра называется непрерывным спектром оператора A.Поскольку собственные значения оператора A, соответствующиезначению λ, принадлежат ядру оператора (I −λA), то это те и только те значения параметра λ, для которых Rλ не существует.126Пример 3.7.1 Как хорошо известно из курса линейной алгебры (см., например, [10]), спектр всякого линейного оператора в nмерном пространстве состоит из n собственных значений (с учетомих кратности).

Непрерывного спектра такие операторы не имеют.Предложение 3.7.1 Спектр ограниченного линейного оператора в банаховом пространстве замкнут.Теорема 3.7.1 Если A – ограниченный линейный оператор вбанаховом пространстве L и |λ| > kAk, то λ – регулярная точка.Может быть получена и более точная оценка радиуса круга, вкотором лежит спектр.Теорема 3.7.2 Пусть A – ограниченный линейный оператор вбанаховом пространстве L. Тогда существует конечный пределrσ (A) = lim kAn k1/n ,N →∞называемый спектральным радиусом оператора A. Более того, если|λ| > rσ (A), то λ – регулярная точка.3.7.2Спектр компактного оператораДля компактных операторов мы можем получить дополнительнуюинформацию о собственных значениях и собственных векторах.Теорема 3.7.3 Всякий компактный оператор в банаховом пространстве L имеет при любом δ > 0 лишь конечное число линейно независимых собственных векторов, отвечающих собственнымзначениям, по модулю превосходящим δ.127Следствие 3.7.1 Число линейно независимых собственныхвекторов, отвечающих данному собственному значению λ 6= 0компактного оператора A, конечно.

Число собственных значений λn компактного оператора A во внешности круга |λ| > |δ| > 0конечно; все собственные значения оператора A можно пронумеровать в порядке невозрастания модулей|λ1 | ≥ |λ2 | ≥ . . .Тем не менее, уместно отметить, что компактные операторы вбесконечномерных пространствах могут вообще не иметь ни собственных значений, ни собственных векторов.Пример 3.7.2 Действительно, пусть оператор A : l2 → l2 заданформулой:Ax = A(x1 , x2 , . . .

, xn , . . . ) =x2xn−10, x1 , , . . ....2n−1.Этот оператор компактен, поскольку по теореме об ограниченнойсходимостиlim kAxj→∞(j)∞(j)(0)X|x − x |2(0) 2− Ax k = limkj→∞∞Xk=1(j)k=1kk2=(0)|xk − xk |2lim=0j→∞k2для всякой слабо сходящейся к x(0) последовательности {x(j) }∞j=1 .Покажем, что этот оператор не имеет ни одного собственного значения, а поэтому и ни одного собственного вектора.128Предположим, что существуют такие вектор x ∈ X и число λ ∈C, что Ax = λx.

Тогдаλ(x1 , x2 , . . . xn . . . ) = (0, x1 ,xn−1x2,.... . . ).2n−1Если λ = 0, то немедленно x = 0. Если же λ 6= 0, то x1 = 0, x2 = λx1 ,xn = λxn−1 /(n−1), т.е. снова x = 0. Таким образом, x не может бытьсобственным вектором ни при каком λ ∈ C.Решая уравнение Ax − λx = y видим, что, при λ 6= 0,x1 = −y1 /λ,xk+1 = (xk /k − yk )/λ,k ∈ N,т.е.Rλ y = (A − I)y/λ,λ 6= 0.В частности, все точки, кроме начала координат, регулярны.При λ = 0 уравнение Ax − λx = y превращается в следующее:Ax = y. Последнее не имеет решений, если y отлично от нуля. Значит, оператор R0 не определен всем пространстве Y = l2 .Итак, спектр этого оператора состоит только из точки нуль, каковая является точкой непрерывного спектра.Глава 4Раздел IV: Операторные уравненияв пространствах ГильбертаМетоды решения операторных уравнений1.

Теоремы о неподвижной точке↓Метод последовательных приближений2. Теоремы Фредгольма↓Метод неопределенных коэффициентов3. Теорема Гильберта-Шмидта↓Метод базисов с двойной ортогональностью4. Спектральная теорема для ограниченных операторов↓Ряд Неймана1304.1Лекция 25В этой и следующей лекциях обсуждается интеграл Лебега и пространства интегрируемых по Лебегу функций. Эти понятия необходимы для серьезного обсуждения теории интегральных уравнений вэтом разделе. Существует несколько разных подходов к изложениюэтой теории (см., например, [3], [1], [2]). Выбранный нами подход (см.[2]) опирается на теорию пополнения нормированных пространств.Это позволяет нам быстро придти к основным определениям и теоремам, но при этом многие важные детали уходят в тень, поэтомузнакомство с другими классическими вариантами теории интегралавесьма желательно.4.1.1Продолжение линейного непрерывного оператора напополнение.

Пространство ЛебегаНапомним, что всякое неполное нормированное пространство (X, || ·||) имеет пополнение (X̄, || · ||), причем, согласно конструкции, восходящей к Г.Кантору (ср. §1.6, §2.1.3), элементами пополнения являются классы эквивалентных фундаментальных последовательностей [{xn }] и, по определению, {xn } ∼ {x0n } ⇔ ||xn − x0n || → 0при n → ∞. Норма в X̄ определяется формулой ||[{xn }]|| :=limn→∞ ||xn ||. Отображение i : X → X̄, i(x) = [{x, x, x, . . .

, x, . . .}] —изометрическое вложение X на всюду плотное подмножество в X̄,поэтому мы имеем возможность отождествить X с этим подмножеством и считать, что X — всюду плотное подмножество в X̄.131Применим эту конструкцию к пространству непрерывных наRe1 [a, b] с нормой ||x(t)||L := b |x(t)| dt. Это не пол[a, b] функций L1aное пространство. Его пополнение обозначается L1 [a, b] и называется пространством интегрируемых по Лебегу функций на отрезке[a, b]. Название несколько сбивает с толку, так как элементы L1 [a, b]это не функции, а классы эквивалентных фундаментальных последовательностей из непрерывных функций.

Одна из целей дальнейшего обсуждения — пояснение этой ситуации.Вернемся не на долго к абстрактной теории. Следующая важнаятеорема показывает как любой линейный непрерывный оператор нанеполном пространстве может быть продолжен на его пополнение.Теорема 4.1.1 Пусть A : (X1 , || · ||1 ) → X2 , || · ||2 ) — линейныйнепрерывный оператор из неполного нормированного пространстваX1 в банахово пространство X2 и X̄1 — пополнение пространства X1 . Тогда существует единственный линейный непрерывныйоператор Ā : X̄1 → X2 , продолжающий оператор A, то есть,Ā|X1 = A, причем ||Ā|| = ||A||.Так как поля вещественных и комплексных чисел — полные нормированные пространства, то справедливоСледствие 4.1.1 Любой линейный непрерывный функционална неполном нормированном пространстве может быть единственным образом продолжен до линейного непрерывного функционала на пополнение исходного пространства с сохранением нормы.132e1 [a, b]Вернемся к теории интегрирования.

На пространстве LRbопределен интеграл Римана a x(y) dt. Очевидно, что это линейныйe1 [a, b] с единичной нормой (докажинепрерывный функционал на Lте!). Поэтому можно применить следствие 4.1.1 и получить линейный непрерывный функционал на пространстве L1 [a, b]. Это продолжение и называется интегралом Лебега.Определение 4.1.1 Пусть x̄ ∈ L1 [a, b]. Интегралом ЛебегаZ bx̄ dtaназывается limn→∞Rbaxn (t) dt, где {xn } — фундаментальная после-довательность непрерывных функций, сходящаяся к x̄, то есть x̄ =[{xn }].Недостаток этого определения в том, что мы привыкли интегрировать функции, а элементы L1 [a, b] — не функции, а достаточно сложно устроенные объекты. Следует отметить, что так жесложно устроены все объекты, полученные в процессе пополненияпространств: иррациональные числа, элементы пространств Lp [a, b],элементы пространств Соболева Wpl (G) и H l (G) для области G и т.п.Поэтому важной частью теории является возможно более простоеописание элементов этих пространств.

Характеристики

Список файлов лекций