1625915895-3a744cb5c06ad75d9b8c6809466dfe6e (844024), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

существует такая постоянная C > 0,что kfn k ≤ C для всех n ∈ N.77Теорема 2.7.4 Последовательность {fn } элементов пространства L∗ , сопряженного к банахову пространству L, сходится∗-слабо к f ∈ L∗ в том и только том случае, когда1) {fn } ограничена;2) limn→∞ fn (x) = f (x) для всякого x ∈ ∆, где ∆ – некотороеподмножество L, такое, что L(∆) плотна в L.Теорема 2.7.5 В любой ограниченной последовательности{fn } элементов пространства L∗ , сопряженного к сепарабельномунормированному пространству L, существует ∗-слабо сходящаясяподпоследовательность.Следствие 2.7.1 (Принцип слабой компактности) Для любой ограниченной последовательности {xn } элементов полного сепарабельного евклидова пространства L, существует слабо сходящаяся подпоследовательность.782.82.8.1Лекция 15Обобщенные функцииРассмотрим один поучительный пример.

Сейчас мы построим линейное (не нормируемое, не метризуемое!) пространство, где "сходимость" элементов также описывается в некотором слабом смысле. Кроме того, элементы данного пространства существенно увеличивают запас "функций", являющихся решениями дифференциальных и интегральных уравнений. Этот объект называется пространством обобщенных функций и интенсивно используется в математике и физике.Определение 2.8.1 Будем говорить, что функция φ : R → Rфинитна на R, если найдется такой отрезок [a, b] ⊂ R, что φ(x) = 0для всех x 6∈ [a, b]. Носителем функции φ назовем пересечение всехтаких отрезков; мы обозначим его supp φ.

Множество всех финитных бесконечно дифференциуемых функций на числовой оси обозначим через C0∞ (R). Иногда это пространство называют пространством пробных функций или пространством основных функций.Пространство C0∞ (R) отлично от нулевого.Пример 2.8.1 Пусть a > 0. Функция 0,|x| ≥ a;φ(x) = e−1/(a2 −x2 ) , |x| < a.79принадлежит C0∞ (R), а ее носитель совпадает с [−a, a]. В самомделе, поскольку φ(x) ∈ C ∞ (−a, a) иlim φ(x) = 0,x→a−lim φ(x) = 0,x→−a+то функция φ непрерывна на всей числовой оси.Далее, легко убедиться, чтоdk φ(x) = 0,x→a− dxklimdk φ(x) = 0x→−a+ dxklimдля всех k ∈ N.Докажем теперь, что φ ∈ C ∞ (R).

Для этого достаточно проверить, что все производные функции φ в точках ±a существуют иравны нулю. Легко увидеть, что2φ0+ (a) = 0,2e−1/(a −x )0φ− (a) = lim= 0,x→a+x−aа значит, φ0 (a) = 0, и, аналогично, φ0 (−a) = 0. В частности, функция φ0 непрерывна на всей числовой оси. Доказательство завершается индукцией по порядку производной функции φ.По построению, пространство C0∞ (R) линейно над полем R.Определение 2.8.2 Последовательность финитных бесконечно дифференциуемых функций {φj }j∈N называется сходящейся вC0∞ (R), если найдутся такие функция φ ∈ C0∞ (R) и отрезок [a, b] ⊂R, что1) supp φj ⊂ [a, b] для всех j ∈ N;2) supp φ ⊂ [a, b];80dk φ3) последовательности { dxkj }j∈N сходятся кdk φdxkв пространствеC[a, b] для всех k ∈ Z+ .Определим теперь пространство, сопряженное к C0∞ (R).Определение 2.8.3 Функционал f : C0∞ (R) → R называетсянепрерывным, если числовая последовательность {f (φj )}j∈N сходится к f (φ) в случае, когда последовательность финитных бесконечнодифференциуемых функций {φj }j∈N сходится в C0∞ (R) к элементу φ.Множество всех непрерывных линейных функционалов наC0∞ (R) обозначим через (C0∞ (R))0 .

Элементы этого множества называются обобщенными функциями или распределениями.Пример 2.8.2 Всякая функция g, модуль которой интегрируем (по Риману или по Лебегу) на любых измеримых ограниченныхподмножествах R может быть отождествлена с некоторым элементом (C0∞ (R))0 . Более точно, определим функционал f следующимобразом:Z∞f (φ) =g(t)φ(t) dt,φ ∈ C0∞ (R).−∞Данный интеграл существует для всякого φ ∈ C0∞ (R), посколькуноситель φ лежит в некотором отрезке [a, b], а значит,Zb|f (φ)| ≤ max |φ(t)||g(t)| dt < ∞.a≤t≤baЭто неравенство обеспечивает также и непрерывность функциона-81ла f , так какZb|f (φj ) − f (φ)| ≤ max |φj (t) − φ(t)|a≤t≤bесли только {φj }j∈N сходится к φ в|g(t)| dt → 0,aC0∞ (R)j → ∞,при j → ∞.Элементы (C0∞ (R))0 , порожденные интегрируемыми функциями,называются регулярными обобщенными функциями.

Все остальныераспределения называются сингулярными.Пример 2.8.3 Типичным примером сингулярной обобщеннойфункции является так называемая "дельта-функция":φ ∈ C0∞ (R).δ(φ) = φ(0),Линейность и непрерывность этого функционала очевидны.Справедливости ради, нужно сказать, что физики начали использовать данную "функцию" раньше математиков. Именно, ониввели в рассмотрение следующий объект:Z+∞ 0,x 6= 0;δ(t) =δ(t) dt = 1. +∞, x = 0,−∞не заботясь о его формальном обосновании (как, например, понимать интеграл?).Пример 2.8.4 Для φ ∈ C0∞ (R) рассмотрим следующий интегралZ+∞P (φ) = v.p.φ(t)dtt−∞(понимаемый в смысле главного значения).

Этот интеграл такжезадает обобщенную функцию.82Отметим, что, как и в случае пространств, сопряженных к нормированным, множество (C0∞ (R))0 является линейным многообразием над полем R со стандартными операциями сложения и умножения на скаляр:(f1 + f2 )(φ) := f1 (φ) + f2 (φ),(αf )(φ) := αf (φ),α ∈ R,φ ∈ C0∞ (R).Более того, так как ψ ·φ ∈ C0∞ (R) для всех φ ∈ C0∞ (R) и ψ ∈ C ∞ (R),то легко ввести операцию умножения распределений на бесконечнодифференцируемую функцию:(ψf )(φ) := f (ψφ),ψ ∈ C ∞ (R), φ ∈ C0∞ (R).Эта операция согласована со стандартной операцией умножения интегрируемых функций на бесконечно дифференцируемую функцию:(ψg)(t) = ψ(t)g(t),t ∈ R.К сожалению, нельзя ввести операции умножения распределений, по крайней мере, с одновременным сохранением важныхсвойств этой операции: коммутативности и ассоциативности.

В самом деле,(t · δ)(φ) = δ(tφ) = 0,Z+∞tφ(t)(tP )(φ) = P (t · φ) =dt = 1(φ),t−∞и, если операции умножения распределений коммутативна и ассоциативна,0 = ((t · δ) · P )(φ) = (δ(t · P ))(φ) = δ(φ) = φ(0)83для всех φ ∈ C0∞ (R), что, очевидно, невозможно.Таким образом, в отличие, например, от пространства C ∞ (R),множество (C0∞ (R))0 не является кольцом.2.8.2Производная обобщенной функцииКак мы видели выше, даже решение алгебраических уравнений невозможно, если выбранное пространство слишком мало. Аналогичная ситуация имеет место и в анализе – класс дифференцируемыхфункций зачастую слишком мал для решения дифференциальныхуравнений, а непрерывные, интегрируемые и т.д.

функции нельзядифференцировать, по крайней мере в обычном смысле.Мы обобщим понятие производной таким образом, чтобы всякая обобщенная функция имела (обобщенную) производную, такжеявляющуюся распределением.Определение 2.8.4 Для f ∈ (C0∞ (R))0 определим функционалf 0 (φ) = −f (φ0 ),φ ∈ C0∞ (R),который будем называть (обобщенной) производной для f .Линейность этого функционала очевидна, а его непрерывностьследует из равенстваf 0 (φ) − f 0 (φj ) = −f (φ0 ) + f (φ0j )и определения сходимости в пространстве C0∞ (R). Таким образом,справедлива следующая теорема.84Теорема 2.8.1 Для любой обобщенной функции f и любого k ∈N существует производная f (k) ∈ (C0∞ (R))0 порядка k: определимфункционалφ ∈ C0∞ (R).f (k) (φ) = (−1)k f (φ(k)),Пример 2.8.5 Как известно, функция f (t) = |t| не имеет (обычной) производной в начале координат.

Однако она имеет обобщенную производную:|t|0 = sign(t),t ∈ R.В самом деле, так как эта функция локально интегрируема на R, тоZ+∞|t|φ(t) dt,f (φ) =−∞Z+∞|t|φ0 (t), dt,f 0 (φ) =: −φ ∈ C0∞ (R).−∞Наконец, интегрируя по частям, получаемZ+∞Z0Z+∞−|t|φ0 (t) dt =tφ0 (t), dt −tφ0 (t) dt =−∞Z0−−∞−∞0Z+∞Z+∞φ(t) dt +φ(t) dt =sign(t)φ(t) dt =0−∞(sign(t))(φ),так как функция sign(t) является локально интегрируемой.85Пример 2.8.6 Функция sign(t) не является уже даже непрерывной. Тем не менее, она имеет обобщенную производную:(sign(t))0 = 2δ.В самом деле, так как функция sign(t) является локально интегрируемой, тоZ+∞(sign(t))0 (φ) = −sign(t)φ0 (t) dt =−∞Z0Z0−φ(t) dt +−∞−∞Z+∞φ0 (t) dt −φ0 (t) dt = 2φ(0).0Учитывая, что каждая обобщенная функция имеет также и первообразную в классе распределений (см., например, [1]), то пространство (C0∞ (R))0 , а также его многомерные аналоги, очень хорошо приспособлены для решения дифференциальных (и интегральных) уравнений.862.92.9.1Лекция 16Дифференциальные уравнения в классе обобщенныхфункцийДифференциальные уравнения – одна из основных областей, гдеприменяется теория обобщенных функций.

Именно задачи, связанные с уравнениями, в значительной мере и стимулировали развитиеэтой теории. В основном она применяется к уравнениям в частныхпроизводных, которые мы здесь не рассматриваем. Однако мы коснемся здесь некоторых простейших вопросов, относящихся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений с обобщеннымифункциями. Начнем с простейшего уравнения видаy 0 = f (x),где f (x) – обобщенная функция, то есть с задачи о восстановлениифункции по ее производной.

Характеристики

Список файлов лекций