1625915895-3a744cb5c06ad75d9b8c6809466dfe6e (844024), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

С помощью принципа сжимающих отображений легко доказать разрешимость этого уравнения в пространствеC[a, b] для малых значений параметра λ.32Глава 2Раздел II: Линейные метрическиепространства и функционалы2.12.1.1Лекция 8Линейные пространства∗Как мы видели выше, среди метрических пространств встречаются очень "экзотичные" экземпляры, с которыми достаточно сложноработать. Естественно, что это одно из следствий слишком высокогоуровня абстрагирования от объектов окружающего нас мира. Пространства, возникающие в современных моделях естествознания менее абстрактны и, обычно, учитывают различные "геометрические"и "алгебраические" свойства привычного нам евклидова пространства.Нам придется рассматривать более узкий класс пространств длятого, чтобы получить более обозримое описание их непрерывныхотображений и соответствующих операторных уравнений.34Определение 2.1.1 Непустое множество L называется линейным или векторным пространством над полем K, если оно удовлетворяет следующим условиям.I.

Для любых двух элементов x, y ∈ L определен элемент z ∈ L,называемый их суммой и обозначаемый x + y, причем1) x + y = y + x (коммутативность);2) x + (y + z) = (x + y) + z (ассоциативность);3) в L существует такой элемент 0, что x + 0 = x для всех x ∈ L(существование нуля);4) для каждого x ∈ L существует такой элемент −x, что x +(−x) = 0 (существование противоположного элемента).II. Для любого скаляра α ∈ K и любого элемента x ∈ L определен элемент z ∈ L, называемый произведением элемента x наскаляр α и обозначаемый α x, причем1) α(βx) = (αβ)x ;2) 1 x = x, где 1 – единица в поле K;3) (α + β)x = αx + βx;4) α(x + y) = αx + αy.Мы будем использовать в качестве поля K поля комплексных идействительных чисел.Пример 2.1.1 Пространство R, т.е.

совокупность всех действительных чисел с обычными операциями сложения и умножени сутьлинейное пространство над полем R.35Пример 2.1.2 Пространство Rn , т.е. совокупность всевозможных наборов n действительных чисел с обычными операциями сложения векторов и умножения их на действительное число суть линейное пространство над полем R.Пример 2.1.3 Пространство Cn , т.е. совокупность всевозможных наборов n комплексных чисел с обычными операциями сложения векторов и умножения их на комплексное число суть линейноепространство над полем C.Пример 2.1.4 Непрерывныевещественные(комплексные)функции с обычными операциями сложения функций и умножения их на вещественное (комплексное) число суть линейноепространство над полем R (C).Пример 2.1.5 Пространство lp , т.е.

совокупность всевозможныхпоследовательностей (x1 , . . . , xn , . . . ) действительных чисел, удовлеPтворяющих условию nj=1 |xj |p < ∞, с обычными операциями сложения последовательностей и умножения их на действительное число суть линейное пространство над полем R.Определение 2.1.2 Линейные пространства L1 и L2 над полем K называются изоморфными (L1 ∼= L2 ), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие φ :L1 → L2 , согласованное с операциями сложения векторов и умножения на скаляр в этих пространствах.

Это означает, что φ(x + y) =φ(x) + φ(y), φ(αx) = αφ(x) для всех x, y ∈ L1 и всех α ∈ K.36Пример 2.1.6 Пространство Rn изоморфно линейному пространству всех многочленов степени (n − 1) над полем R.Напомним несколько полезных определений из курса линейнойалгебры.Определение 2.1.3 Элементы x1 , . . . , xn линейного пространства L называются линейно зависимыми, если существуют такиечисла α1 , . . . , αn , не все равные нулю, чтоnXαj xj = 0.j=1В противном случае эти элементы называются линейно независимыми. Бесконечная система элементов x1 , .

. . , xn , . . . называется линейно независимой, если любая ее конечная подсистема линейно независима.Определение 2.1.4 Если в пространстве L можно найти n линейно независимых векторов, а любые (n + 1) элементов линейно зависимы, то говорят, что пространство имеет размерность n(dim L = n). Если же в L можно указать систему, состоящую изпроизвольного числа линейно независимых элементов, то говорят,что пространство L бесконечномерно.Определение 2.1.5 Базисом в n-мерном пространстве называется любая система, состоящая из n линейно независимых векторов.Конечномерным пространствам было уделено много внимания вкурсе линейной алгебры.

Мы будем заниматься, как правило, бес-37конечномерными пространствами. Наличие базиса позволит нам использовать уже знакомый из курсов линейной алгебры и аналитической геометрии метод координат.Пример 2.1.7 Из курса линейной алгебры нам известно, чтоdim Rn = n. В качестве базиса в этом пространстве можно взятьсистему {ej }nj=1 , где j-тая компонента вектора ej равна единице, авсе остальные равны нулю.Пример 2.1.8 Пространство lp бесконечномерно, поскольку система векторов {ej }∞j=1 является линейно независимой.Пример 2.1.9 Пространство C[a, b] бесконечномерно, поскольку из основной теоремы алгебры следует, что система мономов{tn }∞n=1 (a ≤ t ≤ b) является линейно независимой.Определение 2.1.6 Непустое подмножество L0 линейного пространства L называется линейным многообразием (подпространством), если оно само является линейным пространством по отношению к операциям сложению и умножению на скаляр в L, т.е.

еслиαx + βy ∈ L0 для всех α, β ∈ K, для всех x, y ∈ L0 .Пример 2.1.10 Во всяком пространстве L имеется подпространство, состоящее из одного нуля – нулевое подпространство. Сдругой стороны, все L можно рассматривать как свое подпространство.38Определение 2.1.7 Линейное многообразие (подпространство), отличное от L и содержащее хотя бы один ненулевой элементназывается собственным.Пример 2.1.11 Пусть x – некоторый ненулевой элемент линейного пространства L. Совокупность L(x) = {αx}, где α пробегаетвсе поле K образует одномерное подпространство пространства L.Пример 2.1.12 Совокупность всех многочленов на отрезке [a, b]образует собственное линейное многообразие (подпространство) впространстве C[a, b].Пример 2.1.13 Пространство l2 образует линейное многообразие (подпространство) в пространстве M.Пример 2.1.14 Пространство M0 образует линейное многообразие (подпространство) в пространстве M.392.1.2Нормированные пространстваВ геометрии и, в частности, в аналитической геометрии, важноезначение имело понятие длины отрезка (вектора).

Мы постараемся обобщить это понятие.Определение 2.1.8 Однозначная неотрицательная функцияkxk, заданная на линейном пространстве L называется нормой, если1) kxk = 0 в том и только том случае, когда x = 0 (разделениеточек);2) kx + yk ≤ kxk + kyk для всех x, y ∈ L (неравенство треугольника);3) kαxk = |α|kxk для всех x ∈ L и α ∈ R (C) (положительнаяоднородность).Линейное пространство с нормой k.k называется нормированнымпространством.Предложение 2.1.1 Всякое нормированное пространство Lявляется метрическим пространством с метрикойρ(x, y) = kx − yk.Доказательство. Немедленно вытекает из определения нормы.Пример 2.1.15 Пространство Rnp является нормированным снормойkxkp =nXj=1!1/p|xj |p.40Пример 2.1.16 Пространство lp (1 ≤ p < ∞) является нормированным с нормой∞Xkxkp =!1/p|xj |p.j=1Пример 2.1.17 Пространство C[a, b] является нормированнымс нормойkxk = max |x(t)|.t∈[a,b]Пример 2.1.18 Пространство Cp [a, b] является нормированнымс нормойZbkxkp = 1/p|x(t)|p dt.aОпределение 2.1.9 Полное нормированное пространство называется банаховым.Определение 2.1.10 Подмножествонормированногопро-странства L называется подпространством, если оно замкнуто иявляется линейным многообразием (подпространством) в L.Заметим, что в конечномерном пространстве любое линейноеподпространство является замкнутым.

Для бесконечномерного пространства это не так. Например, подпространство многочленов впространстве C[a, b] незамкнуто.Определение 2.1.11 Две нормы k.k1 и k.k2 называются эквивалентными, если существуют такие неотрицательные постоянные c1и c2 , что для всех x ∈ Lc1 kxk1 ≤ kxk2 ≤ c2 kxk1 .41Пример 2.1.19 Нормы k.kp (1 ≤ p ≤ ∞) на пространстве Rnявляются эквивалентными. На самом деле, любые две нормы на всяком конечномерном пространстве являются эквивалентными.

Докажите это самостоятельно с использованием теоремы Вейерштрассао максимумах и минимумах непрерывных функций на компактах.Пример 2.1.20 На пространстве непрерывных функций на отR1/pbpрезке [a, b] нормы kxk = maxt∈[a,b] |x(t)| и kxkp = a |x(t)| dtне являются эквивалентными, поскольку с первой нормой получаемполное пространство, а со второй – неполное.2.1.3Пополнение нормированного пространства∗Следствие 2.1.1 Каждое нормированное пространство Lимеет пополнение, которое также является нормированнымпространством.422.1.4Евклидовы пространстваКроме длины вектора, в классической геометрии часто используетсяпонятие угла между векторами.

Характеристики

Список файлов лекций