1625915895-3a744cb5c06ad75d9b8c6809466dfe6e (844024), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.6.1Теорема об итерациях операторов . . . . . . . . . . . . . . . 1524.6.2Условия разрешимости уравнений первого рода . . . . . . . 154Лекция 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.7.1Операторные уравнения второго рода . . . . . . . .
. . . . . 1564.7.2Теоремы Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Лекция 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.8.1Замечания к теоремам Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . 1594.8.2Следствия из теорем Фредгольма . . .
. . . . . . . . . . . . 160Лекция 33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.9.1Линейные интегральные уравнения второго рода . . . . . . 1634.9.2Операторы Гильберта-Шмидта в L2 [a, b] . . . . . . . . . . . 1644.10 Лекция 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 1674.10.1 Уравнения с вырожденными ядрами . . . . . . . . . . . . . 1674.10.2 Уравнения Вольтерра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.10.3 Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Литература173Глава 1Раздел I: Метрическиепространства1.1Лекция 1Схема междисциплинарных связейдисциплины "Функциональный анализ"МатематическийАнализОДУАлгебраГеометрия&↓.↔Функциональный↔ТопологияАнализ.ИнтегральныеУравнения⇐⇒&МоделиЕстествознания⇐⇒Дифф.Уравнения2Схема структурных связей дисциплины"Функциональный анализ"ТеорияМетрическихПространств↓Теория↓→ОДУНормированныенеподвижныхпространстваточек⇑↓⇑Интегральные ⇐⇒УравненияОператорныеУравнения⇓Дифференциальныеуравненияв частныхпроизводных.↓Евклидовы⇐⇒пространства31.1.1Метрические пространства. Определения и примерыПусть X – некоторое множество произвольной природы.
Его элементы мы часто будем называть "точками". Сейчас мы постараемсявыделить (формализовать) наиболее существенные свойства, присущие понятию "расстояние".Определение 1.1.1 Метрикой (расстоянием) на X будем называть функцию ρ(x, y), определенную для любых x, y ∈ X, и обладающую следующими тремя свойствами:1) ρ(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y (разделение точек);2) ρ(x, y) = ρ(y, x) для всех x, y ∈ X (симметричность);3) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) для всех x, y ∈ X (неравенство треугольника).Пару X = (X, ρ) будем называть в этом случае метрическим пространством.Конечно, интуитивно ясно, что "расстояние" от точки x до точкиy должно быть всегда неотрицательным.
Однако это немедленновытекает из свойств метрики:0 = ρ(x, x) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, x) = 2ρ(x, y) для всех x, y ∈ X.Приведем теперь примеры метрических пространств.4Пример 1.1.1 Пусть X = Q – множество рациональных чисел,а ρ(x, y) = |x−y|. Тогда свойства 1)–3) сразу следуют из свойств рациональных дробей и определения модуля числа, изученных в рамках школьной программы.Пример 1.1.2 Пусть X = R есть множество действительныхчисел, а ρ(x, y) = |x − y|.
Тогда свойства 1)–3) сразу следуют изопределения действительных чисел и определения модуля числа,изученных в рамках школьной программы.Для того, чтобы привести другие примеры, нам потребуется простая лемма. Обозначим через Rn (n ≥ 2) множество упорядоченныхнаборов (n-ок) действительных чисел x = (x1 , . . . , xn ).Лемма 1.1.1 (Неравенство Коши-Буняковского) Для любых векторов x, y ∈ Rn выполняется неравенство:vuXnnXu n 2X(1.1.1)x j yj ≤ txjyk2 .j=1j=1k=1nПример 1.1.3 Положим X = R , ρ(x, y) =qPnj=1 (xj− yj )2 .Это евклидово n-мерное пространство. Данную пару (X, ρ) будемобозначать Rn2 или просто Rn . При n = 2 получаем обычную "евклидову" плоскость.Пример 1.1.4 Пусть X = Rn , ρ1 (x, y) =Pnj=1 |xj− yj |.
Пару(X, ρ1 ) будем обозначать Rn1 . При n = 2 данное расстояние имеетсмысл в условиях прямоугольной городской уличной сети.5Пример 1.1.5 Положим X = Rn , ρ∞ (x, y) = max1≤j≤n |xj − yj |.Данную пару (X, ρ∞ ) будем обозначать Rn∞ .nПример 1.1.6 Пусть X = R , ρp (x, y) =Pnj=1 |yjp− xj |1/p(p > 1).
Справедливость аксиом метрики будет проверена на практических занятиях. Данную пару (X, ρp ) будем обозначать Rnp .Все рассмотренные выше примеры так или иначе уже встречались вам в курсах математического анализа или алгебры. Перейдемк рассмотрению более сложных и содержательных примеров, примеров бесконечномерных и функциональных пространств.Пример 1.1.7 Пусть X – множество всевозможных последоP∞pвательностей x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . . ), таких, чтоj=1 |xj | < ∞P1/p∞p(1 ≤ p < ∞). Положим ρ(x, y) =.j=1 |xj − yj |Данную пару (X, ρ) будем обозначать lp .Пример 1.1.8 Пусть X – множество всевозможных ограниченных последовательностей x = (x1 , x2 , . .
. , xn , . . . ), аρ(x, y) = sup |xj − yj |.j∈NСправедливость аксиом 1)–3) очевидна. Данное метрическое пространство (X, ρ) будем обозначать M.Пусть X – множество всевозможных сходящихся к нулю последовательностей x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . . ), с той же нормой, что и в Mбудем обозначать M0 . Ясно, что M0 ⊂ M.6Пример 1.1.9 Пусть X – множество всевозможных последовательностей x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . . ), аρ(x, y) =∞Xj=1|xj − yj |.2j (1 + |xj − yj |)Данное метрическое пространство будем обозначать S.Перейдем от пространств последовательностей к пространствамфункций.Пример 1.1.10 Пусть X – множество всех непрерывных функций на отрезке [a, b].
Положим ρ(x, y) = maxa≤t≤b |x(t) − y(t)|. Этометрическое пространство обозначим через C[a, b].Пример 1.1.11 Пусть X – множество всех непрерывных функR1/pbpций на отрезке [a, b]. Положим ρp (x, y) =,a |x(t) − y(t)| dt1 ≤ p < ∞. Это метрическое пространство обозначим через Cp [a, b].И завершим нашу "галерею" примером, показывающим, что среди метрических пространств есть достаточно экзотичные экземпляры.Пример 1.1.12 Пусть X – произвольное множество, а 1, x 6= y;ρ(x, y) = 0, x = y.Это так называемое "дискретное пространство" или пространствоизолированных точек.1.2. Лекция 21.21.2.17Лекция 2Непрерывные отображения метрическихпространствПусть X и Y – два метрических пространства с метриками ρX и ρYсоответственно, а f – отображение пространства X в Y, т.е.
каждомуx ∈ X ставится в соответствие некоторый элемент f (x) = y ∈ Y .Часто отображения пространств называются операторами, функционалами или функциями, что отражает их природу – действие,переводящее элемент из одного пространство в другое.Одной из центральных тем анализа является поиск условий разрешимости уравнения(1.2.1)f (x) = y(здесь элемент y ∈ Y задан, а элемент x ∈ X неизвестен), атакже построение его (точных и приближенных) решений. Уравнение (1.2.1) называется операторным уравнением первого рода.Конечно, без дополнительных предположений о свойствах отображения f такая задача необозрима. В нашем курсе мы ограничимсянепрерывными отображениями.Определение 1.2.1 Отображение f : X → Y называется непрерывным в точке x0 ∈ X, если для всякого ε > 0 существуеттакое δ > 0, что для всех x ∈ X, удовлетворяющих ρX (x, x0 ) < δ,выполняется неравенствоρY (f (x), f (x0 )) < ε.8Отображение f : X → Y называется непрерывным на X, если ононепрерывно в каждой точке X.Конечно, из курса математического анализа вы уже знаете, чтодаже непрерывных отображений из пространства Rn в пространство R очень много, а их поведение может быть очень непредсказуемым.
Для того, чтобы эффективно получать информацию о наличиирешений уравнения (1.2.1), нам придется сузить классы изучаемыхнепрерывных отображений и пространств. Например, ограничиться – сжимающими, непрерывными линейными, компактными ит.д. отображениями нормированных, евклидовых пространств илидругих пространств.Определение 1.2.2 Отображение f : X → Y будем называтьинъективным на X, если f (x1 ) 6= f (x2 ) при x1 6= x2 . Отображениеf : X → Y называется сюрьективным на X, если f (X) = Y , т.е. длявсякого y ∈ Y найдется такой элемент x ∈ X, что y = f (x).
Отображение f : X → Y называется биективным, если оно инъективнои сюрьективно.Если отображение является биективным, то каждому y ∈ Y поставим в соответствие x ∈ X, такой, что f (x) = y. Определенноетаким образом отображение называется обратным к f : X → Y иобозначается f −1 (при этом f −1 : Y → X).Определение 1.2.3 Отображение f : X → Y называется гомеоморфизмом, а пространства X и Y называются гомеоморфными,1.2. Лекция 29если f является биективным и взаимно непрерывным (т.е. отображени f и f −1 являются непрерывными).Определение 1.2.4 Отображение f : X → Y называется изометрией, а пространства (X, ρX ) и (Y, ρY ) называются изометричными, если f является гомеоморфизмом иρX (x1 , x2 ) = ρY (f (x1 ), f (x2 )).Изометрия пространств X и Y означает, что как метрическиепространства эти объекты не различимы; различной может бытьлишь природа их элементов, что с точки зрения теории метрическихпространств несущественно.Пример 1.2.1 Пусть X = [−1, 1], Y = [−2, 2],ρX (x1 , x2 ) = |x1 − x2 |,ρY (y1 , y2 ) = |y1 − y2 |.Тогда отображение f (x) = 2x является гомеоморфизмом, но не является изометрией.Пример 1.2.2 Пусть X = [−1, 1], Y = [−2, 2],ρX (x1 , x2 ) = |x1 − x2 |,1ρY (y1 , y2 ) = |y1 − y2 |.2Тогда отображение f (x) = 2x является и гомеоморфизмом, и изометрией.Пример 1.2.3 Пусть X = (−∞, ∞), Y = (−1, 1),ρX (x1 , x2 ) = |x1 − x2 |,Тогда отображение f (x) =не является изометрией.2πρY (y1 , y2 ) = |y1 − y2 |.arctg x является гомеоморфизмом, но101.2.2СходимостьПерейдем теперь к одному из базовых понятий анализа – предельному переходу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
