1625915895-3a744cb5c06ad75d9b8c6809466dfe6e (844024), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Тогда в силу аксиомскалярного произведения и неравенства Коши-Буняковского fa является линейным непрерывным функционалом. При этом |(x, a)| ≤kxkkak для всех x ∈ L, откуда следует, что kfa k ≤ kak. Положивx = a, получим |fa (a)| = kak2 , т.е.fa (a)kak= kak. Значит, в силу пред-ложения 2.5.2 мы заключаем, что kfa k = kak. Например, в случаеPL = Rn2 , a = (a1 , . . . , an ) мы имеем fa (x) = nj=1 xj aj .65Пример 2.5.2 Пусть L = C[a, b], y(t) – фиксированная непрерывная функция на [a, b] иZbfy (x) =x(t)y(t) dt.aИз примера 2.5.1 следует, что fy – непрерывный линейный функционал на C2 [a, b].

Покажем, что это также непрерывный линейныйфункционал и на C[a, b]. Линейность следует из линейности интеграла, а ограниченность вытекает из неравенства: bZ ZbZb|fy (x)| = x(t)y(t) dt ≤ |x(t)| |y(t)| dt ≤ kxk |y(t)| dt,aaоткуда следует, что kfy k ≤Rba|y(t)| dt.a2.5.2Теорема Хана-Банаха в нормированных пространствахОпределение 2.5.3 Пусть L0 – подпространство линейногопространства L, а f0 – линейный функционал на L0 . Функционал f : L → R называется продолжением функционала f0 , еслиf (x) = f0 (x) для всех x ∈ L0 .Задача о продолжении часто встречается в анализе.Теорема 2.5.2 Пусть L – действительное нормированное пространство, L0 – его подпространство и f0 – ограниченный линейный функционал на L0 .

Тогда f0 может быть продолжен до неко-66торого линейного функционала f на всем пространстве L без увеличения нормы, т.е. так, чтоkf kL = kf0 kL0 .Следствие 2.5.1 Если x0 – ненулевой элемент в нормированном пространстве L, то существует такой непрерывный линейный функционал f на L, что kf k = 1 и f (x0 ) = kx0 k.2.5.3ТеоремаХана-Банахадлякомплексныхпространств∗Приведем еще вариант теоремы Хана-Банаха в пространствах надполем комплексных чисел C.Теорема 2.5.3 Пусть L – комплексное нормированное пространство, L0 – его подпространство и f0 – ограниченный линейный функционал на L0 . Тогда f0 может быть продолжен до некоторого линейного функционала f на всем пространстве L без увеличения нормы, т.е. так, чтоkf kL = kf0 kL0 .672.62.6.1Лекция 13Сопряженное пространствоДля линейных функционалов можно определить операции сложенияи умножения на числа.Определение 2.6.1 Пусть f1 и f2 – линейные функционалы напространстве L.

Их суммой называется функционал f (x) = f1 (x) +f2 (x) (x ∈ L). Произведением функционала f1 на число a называетсяфункционал g(x) = af1 (x) (x ∈ L).Предложение 2.6.1 С введенными в определении 2.6.1 операциями сложения и умножения на числа множество L] всех линейных функционалов является линейным пространством, а множество всех линейных непрерывных функционалов L∗ является егоподпространством.Замечание 2.6.1 Хотя для конечномерных пространств L∗ =L] , в общем случае пространства L] и L∗ различны. Например, есP∞ли L = l2 , то функционал f (x) =j=1 xj является линейным инеограниченным.Теорема 2.6.1 Формула (2.5.1) задает норму k.k на линейномпространстве L∗ ; при этом пара (L, k.k) является банаховым пространством.68Замечание 2.6.2 Иногда про сходящуюся в нормированномпространстве (L∗ , k.k) последовательность говорят, что она сходитсясильно в пространстве L∗ .Замечание 2.6.3 Если нормированное пространство L не полно, а L̃ – его пополнение, то пространствa L̃∗ и L∗ изоморфны.Пример 2.6.1 Если L – конечномерное (n-мерное) евклидовопространство (действительное или комплексное), то, зафиксировавв нем какой-нибудь базис {ek }nk=1 , мы получим для всех x ∈ L иf ∈ L∗ :x=nXck ek ,f (x) =k=1nXck f (ek ).k=1Следовательно, линейный (непрерывный) функционал однозначноопределяется своими значениями на базисных векторах.

Определимлинейные функционалы {gk }nk=1 : 1, i = j;gk (ej ) = 0, i 6= j.Система {gk }nk=1 является линейно независимой, поскольку, еслиnXgk (x)bk = 0k=1для всех x ∈ L, то, в частности,nXgk (ej )bk = bj = 0k=1для всех 1 ≤ j ≤ n. Ясно, что gk (x) = ck , поэтомуf (x) =nXk=1gk (x)f (ek ).69Таким образом, функционалы {gk }nk=1 составляют базис в пространстве L∗ и dim L = dim L∗ = n. Базис {gk }nk=1 в L∗ называют двойственным по отношению к {ek }nk=1 в L.Различные нормы в пространстве L индуцируют различные нормы в L∗ . Для того, чтобы в этом убедиться, нам потребуется неравенство Гельдера.Лемма 2.6.1 (Неравенство Гельдера) Для всех a, b ∈ Rn и длявсех 1 < p < ∞ справедливо неравенство:!1/p!1/qnnnXXX(2.6.1)|ak bk | ≤|ak |p|bk |q,k=1k=1k=1где 1/p + 1/q = 1.Пример 2.6.2 Пусть L ∼= Rnp (1 ≤ p ≤ ∞) тогда L∗ = Rnq , где1p+1q= 1.

Действительно, из примера 2.6.1 следует, чтоx=nXck ek ,f (x) =k=1nXck f (ek ) =k=1nXgk (x)f (ek ),k=1где f (ek ) = fk – координаты функционала f в базисе {gk }nk=1 . Такимобразом f можно отождествить с вектором (f1 , . . . , fn ) ∈ Rn .Рассмотрим сначала случай 1 < p < ∞. По неравенству Гельдера (2.6.1)|f (x)| ≤nX|ck f (ek )| ≤k=1nX!1/pnX|ck |pk=1kxkpnXk=1k=1!1/q|fk |q.!1/q|f (ek )|q=70P1/qСледовательно, kf k ≤ ( nk=1 |fk |q ) . В частности, дляx0 =nXsign(fk ) |fk |q/p ekk=1мы имеемnXkx0 kp =!1/p|fk |q,k=1 nXq/p |f (x0 )| = sign(fk ) |fk | fk =k=1nXnX|fk |1+q/p =k=1|fk |q = kx0 kpk=1nXkx0 kpnX!1−1/p|fk |q=k=1!1/q|fk |q= kx0 kp k(f1 , . . .

, fn )kq ,k=1а значит, kf k = k(f1 , . . . , fn )kq .При p = 1 имеем|f (x)| ≤nX|ck f (ek )| ≤ max |fk |1≤k≤nk=1nX|ck | = max |fk |kxk1 .1≤k≤nk=1Следовательно, kf k ≤ max |fk |. В частности, если |fj | = max |fk |,1≤k≤n1≤k≤nто для x0 = sign(fj ) fj ej имеем: kx0 k1 = |fj |,2|f (x0 )| =max |fk |1≤k≤n= kx0 k1 k(f1 , . . . , fn )k∞ ,а значит, kf k = (f1 , . . . , fn )∞ .При p = ∞ имеем|f (x)| ≤nXk=1|ck f (ek )| ≤ max |ck |1≤k≤nnXk=1|fk | = kxk∞nXk=1|fk |.71Следовательно, kf k ≤Pnk=1 |fk |,и для x0 =Pnk=1 sign(fk ) ekимеем:kx0 k∞ = 1,|f (x0 )| =nX|fk | = kx0 k∞ k(f1 , . .

. , fn )k1 ,k=1а значит, kf k = k(f1 , . . . , fn )k1 .Пример 2.6.3 На практических занятиях мы докажем, что lp∗ =lq , где2.6.21p+1q= 1 (1 < p < ∞).Теорема об общем виде непрерывного линейногофункционала на полном евклидовом пространствеТеорема 2.6.2 Пусть L – (действительное или комплексное)полное евклидово пространство. Для всякого непрерывного линейного функционала f ∈ L∗ существует единственный элементa ∈ L, такой, что(2.6.2)f (x) = (x, a) для всех x ∈ L,причем kf k = kak. Обратно, если a ∈ L, то формула (2.6.2) определяет такой непрерывный функционал f (x), что kf k = kak.Теорема 2.6.3 Пусть L – полное евклидово пространство. Равенство (2.6.2) определяет изоморфизм φ (φ(f ) = a) между Lи L∗ , если L является действительным пространством и сопряженно линейный изоморфизм, если L является комплексным пространством.722.72.7.1Лекция 14Второе сопряженное пространствоТак как непрерывные линейные функционалы на нормированномпространстве L сами образуют нормированное пространство L∗ , томожно говорить о пространстве L∗∗ непрерывных линейных функционалов на L∗ , т.е.

о втором сопряженном пространстве и т.д.Предложение 2.7.1 Всякий элемент x нормированного пространства L определяет некоторый непрерывный линейный функционал на L∗ :ψx (f ) = f (x)(f ∈ L∗ ).отображением пространства L во второе сопряженное.Предложение 2.7.2 Естественное отображение нормированного пространства L во второе сопряженное является линейными инъективным.Предложение 2.7.3 Естественное отображение нормированного пространства L во второе сопряженное является изометрией, т.е.kπ(x)k = kψx k = kxk.Таким образом, нормированное пространство L изометрично(вообще говоря, незамкнутому) линейному многообразию π(L) ⊂L∗∗ .

Отождествляя L с π(L) можно считать, что L ⊂ L∗∗ .73Определение 2.7.1 Нормированное пространство L называется рефлексивным, если отображение π есть (сопряженно линейный, вслучае комплексных пространств) изоморфизм нормированных пространств L и L∗∗ , т.е. если π(L) = L∗∗ (пишем L ∼= L∗∗ ).Пример 2.7.1 Всякое полное евклидово пространство рефлексивно, так как в силу теоремы 2.6.3 мы имеем L ∼= L∗∗ , и= L∗ ∼кроме того, мы знаем общий вид линейных непрерывных функционалов на L и L∗ :f (x) = (x, af )L ,F (f ) = (af , aF )L ,x ∈ L, f ∈ L∗ , F ∈ L∗∗ . Посколькуπ(x)(f ) = f (x) = (x, af )L ,то мы заключаем, что отображение π : L → L∗∗ сюрьективно.Пример 2.7.2 Пространства Rnp (1 ≤ p) являются рефлексивными.

В самом деле, мы доказали, что (Rnp )∗ ∼= Rnq , 1/q + 1/p = 1 иполучили общий вид непрерывного линейного функционала на Rnp .Кроме того, отсюда следует, что (Rnp )∗∗ ∼= (Rnq )∗ ∼= Rnp (1/q+1/p = 1).Таким образом,f (x) =nXck fk ,F (f ) =k=1x=(x1 , . . . , xn )∈Rnp ,nXf k Fk ,k=1f=(f1 , . . . , fn )(F1 , . . . , Fn )(Rnp )∗∗ .При этом мы имеем:π(x)(f ) =nXk=1ck fk ,∈(Rnp )∗ , F∈74а значит, отображение π : L → L∗∗ сюрьективно.

Отметим, что(Rnp )∗ = Rnq 6= Rnp , если p 6= 2.Пример 2.7.3 Пространства lp (1 < p) являются рефлексивными, поскольку lp∗∗ = lq∗ = lp (1/q + 1/p = 1). Отметим, что при этомlp∗ = lq 6= lp , если p 6= 2.Пример 2.7.4 Пространство M0 сходящихся к нулю последовательностей с нормойkxk = sup |xj |(x ∈ M0 )j∈Nявляется примером полного нерефлексивного нормированного про∼∼ ∗ ∼странства. Именно, M∗0 ∼= l1 , M∗∗0 = l1 = M 6= M0 , где M –пространство ограниченных последовательностей с той же нормой,что и в пространстве M0 . Подробнее мы рассмотрим этот примерна практических занятиях.2.7.2Слабая сходимостьВ середине прошлого столетия математики обнаружили, что измерить "близкость" элементов в метрических (нормированных, евклидовых) пространствах можно не только с помощью метрики, чтонаряду с "обычной" сходимостью можно ввести и другие, более слабые типы сходимости.Определение 2.7.2 Говорят, что последовательность {xn } внормированном пространстве L сходится слабо к некоторому эле-75менту x, еслиlim f (xn ) = f (x) для всех f ∈ L∗ .n→∞Предложение 2.7.4 Если последовательность {xn } сходитсяв нормированном пространстве L (по норме) к некоторому элементу x, то она сходится слабо к x.Обратное, вообще говоря, неверно (см.

примеры ниже).Теорема 2.7.1 Если последовательность {xn } слабо сходитсяв нормированном пространстве L, то она ограничена, т.е. существует такая постоянная C > 0, что kxn k ≤ C для всех n ∈ N.Теорема 2.7.2 Последовательность {xn } элементов нормированного пространства L сходится слабо к x ∈ L в том и толькотом случае, когда1) {xn } ограничена;2) limn→∞ f (xn ) = f (x) для всякого f ∈ ∆, где ∆ – некотороеподмножество L∗ , такое, что L(∆) плотна в L∗ .Пример 2.7.5 В пространстве Rnp (n ≥ 1, 1 ≤ p < ∞ слабаясходимость совпадает с сильной. На самом деле это справедливодля любого конечномерного нормированного пространства L.Пример 2.7.6 В пространстве l2 слабая сходимость не совпадает с сильной.762.7.3∗-слабая сходимость∗В пространстве сопряженном к нормированному мы получаем следующее определение.Определение 2.7.3 Говорят, что последовательность {fn } впространстве L∗ , сопряженном к нормированному пространству L,сходится слабо к некоторому элементу f , еслиlim F (fn ) = F (f ) для всех F ∈ L∗∗ .n→∞В этом пространстве можно ввести еще один вид сходимости.Определение 2.7.4 Говорят, что последовательность {fn } впространстве L∗ , сопряженном к нормированному пространству L,сходится ∗-слабо к некоторому элементу f , еслиlim fn (x) = f (x) для всех x ∈ L.n→∞Поскольку L ⊂ L∗∗ (см.

предложение 2.7.1), то всякая слабо сходящаяся последовательность в L∗ является ∗-слабо сходящейся, аобратное, вообще говоря, неверно; для рефлексивных и конечномерных пространств эти два вида сходимости совпадают.Доказательство следующих теорем проводится аналогично доказательству теорем 2.7.1 и 2.7.2 соответственно.Теорема 2.7.3 Если последовательность {fn } в пространствеL∗ , сопряженном к банахову пространству L, сходится ∗-слабо,то она ограничена, т.е.

Характеристики

Список файлов лекций