1625915895-3a744cb5c06ad75d9b8c6809466dfe6e (844024), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Как мы видели в разделе 2, H = H1 ⊕ H1⊥ , тоесть всякий элемент x ∈ H представим (единственным образом) ввиде x = x1 + x2 , где x1 ∈ H1 , а x2 ∈ H1⊥ . Положим π(H1 )x = x1 .Такой оператор A = π(H1 ) называется оператором ортогонального проектирования на подпространство H1 . Ясно, что он линеен, аD(A) = X, ker A = H1⊥ , R(A) = H1 . Он является ограниченным,поскольку, в силу ортогональности,kxk2 = kx1 k2 + kx2 k2 ≥ kx1 k2 .Пример 3.1.4 Пусть X = C 1 [a, b], Y = C[a, b], x(t) – фиксированная непрерывно дифференцируемая функция на [a, b], а Ax(t) =dxdt .Покажем, что это непрерывный линейный оператор на C[a, b].Линейность следует из линейности дифференциала, а ограниченность вытекает из неравенства: dx dx kAxkY = max (t) ≤ max (t) + max |x(t)| = kxkX .t∈[a,b] dtt∈[a,b] dtt∈[a,b]101Пример 3.1.5 Пусть X = C[a, b], Y = C[a, b], D(A) = C 1 [a, b] 6=X, x(t) – фиксированная непрерывно дифференцируемая функцияна [a, b], а Ax(t) =dxdt .Покажем, что это не непрерывный линейныйоператор на C[a, b].
Линейность следует из линейности дифференциала. Последовательность xn =sin ntnстремится к нулю в C[a, b] = X,поскольку kxn kX ≤ 1/n. Очевидно, Axn = cos nt не стремится кнулю в C[a, b].Таким образом, "хорошее" поведение оператора означает согласованность всей "тройки" (X, Y, A).3.1.2Норма оператораОпределение 3.1.5 Пусть A – ограниченный оператор на X.Число(3.1.2)kAk = sup kAxkYkxkX ≤1называется нормой оператора A.102Предложение 3.1.4 Норма линейного оператора A обладаетследующими свойствами:1) kAk = sup kAxkY ;2) kAk =kxkX =1Ysup kAxkkxkXkxk6=0;3) kAxkY ≤ kAkkxkX для всех x ∈ X.Пример 3.1.6 Пусть A – линейный оператор, отображающийлинейное пространство Rn с базисом {ek }nk=1 в пространство Rm сPnPnбазисом {fj }mj=1 .
Если x =j=1 aj ej , то Ax =j=1 aj Aej . Такимобразом, оператор A задан, если известны его значения на базисPных векторах. Поскольку Aej = nk=1 akj fk , то оператор A задаетсяматрицей (akj ).1033.23.2.1Лекция 19Пространство ограниченных линейных операторовОпределение 3.2.1 Пусть A : X → Y и B : X → Y линейные операторы. Их суммой называется оператор Cx = Ax + Bx(x ∈ D(A) ∩ D(B) ⊂ X).
Произведением оператора A на число aназывается оператор Dx = aAx (x ∈ D(A)).Предложение 3.2.1 Если A : X → Y и B : X → Y – линейныенепрерывные операторы, то их сумма, а также произведение оператора A на любое число a являются непрерывными линейнымиоператорами.Предложение 3.2.2 Множество L(X, Y) всех линейных непрерывных операторов из нормированного пространства X в нормированное пространство Y является линейным пространством.Теорема 3.2.1 Формула (3.1.2) определяет норму на линейномпространстве L(X, Y).
Более того, если Y является банаховымпространством, то L(X, Y) с этой нормой также является полным нормированным пространством.Введем еще одну операцию для непрерывных операторов.Определение 3.2.2 Пусть A ∈ L(X, Y), B ∈ L(Y, Z), причемD(B) ⊂ R(A). Произведением (композицией) операторов A и B называется оператор C : X → Z, такой, чтоCx = B(Ax) для всех x ∈ D(A).104Предложение 3.2.3 kBAk ≤ kBk kAk.Предложение 3.2.4 A(BC) = (AB)C, C(A + B) = CA + CBдля всех непрерывных линейных операторов, для которых эти произведения определены.Поскольку произведение матриц не является коммутативным, тоиз примера 3.1.6 вытекает, что композиция линейных непрерывныхоператоров, вообще говоря, также некоммутативна.3.2.2Компактные операторыВыделим теперь один очень важный подкласс ограниченных операторов.Определение 3.2.3 Пусть X и Y – банаховы пространства.
Оператор A : X → Y называется компактным, если он каждое ограниченное множество переводит в предкомпактное. Множество всехлинейных компактных операторов, действующих из X в Y будемобозначать через σ(X, Y).Пример 3.2.1 Если dim Y < ∞, то всякий линейный непрерывный оператор A : X → Y является компактным. В самом деле,если M ⊂ X – ограниченное множество, то в силу непрерывностиоператора AkAxkY ≤ kAkkxkX ,а значит, A(M ) – также ограниченное множество.
Так как в конечномерном нормированном пространстве всякое ограниченное множе-105ство предкомпактно, то оператор A компактен. В частности, всякийлинейный непрерывный функционал на нормированном пространстве X является компактным оператором.Пример 3.2.2 Если dim X < ∞, то всякий линейный непрерывный оператор A : X → Y является компактным. В самомделе, если M ⊂ X – ограниченное множество, то в силу конечномерности пространства X оно является предкомпактным. Докажем, что A(M ) предкомпактно.
Зафиксируем какую-нибудь последовательность {yn } ⊂ A(M ). Тогда yn = Axn , где {xn } ⊂ M .Поскольку M предкомпактно, то {xn } содержит фундаментальную подпоследовательность {xnk }. Из непрерывности следует, что{ynk = Axnk } также фундаментальна, т.е. оператор A компактен.Таким образом, компактные операторы также можно считатьобобщением непрерывных операторов в конечномерных пространствах на случай бесконечномерных пространств. В некоторых учебниках компактные операторы называются вполне ограниченными,поскольку они перводят ограниченные множества во вполне ограниченные.Пример 3.2.3 Если dim X = ∞, то тождественный оператор Iне является компактным. В самом деле, образом единичного шарапри тождественном отображении является единичный шар. Ясно,что единичный шар есть множество ограниченное. Тем не менее,согласно предложению 2.4.4, единичный шар не предкомпактен.106Теорема 3.2.2 Множество σ(X, Y) является (замкнутым)подпространством пространства L(X, Y).Совокупность компактных операторов замкнута также относительно операции композиции.
Мы докажем даже более сильноеутверждение.Теорема 3.2.3 Пусть A – компактный оператор а B – ограниченный. Тогда операторы AB и BA компактны.1073.33.3.1Лекция 20Принцип равномерной ограниченностиВведем еще один тип сходимости в пространстве L(X, Y) (ср. § 2.7.2).Определение 3.3.1 Говорят, что последовательность операторов {An }n∈N ⊂ L(X, Y) сходится к оператору A ∈ L(X, Y) равномерно, если limn→∞ kAn − Ak = 0. Говорят, что последовательность{An }n∈N ⊂ L(X, Y) сходится к оператору A ∈ L(X, Y) поточечно,если limn→∞ kAn x − AxkY = 0 для всех x ∈ X.Иногда поточечную сходимость называют сильной.
Интуитивноясно, что равномерная сходимость не слабее поточечной.108Предложение 3.3.1 Если последовательность {An }n∈N операторов из пространства L(X, Y) сходится к оператору A ∈ L(X, Y)равномерно, то она сходится и поточечно.Обратное, вообще говоря, неверно.109Следующая теорема показывает, что, в отличии от понятий поточечной и равномерной сходимости, понятия поточечной и равномерной ограниченности в пространстве L(X, Y) совпадают, по крайнеймере, если Y – банахово.Теорема 3.3.1 (Принцип равномерной ограниченности)Пусть Y – полное нормированное пространство. Если {An }n∈N ⊂L(X, Y), и {An x}n∈N ограничена при каждом фиксированном x ∈X, то {An }n∈N ограничена.1103.3.2Теорема Банаха-ШтейнгаузаСледующая теорема является обобщением теоремы 2.7.2 на случайлинейных операторов. Она дает критерий поточечной сходимостив пространстве L(X, Y) и, что самое главное, во многих случаяхсущественно облегчает проверку поточечной сходимости.Теорема 3.3.2 (Теорема Банаха-Штейнгауза) Пусть Y –пространство Банаха.
Для того, чтобы последовательность операторов {An }n∈N из L(X, Y) сходилась к некоторому операторуA ∈ L(X, Y) поточечно, необходимо и достаточно, чтобы1) {kAn k}n∈N была ограничена;2) {An }n∈N ⊂ L(X, Y) сходилась к A ∈ L(X, Y) поточечно нанекотором линейном многообразии X0 , всюду плотном в X.1113.43.4.1Лекция 21Замкнутые операторыВведем еще один важный класс операторов. С этой целью определимпрямую сумму Z = X + Y двух нормированных пространств X, Yкак совокупность пар z = (x, y), x ∈ X, y ∈ Y со следующимиоперациями сложения и умножения на скаляр:z1 +z2 = (x1 +x2 , y1 +y2 ), z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ),αz = (αx, αy),и нормойkzkZ = kxkX + kykY .Линейность пространства Z очевидна (доказывается также, каки линейность пространства R2 , аксиомы нормы k.kZ следуют изнеравенства треугольника в R и аксиом норм k.kX , k.kY . Таким образом, Z – нормированное пространство.112Определение 3.4.1 Графиком Γ оператора A : X → Y будемназывать множество пар вида (x, Ax) ∈ X+Y.
Линейный оператор Aназывается замкнутым, если его график замкнут.Лемма 3.4.1 Если A ∈ L(X, Y), то он замкнут.Пример 3.4.1 Пусть X = Y = C[a, b], A =ddt .По теореме Вей-ерштрасса, многочлены плотны в пространстве C[a, b], поэтому область определения D(A) = C 1 [a, b] 6= C[a, b] плотна в X. Мы ужевидели, что данный оператор не является ограниченным. Докажем,что он замкнут. В самом деле, если {xn }n∈N ⊂ C 1 [a, b] такова, что{xn }n∈N сходится к некоторой функции x ∈ C[a, b], а {x0n }n∈N сходится к некоторой функции y ∈ C[a, b], то по известной теореме изкурса математического анализа, x ∈ C 1 [a, b] и x0 = y, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
