1625915895-3a744cb5c06ad75d9b8c6809466dfe6e (844024), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

В частности, нам нужно уметь строить оператор A∗ и находить его ядро.Лемма 4.3.1 позволяет прояснить, что означает корректность поАдамару применительно к задаче 4.3.1. На языке операторов этоозначает, что1а) R(A) = H2 ;2а) ker A = {0};3a) оператор A−1 непрерывен (причем 3а) вытекает из 1a), 2a) итеоремы Банаха об обратном операторе, если пространства полны).Замечание 4.3.1 Если образ оператора A незамкнут, то задача 4.3.1 некорректна (не может непрерывно зависеть от начальныхданных).Если же R(A) замкнут, то, заменяя H1 на H̃1 = (ker A)⊥ , а H2на H̃2 = (ker A∗ )⊥ , мы получаем корректную задачу с операторомà = A|H̃1 , эквивалентную исходной.В самом деле, оператор à инъективен, так как Ãx = 0 означает,что x ∈ (ker A)⊥ ∩ ker A = {0}.

Кроме того, из замкнутости образаоператора и леммы 4.3.1 вытекает, что R(Ã) = R(A) = H̃2 .Что касается эквивалентности задач, то из разрешимости операторного уравнения Ãx = y ∈ H̃2 в пространстве H̃1 следует раз-143решимость операторного уравнения Ax = y ∈ H̃2 и существованиеэлемента y ∈ H̃2 ⊂ H2 .Обратно, из существования решения операторного уравнения Ax= y ∈ H2 и леммы 4.3.1 следует, что y ∈ H̃2 . А разложение (4.3.2)гарантирует нам, что x = x1 + x2 , где x1 ∈ ker A, x2 ∈ H̃1 . В частности, Ãx2 = A(x − x1 ) = y, а значит, операторное уравнение Ãx = yразрешимо.Таким образом, для корректности задачи по Адамару ключевойявляется замкнутость образа оператора. Такие операторы называются нормально разрешимыми.

Ниже мы выделим достаточно широкий класс операторов, которые имеют замкнутый образ.4.3.2Самосопряженные операторыВыделим очень важный класс линейных операторов в пространствах Гильберта.Определение 4.3.1 Ограниченный линейный оператор A, действующий в евклидовом пространстве H будем называть самосопряженным, если (Ax, y) = (x, Ay) для всех x, y ∈ H.Оказывается, задачу 4.3.1 можно всегда свести к ситуации, когдаоператор самосопряжен.Лемма 4.3.2 Задача 4.3.1) разрешима в том и только томслучае, когда1) (y, z) = 0 для всех z ∈ ker A∗ ;1442) разрешимо уравнение A∗ Ax = A∗ y.Заметим, что каждое из условий 1) и 2) по отдельности являетсятолько необходимым, но не достаточным, поскольку образ оператора A может быть неплотен и незамкнут в H2 .1454.44.4.1Лекция 28Собственные значения самосопряженных операторовПредложение 4.4.1 Все собственные значения самосопряженного оператора A в евклидовом пространстве H действительны.

Все собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.4.4.2Теорема Гильберта-ШмидтаКак мы видели в разделе 3, не всякий оператор имеет собственные вектора. Мы выделим один важный класс операторов, которыеимеют достаточный запас собственных векторов, чтобы построитьиз них базис.Докажем теперь спектральную теорему для компактного самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве.146Теорема 4.4.1 (Гильберт-Шмидт) Для любого компактного самосопряженного линейного оператора A в гильбертовом пространстве H существует ортонормированная система {φn } собственных векторов, отвечающих ненулевым собственным значениям {λn }, такая, что каждый элемент x ∈ H записываетсяединственным образом в видеx=Xck φk + u0kгде x0 ∈ ker A; при этомAux =Xck λk φkkи если система {φk } бесконечна, то limn→∞ λn = 0.147Схема доказательства теоремы Гильберта-Шмидта.Лемма 4.4.1 Оператор A : H1 → H2 в полных евклидовых пространствах H1 , H2 компактен тогда и только тогда, когда онвсякую слабо сходящуюся последовательность переводит в сильносходящуюся.Лемма 4.4.2 Если {xn }n∈N слабо сходится к x ∈ H, тоlim Q(xn ) = lim (Axn , xn ) = (Ax, x) = Q(x).n→∞n→∞Лемма 4.4.3 Если функционал |Q(x)| = |(Ax, x)|, где A самосопряжен, линеен, ограничен и достигает на единичном шаре максимума в точке x0 , то из (x0 , y) = 0 вытекает, что(Ax0 , y) = (x0 , Ay) = 0.1484.5Лекция 294.5.1Окончание доказательства теоремыГильберта-Шмидта и следствия из нееСледствие 4.5.1 Для всякого компактного самосопряженногооператора A : H → H в полном сепарабельном евклидовом пространстве H существует ортонормированный базис, состоящийиз собственных векторов.Замечание 4.5.1 Если dim H < ∞, то следствие 4.5.1 есть нечто иное, как теорема о приведении матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду в ортогональном базисе (см., например, [10]).

Для несамосопряженных компактных операторов такоеприведение, вообще говоря, невозможно (пример 3.7.2). Тем не менеесправедливо следующее утверждение: всякое линейное преобразование конечномерного пространства имеет хотя бы один собственныйвектор.Пример 4.5.1 Пусть H = L2 [0, 1], (Ax)(t) = tx(t). Оператор A,очевидно, линеен. Он ограничен в силу оценкиZ1kAxk = 1/2|tx(t)|2 dtZ1≤1/2t|x(t)|2 dt00Кроме того,Z1(Ax, y) =tx(t)y(t) dt = (x, Ay),0= kxk.149т.е.

оператор самосопряжен. Он не компактен, так как переводит√ограниченную последовательность {xk = 2k + 1 tk } в непредком√√пактную {yk 2k + 1 tk+1 }. В самом деле, k 2k + 1 tk k = 1, аs22j + 1 2j + 1(2j 2 + 1)(2j + 1)2+−.kyj 2 − yj k = 22j + 3 2j + 3(j 2 + j + 1)2Поэтому kyj 2 − yj k2 ≥ 1 начиная с некоторого j0 ∈ N.Наконец, если Ax = λx, то x(t) = 0 для всех t 6= λ, что впространстве Лебега означает x = 0.

Таким образом, собственныхзначений этот оператор не имеет.4.5.2Базисы со свойством двойной ортогональностиПусть оператор A компактен, а A∗ : H2 → H1 – сопряженный оператор для оператора A. Тогда, очевидно, оператор A∗ A : H1 → H1 является самосопряженным и компактным. В случае бесконечномерных пространств оператор A не может быть непрерывно обратимымсогласно лемме. Другими словами говоря, образ компактного оператора в бесконечномерных пространствах незамкнут. Тем не менее,спектральная теорема 4.4.1 дает нам возможность получить условияразрешимости и построить решения соответствующего операторного уравнения.Лемма 4.5.1 Пусть A компактен. Если система собственныхвекторов {bν } оператора A∗ A есть ортонормированный базис пространства H1 , то система {Abν }Abν 6=0 является ортогональнымбазисом подпространства R(A).150Такие базисы называются базисами с двойной ортогональностью.Теорема 4.5.1 Пусть оператор A компактен.

Тогда задача 4.3.1 разрешима в том и только том случае, когда:(1) y ∈ (ker A∗ )⊥ ;P (y,Abν )1 2(2) kAbν k21 < ∞.Abν 6=0151Из доказательства теоремы 4.5.1 видим, что, зная "базис с двойной ортогональностью" {bν }, соответствующий оператору A, легконайти решение уравнения Au = y.Следствие 4.5.2 Если задача 4.3.1 разрешима, то рядX (y, Abν )1x0 =bνkAbν k2Abν 6=0сходится в H1 , принадлежит (ker A)⊥ и является единственнымрешением задачи 4.3.1 в этом подпространстве.(N )Частичные суммы x0=PAbν 6=0, 1≤ν≤N(y,Abν )1kAbν k2 bνряда x0 можнотрактовать как приближенные решения задачи 4.3.1.Отметим, что приведенный метод построения решений некорректных задач называется методом регуляризации. Он имеет одинсущественный недостаток – нужно искать не только оператор A∗ ,но и собственные вектора и собственные значения оператора A∗ A,что есть очень трудоемкая, а в общем случае и необозримая задача.

Алгоритм, приведенный при доказательстве теоремы ГильбертаШмидта, дает возможность построить конечное число собственныхвекторов и собственных значений, но, к сожалению, некорректностьзадачи не позволяет указать нужное количество собственных векторов и собственных значений для заданной точности вычислений.1524.64.6.1Лекция 30Теорема об итерациях операторовПусть B : H → H – самосопряженный ограниченный оператор вгильбертовом пространстве H.Определение 4.6.1 Будем говорить, что оператор B : H → Hнеотрицателен, если (Bx, x)H ≥ 0 для всех x ∈ H.Ясно, что если A : H1 → H2 ограниченный оператор, то(A∗ Ax, x) = (Ax, Ax) = (x, A∗ Ax) ≥ 0 для всех x ∈ H1 .Поэтому оператор A∗ A всегда самосопряжен и неотрицателен.153Как и ранее, обозначим через π(H1 ) оператор ортогональногопроектирования на подпространство H1 в H (см.

пример 3.1.3).Теорема 4.6.1 (теорема об итерациях) Пусть H – гильбертово пространство и B : H → H – самосопряженный неотрицательный линейный компактный оператор в H с не более чемединичной нормой. Тогда в смысле поточечной сходимости в пространстве L(H) существуют пределы:lim B ν = π(ker (I − B)),lim (I − B)ν = π(ker B).ν→∞ν→∞Следствие 4.6.1 В смысле поточечной сходимости в линейном пространстве L(H) мы имеем(4.6.1)I = π(ker (I − B)) +∞XB µ (I − B),µ=0(4.6.2)I = π(ker (B)) +∞Xµ=0(I − B)µ B.1544.6.2Условия разрешимости уравнений первого родаПолученные выше теорема об итерациях и ее следствия позволяют получить условия разрешимости операторных уравнений первого рода с компактными операторами и их точные и приближенныерешения.В самом деле, рассмотрим компактный ненулевой оператор A :H1 → H2 .

Мы уже отмечали, что оператор A∗ A самосопряжени неотрицателен. Он компактен, как композиция компактного инепрерывного операторов. Кроме того, так как оператор A ненулевой, то его норма отлична от нуля. Значит, оператор B =A∗ AkAk2компактен, самосопряжен и неотрицателен, а его норма не превосходит единицы в силу теоремы 3.5.1.Следствие 4.6.2 Пусть H1 ,H2 – гильбертовы пространства иA : H1 → H2 – линейный компактный оператор. Тогда в смысле поточечной сходимости в пространстве L(H1 ) существует предел:νA∗ Alim I −= π(ker A).ν→∞kAk2Следствие 4.6.3 В условиях следствия 4.6.2, в смысле поточечной сходимости в пространствах L(H2 ) и L(H1 ) соответственно мы имеем(4.6.3)(4.6.4)µ ∗∞ XA∗ AAAI1 = π(ker A) +I1 −,22kAkkAkµ=0µ ∗∞∗XAAAAI2 = π(ker A∗ ) +I1 −.2kAkkAkkAkµ=0155С помощью следствия 4.6.3 легко получаются еще одно условиеразрешимости и формула для решения задачи 4.3.1.Следствие 4.6.4 Если оператор A компактен, то задача 4.3.1разрешима в том и только том случае, когда:(1) y ∈ (ker A∗ )⊥ ;(2) ряд x1 =P∞ ν=0I−A∗ AkAk2νA∗ ykAk2сходится в H1 .Следствие 4.6.5 Если задача 4.3.1 разрешима, то рядν ∗∞ XA∗ AAyx1 =I−2kAkkAk2ν=0сходится в H1 , принадлежит (ker A)⊥ и является единственнымрешением задачи 4.3.1 в этом подпространстве.1564.74.7.1Лекция 31Операторные уравнения второго родаПусть B – произвольный компактный оператор в сепарабельномгильбертовом пространстве H.

Мы будем исследовать разрешимостьуравнения (4.3.1) для A = I − B, т.е. уравнения(4.7.1)x − Bx = y(ср. с теоремой о сжимающем отображении!). Такие уравнения называются операторными уравнениями второго рода или уравнениямиФредгольма.157Мы уже знаем, что для исследования разрешимости операторных уравнений нужно изучать ядро оператора, а также сопряженный оператор и его ядро (см. лемму об аннуляторе ядра). Так какA∗ = (I − B)∗ = I − B ∗ , то, наряду с уравнением (4.7.1), мы будемрассматривать однородное уравнениеx − Bx = 0(4.7.2)и сопряженные уравнения(4.7.3)z − B ∗z = ζ(4.7.4)z − B ∗ z = 0.Мы получим гораздо более сильное утверждение, чем лемма обаннуляторе ядра, используя специальный вид оператора A.4.7.2Теоремы ФредгольмаТеорема 4.7.1 I.

Характеристики

Список файлов лекций