1625915895-3a744cb5c06ad75d9b8c6809466dfe6e (844024), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Начнем со случая f (x) ≡ 0.87Теорема 2.9.1 Только константы служат решениями (в классе обобщенных функций) уравнения(2.9.1)y 0 = 0.Отсюда следует, что если для двух обобщенных функций f и gвыполнено равенство f 0 = g 0 , то f − g = const.88Рассмотрим теперь уравнениеy 0 = f (x),(2.9.2)где f (x) – произвольная обобщенная функция.Теорема 2.9.2 Уравнение (2.9.2) при каждом f ∈ (C0∞ (R))0имеет решение, принадлежащее (C0∞ (R))0 .Это решение естественно назвать первообразной обобщенной функции f .Полученные результаты легко переносятся на системы линейныхуравнений.

Ограничимся здесь соответствующими формулировками, опуская доказательства.Рассмотрим однородную систему n линейных дифференциальных уравнений с n неизвестными функциями(2.9.3)yi0=nXaik (x)yk ,i = 1, . . . , n,k=1где aik – бесконечно дифференцируемые функции. Такая системаимеет некоторое количество "классических" решений (т. е. решений,представляющих собой "обычные", причем бесконечно дифференцируемые функции). Можно показать, что никаких новых решений вклассе обобщенных функций система (2.9.3) не имеет.89Для неоднородной системы вида(2.9.4)yi0=nXaik (x)yk + fi ,i = 1, .

. . , n,k=1где fi – обобщенные, а aik – "обычные" бесконечно дифференцируемые функции, решение существует в классе обобщенных функцийи определяется с точностью до произвольного решения, однороднойсистемы (2.9.3).Если в системе (2.9.4) не только aik , но и fi – "обычные" функции, то все решения этой системы, существующие в (C0∞ (R))0 , такжеоказываются обычными функциями.902.102.10.1Лекция 17Обобщенные функции нескольких переменныхВыше мы рассматривали обобщенные функции одного действительного переменного, то есть обобщенные функции на прямой.

Можно,на основе тех же идей, ввести обобщенные функции на ограниченном множестве, скажем, на отрезке или окружности, обобщенныефункции нескольких переменных, обобщенные функции комплексного аргумента и т. д. Наконец, и для обобщенных функций на прямой то определение, которое было дано выше, – далеко не единственно возможное. Рассмотрим вкратце обобщенные функции нескольких вещественных переменных.Рассмотрим в n-мерном пространстве совокупность C0∞ (Rn )функций ϕ(x1 , .

. . , xn ), имеющих частные производные всех порядков по всем аргументам, и таких, что каждая из этих функций равнанулю вне некоторого параллелепипедаai ≤ xi ≤ bi ,i = 1, . . . , n.Эта совокупность представляет собой линейное пространство (собычными операциями сложения функций и умножения их начисла), в котором можно ввести сходимость следующим образом:ϕk → ϕ, если существует такой параллелепипед ai ≤ xi ≤ bi ,i = 1, 2, .

. . , n, вне которого каждая из функций ϕk равна нулю,а в этом параллелепипеде имеет место равномерная сходимость:X∂ r ϕk∂rϕ→ α1αi = r ,∂xα1 1 . . . ∂xαnn∂x1 . . . ∂xαnn91для каждого фиксированного набора целых неотрицательных чиселα1 , . . . , αn .Обобщенной фующией n nеременных называется любой непрерывный линейный функционал на C0∞ (Rn ). Всякая "обычная" функция n переменных f (x), интегрируемая в любой ограниченной области n-мерного пространства, есть в то же время и обобщенная функция. Значения отвечающего ей функционала определяются формулойZ(f, ϕ) =f (x)ϕ(x) dx,где x = (x1 , . . .

, xn ), dx = dx1 . . . dxn . Как и в случае n = 1 различные непрерывные функции определяют различные функционалы (то есть представляют собой различные обобщенные функции).Для обобщенных функций n переменных понятия предельногоперехода, производной и т. д. вводятся с помощью тех же методов,что и в случае одного переменного. Например, частные производныеобобщенной функции вводятся формулойr∂ r f (x)∂ϕ(x)rf (x), α1.α1αn , ϕ(x) = (−1)∂x1 . . . ∂xn∂x1 .

. . ∂xαnnОтсюда видно, что каждая обобщенная функция n переменных имеет частные производные всех порядков.922.10.2Свертка обобщенных функцийПусть f (x) и g(x) – локально интегрируемые функции в Rn , причемфункцияZ|g(y)f (x − y)| dyh(x) =Rnтакже локально интегрируема в Rn . Сверткой f ∗ g этих функцийназывается функция(2.10.1)Zf ∗ g(x) :=Zf (y)g(x − y) dy =Rng(y)f (x − y) dy = (g ∗ f )(x).RnОтметим, что свертки f ∗ g и |f | ∗ |g| = h существуют одновременнои удовлетворяют неравенству |(f ∗ g)(x)| ≤ h(x) (при почти всех x),так что свертка f ∗ g оказывается также локально интегрируемойфункцией в Rn .

Поэтому она определяет (регулярную) обобщеннуюфункцию, действующую на основные функции ϕ ∈ (C0∞ (Rn ))0 поправилу:Z(f ∗ g, ϕ) =Z(f ∗ g)(ξ)ϕ(ξ) dξ =RnZg(y) RnRnZZg(y)f (ξ − y) dy  ϕ(ξ) dξ =RnZf (ξ − y)ϕ(ξ) dξ  dy =RnZg(y) Rnf (x)ϕ(x + y) dx dyRn(в силу теоремы Фубини), то естьZ(2.10.2) (f ∗ g, ϕ) =f (x)g(y)ϕ(x + y) dx dy,ϕ ∈ (C0∞ (Rn ))0 .R2nОтметим три случая, когда условие локальной интегрируемостифункции h(x) выполнено и, стало быть, свертка f ∗ g существует93и определяется формулой (2.10.1).1) Одна из функций f или g финитна, например supp g ⊂ UR1 :ZZZh(x), dx =|g(y)| |f (x − y)| dx dy ≤URUR1URZZ|g(y)| dyUR1|f (ξ)| dξ < ∞.UR+R12) При n = 1 функции f и g обращаются в нуль для всех x < 0 :ZR ZxZR|g(y)| |f (x − y)| dy dx =h(x) dx =−RZR0ZR|g(y)|00ZR|f (x − y)| dx dy ≤yZR|g(y)| dy0|f (ξ)| dξ < ∞.03) Функции f и g интегрируемы на Rn :ZZZh(x) dx = |g(y)| |f (x − y)| dx dy =RnRnZRnZ|g(y)| dyRn|f (ξ)| dξ < ∞,Rnтак что в этом случае свертка f ∗ g интегрируема на Rn .Докажем, что равенство (2.10.2) можно переписать в виде(2.10.3)(f ∗ g, ϕ) = lim (f (x)g(y), ηk (x, y)ϕ(x + y)),k→∞ϕ ∈ (C0∞ (Rn ))0 ,2nгде {ηk (x, y)}∞k=1 – любая последовательность, сходящаяся к 1 в R .Действительно, по доказанному функцияc0 |f (x)g(y)ϕ(x + y)|94интегрируема на R2n и|f (x)g(y)ηk (x, y)ϕ(x + y)| ≤ c0 |f (x)g(y)ϕ(x + y)|,k = 1, 2, .

. .Далее,f (x)g(y)ηk (x, y)ϕ(x + y) → f (x)g(y)ϕ(x + y),k→∞почти везде в R2n . Применяя теорему Лебега о переходе к пределупод знаком интеграла, получаем равенствоZZf (x)g(y)ϕ(x + y) dx dy = limf (x)g(y)ηk (x, y)ϕ(x + y) dx dy,k→∞RnRnчто, в силу (2.10.2), эквивалентно равенству (2.10.3).Исходя из равенств (2.10.2) и (2.10.3), примем следующее определение свертки обобщенных функций. Пусть пара обобщенныхфункций f и g из (C0∞ (Rn ))0 такова, что их прямое произведение f (x)·g(y) допускает продолжение (f (x)·g(y), ϕ(x+y)) на функции вида ϕ(x + y), где ϕ – любая функция из C0∞ (Rn ), в следующем смысле: какова бы ни была последовательность {ηk } функцийиз C0∞ (R2n ), сходящаяся к 1 в R2n , существует предел числовой последовательностиlim (f (x) · g(y), ηk (x, y)ϕ(x + y)) = (f (x) · g(y), ϕ(x + y))k→∞и этот предел не зависит от последовательности {ηk }.95Соотношение различных типовфункциональных пространств1. Топологические пространства∪Метрические пространства∪Нормированные пространства∪Евклидовы пространства2.

Линейные пространства∪Топологические векторные пространства∪Метризуемые пространства∪Нормированные пространства∪Евклидовы пространства96Глава 3Раздел III: Линейные операторы впространствах БанахаФункциональные пространства и операторные уравненияОДУИнтегральныеУравненияуравненияв частныхуравненияпроизводныхC[a, b]C[a, b]D0 (G)C s,λ [a, b]C s,λ [a, b]C s,λ (G)Lp [a, b]Wps (G)Wps [a, b]C ∞ (G)C s,λ (G)Lp (G)Wps (G)983.13.1.1Лекция 18Линейные операторы: основные определенияВ настоящем разделе мы перейдем к изучению линейных операторных уравнений в пространствах Банаха. Поэтому нам придется сначала изучить свойства линейных отображений этих пространствах.Определение 3.1.1 Пусть X и Y – линейные пространства надполем R (или C).

Отображение A : X → Y называется линейнымоператором, если A(ax + by) = aAx + bAy для всех x, y ∈ D(A) ивсех a ∈ R (или C), где D(A) – это совокупность тех x ∈ X, длякоторых отображение A определено (т.е. область определения оператора). Множество тех y ∈ Y , для которых y = Ax при некоторомx ∈ D(A), называется образом оператора и обозначается R(A).Вообще говоря, не предполагается, что D(A) = X, однако необходимо, чтобы D(A) было линейным подмногообразием в X.

Ясно,что всякий линейный функционал является линейным оператором(для Y = R).Определение 3.1.2 Пусть X и Y – нормированные пространства с нормами k · kX и k · kY соответственно. Оператор A : X → Yназывается непрерывным в точке x0 ∈ D(A), если для всякого ε > 0существует такое δ > 0, что для всех x ∈ D(A), удовлетворяющихkx − x0 kX < δ, выполняется неравенство kAx − Ax0 kY < ε. Оператор A назовем непрерывным, если он непрерывен в каждой точке D(A).99Предложение 3.1.1 Если линейный оператор A непрерывен вкакой либо точке x0 ∈ X, то он непрерывен всюду на D(A).Оказывается, что очень важное значение для изучения операторных уравнений имеет множество нулей отображения A.Определение 3.1.3 Ядром оператора A : X → Y называетсяподмножество ker A элементов x пространства X, таких, что Ax = 0.Предложение 3.1.2 Пусть A – линейный непрерывный оператор, тогда ker A и R(A) являются линейными многообразиямив Y .

Если D(A) = X, то ker A является подпространством пространства X.Образ линейного непрерывного оператора, в отличие от ядра,вообще говоря, не замкнут (примеры мы приведем позднее).Пример 3.1.1 Пусть X = Y. Положим Ix = x для всех x ∈X. Такой оператор называется единичным; D(A) = X, ker A = 0,R(A) = Y . Очевидно, он является непрерывным.Пример 3.1.2 Положим Ox = 0 ∈ Y для всех x ∈ X. Такойоператор называется нулевым; D(A) = X, ker A = X, R(A) = {0}.Очевидно, он является непрерывным.Определение 3.1.4 Оператор A называется ограниченным, если он определен на всем пространстве X и переводит каждое ограниченное множество в ограниченное.100Предложение 3.1.3 Линейный оператор A в нормированномпространстве является ограниченным в том и только том случае, когда существует такая постоянная C > 0, что(3.1.1)kAxkY ≤ CkxkX для всех x ∈ X.Теорема 3.1.1 Пусть X и Y – нормированные пространства.Тогда для того, чтобы линейный оператор был непрерывным на X,необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен.Пример 3.1.3 Пусть H – евклидово пространство, а H1 – егоподпространство.

Характеристики

Список файлов лекций