1625915895-3a744cb5c06ad75d9b8c6809466dfe6e (844024), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Для иррациональных чисел— это теория десятичных дробей, для пространств Соболева — знаменитые теоремы вложения Соболева, для пространств Лебега —теория классов совадающих почти всюду функций, к которой мытеперь переходим.1334.1.2Множества меры нуль. Сходимость почти всюдуОпределение 4.1.2 Множество M ⊂ [a, b] называется множеством меры нуль, если для любого ε > 0 существует не более чемсчетная система интервалов (αn , βn ), покрывающая множество M иимеющая суммарную длину меньше ε, то есть, 1) M ⊂ ∪n (αn , βn ),P2) n (βn − αn ) < ε.Пример 4.1.1 Любое счетное множество точек есть множествомеры нуль.Существуют примеры множеств меры нуль, имеющие мощностьконтинуума, один из знаменитейших примеров — канторово совершенное множество (см. [[1], стр.

63]).Далее мы применяем следующее соглашение: если некотороеутверждение справедливо для всех t из [a, b], кроме, быть может,множества точек меры нуль, то мы будем говорить, что утверждение верно.Пример 4.1.2 1. Функция y = cos t почти всюду отлична отнуля;2. Функция Дирихле 1,D(t) := 0,если t рационально,если t иррационально,равна нулю почти всюду, так как множество рациональных чиселсчетно и, значит, имеет меру нуль.134Определение 4.1.3 Две функции x1 (t) и x2 (t) будем называтьэквивалентными (записываем: x1 (t) ∼ x2 (t) ), если они равны почтивсюду.Например, функция Дирихле эквивалентна нулю.Определение 4.1.4 Еслиупоследовательностифункций{xn (t)} существует предел x(t) почти всюду, то говорят, что xnп.в.сходится к x почти всюду и записывают это так: xn −→ x.Доказательство следующей теоремы показывает, как у последоe1 [a, b],вательности непрерывных функций, сходящейся по норме Lизвлечь сходящуюся почти всюду подпоследовательность.Далее, если A ⊂ [a, b] покрывается множеством интервалов суммарной длины меньше δ, то будем записывать это формулой |A| < δ.Теорема 4.1.2 Если {xn } — фундаментальная последовательe1 [a, b], то существует подпоследовательность {xn }∞ :ность из Lk k=1п.в.1) xnk −→ x0 (t) при k → ∞, где x0 (t) — некоторая функция на[a, b];2) найдется m0 > 0 такое, что для всякого m > m0 существует Bm ⊂ [a, b], на котором |x0 (t) − xnk (t)| <|[a, b] \ Bm | <12m ,12k−1для всех k ≥ m иBm ⊂ Bm+1 .e1 [a, b], ||xn ||1 → 0, n → ∞, тоСледствие 4.1.2 Если {xn } ⊂ Lп.в.существует такая подпоследовательность {xnk }∞k=1 , что xnk −→ 0при k → ∞.1354.24.2.1Лекция 26Функции, интегрируемые по ЛебегуСейчас мы докажем теоремы, позволяющие установить однозначноесоответствие между элементами пространства L1 [a, b] и некоторыми классами эквивалентных (относительно равенства почти всюду)функций.В следующей теореме доказывается, что предельные функцииe1 [a, b] совпадают почтиэквивалентных последовательностей из Lвсюду.Теорема 4.2.1 Если x̄ = [{xn }] = [{yn }] ∈ L1 [a, b] и, при n →п.в.п.в.∞, xn −→ x0 (t), yn −→ y0 (t), то x0 (t) ∼ y0 (t).Тем самым, мы получаем корректно определенное отображениеиз пространства L1 [a, b] в множество классов эквивалентных (относительно равенства почти всюду) функций на [a, b].

Следующаятеорема утверждает, что это отображение инъективно.Теорема 4.2.2 Пусть x̄ = [{xn }] и ȳ = [{yn }] — две точки изп.в.п.в.L1 [a, b]. Если при n → ∞ xn −→ x0 и yn −→ x0 , то x̄ = ȳ.Определение 4.2.1 Функция x(t) называется интегрируемойпо Лебегу на отрезке [a, b], если существует фундаментальная в интегральной норме пространства L1 [a, b] последовательность непреп.в.рывных функций {xn (t)} такая, что xn −→ x(t) при n → ∞. В этомслучае интегралом Лебега функции x(t) по отрезку [a, b] называетсяRblimn→∞ a xn (t) dt.136Доказанные ранее теоремы мы теперь можем переформулировать следующим образом:ПространствоЛебегаL1 [a, b]изометричнофактор-пространству пространства интегрируемых по Лебегу на [a, b]функций по отношению эквивалентности “равны почти всюду”.Легко доказать, что если функция интегрируема по Риману, тоона интегрируема по Лебегу и интеграл Лебега от нее равен интегралу Римана, поэтому мы в дальнейшем все встречающиеся интегралыбудем понимать как интегралы Лебега.Пример 4.2.1 Если функция равна нулю почти всюду, то онаинтегрируема по Лебегу и интеграл Лебега от нее равен нулю.

Например, хорошо известно, что функция Дирихле (см. пример 4.1.2)не интегрируема по Риману, но по Лебегу она интегрируема (так какравна нулю почти всюду) и интеграл от нее равен нулю.4.2.2Основные свойства интеграла ЛебегаТак как интеграл Лебега расширяет понятие интеграла Римана, товсе хорошо известные свойства интеграла Римана остаются справедливыми и для интеграла Лебега. Для полноты картины в следующемпредложении мы перечислим эти свойства.Предложение 4.2.1 1) Если x1 (t), x2 (t) ∈ L1 [a, b], то для любых чисел α и β αx1 + βx2 ∈ L1 [a, b] иZ bZ bZ bαx1 + βx2 dt = αx1 dt + βx2 dt.aaa1372) Если x(t) ∈ L1 [a, b], то |x(t)| ∈ L1 [a, b] и Z bZ b x(t) dt ≤|x(t)| dt.aa3) Если x1 (t), x2 (t) ∈ L1 [a, b] и x1 (t) ≤ x2 (t) почти всюду, тоZ bZ bx1 (t) dt ≤x2 (t) dt.aaRb4) Если x(t) ∈ L1 [a, b], x(t) ≥ 0 иax(t) dt = 0, то x(t) = 0почти всюду.5) Если x1 (t) ∈ L1 [a, b], x2 (t) ∈ L1 [a, b], то max{x1 (t), x2 (t)} ∈L1 [a, b] и min{x1 (t), x2 (t)} ∈ L1 [a, b].Следующая теорема обобщает 4.1.2.

Ее несложное доказательство мы оставляем в качестве упражнения (см. также [2], с. 92).Теорема 4.2.3 Если {xn (t)} ⊂ L1 [a, b] и ||xn (t) − x(t)||L1 → 0при n → ∞, то существует подпоследовательность {xnk (t)} тап.в.кая, что xnk (t) −→ x(t) при k → ∞.Теорема 4.2.4 (Теорема Беппо Леви о монотонной сходимости) Если {xn (t)} — неубывающая последовательность интегриуемых по Лебегу функций, причем интегралы от xn (t) равноRbмерно ограничены, a xn (t) dt ≤ C, то xn (t) почти всюду сходитсяк интегрируемой по Лебегу функции x(t) иZ bZ blimxn (t) dt =x(t) dt.n→∞aaСледствие 4.2.1 Пусть {xn (t)} ∈ L1 [a, b] — такая невозрастающая последовательность, что найдется K такой, что для138Rbвсех n, a xn (t) dt ≥ K, тогда существует функция x(t) ∈ L1 [a, b] :RbRbп.в.xn (t) −→ x(t) при n → ∞ и a x(t) dt = limn→∞ a xn (t) dt.Теорема 4.2.5 (теорема Лебега об ограниченной сходимости) Пусть xn (t) — последовательность интегрируемых по Леп.в.бегу функций и |xn (t)| ≤ y(t), где y(t) ∈ L1 [a, b].

Если xn (t) −→ x(t)RbRbпри n → ∞, то x(t) ∈ L1 [a, b] и a x(t) dt = limn→∞ a xn (t) dt.Следствие 4.2.2 (Теорема Фату) Пусть xn (t) — последовательность интегриуемых по Лебегу, неотрицательных на [a, b]Rbфункций c равномерно ограниченными интегралами, a xn (t) dt ≤Rbп.в.C. Если xn −→ x(t) при n → ∞, то x(t) ∈ L1 [a, b] и a x(t) dt ≤ C.4.2.3Кратный интеграл ЛебегаЕсли при построении пространства и интеграла Лебега начать неe1 [a, b], а с пространтсва непрерывных функцийс пространства Le1 (P ), где P = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] — прямоугольный параллеLлепипед в Rn , а норма задается формулойZ ZZ||x(t1 , .

. . , tn )|| =· · · |x(t1 , . . . , tn )| dt1 · · · dtn ,Pто мы получим пространство интегрируемых по Лебегу функцийe1 (P ) продолнескольких переменных L1 (P ), а интеграл Римана на Lжится до интеграла Лебега на L1 (P ). Все доказанные выше теоремыдля случая интеграла Лебега на [a, b] либо дословно переносятся, либо легко обощаются на случай кратного интеграла Лебега. Но сле-139дующая важная теорема описывает новую, часто встречающуюся вприложениях, ситуацию.Теорема 4.2.6 (Фубини) Если x(t, s) ∈ L1 ([a1 , b1 ] × [a2 , b2 ]),Rbто при почти всех t ∈ [a1 , b1 ] существует интеграл a22 x(t, s) dsRbи соответствие t 7→ a22 x(t, s) ds определяет интегрируемую на[a1 , b1 ] функцию, причемZ b1 Z b2Z Zx(t, s) ds dt =a1a2x(t, s) dt ds.[a1 ,b1 ]×[a2 ,b2 ]Аналогичная теорема справедлива и для интегрируемых функций большего числа переменных, их можно интегрировать последовательно по каждой переменной или по отдельным группам переменных или по всем переменным, как и в классическом анализе.1404.3Лекция 274.3.1Сопряженный оператор.

Случай евклидовыхпространствПерейдем к рассмотрению операторных уравнений в евклидовыхпространствах. Поскольку в конечномерных пространствах линейные операторы задаются матрицами, то все основные вопросы поведения таких операторов решены в рамках стандартного курса линейной алгебры.

Поэтому в данном разделе мы в первую очередьпреследуем цель изучить операторные уравнения в пространствахГильберта.Пусть A : H1 → H2 – ограниченный оператор в евклидовыхпространствах Hi .Задача 4.3.1 По заданному элементу y ∈ H2 найти такой элемент x ∈ H1 , что(4.3.1)Ax = y.Наличие в этих пространствах скалярного произведения и ортогональных базисов позволит нам более конструктивно описать условия разрешимости уравнений и построить их точные и приближенные решения.Мы начнем с описания образа линейных операторов в полныхевклидовых пространствах.

Как и в случае пространств Банаха нампонадобится сопряженный оператор, но адаптированный к новой ситуации.141Согласно теореме об общем виде линейного непрерывного функционала, отображения τi : Hi → Hi∗ , сопоставляющие каждомуy ∈ Hi линейный функционал (τi y)(x) = (x, y) есть изоморфизмы(или сопряженные изоморфизмы, если Hi комплексно) на Hi∗ . Тогдаотображение Ã∗ = τ1−1 A∗ τ2 : H2 → H1 есть линейный ограниченныйоператор, удовлетворяющий соотношению:(x, Ã∗ y)1 = τ1 (Ã∗ y)(x) = (A∗ τ2 y)(x) = (τ2 y)(Ax) = (Ax, y)2для всех x ∈ H1 , y ∈ H2 .

Поскольку τi изометрии, тоkÃ∗ k = kA∗ k = kAk.Учитывая вышеизложенное, в гильбертовых пространствах Hiболее естественно называть сопряженным к оператору A : H1 →H2 оператор Ã∗ : H2 → H1 . Чтобы не усложнять обозначений, мыбудем обозначать оператор Ã∗ через A∗ . Другими словами, мы будемназывать оператор A∗ : H2 → H1 сопряженным к оператору A :H1 → H2 в евклидовых пространствах Hi , если(Ax, y)2 = (x, A∗ y)1 для всех x ∈ H1 , y ∈ H2 .Предложение 4.3.1 Если A, B ∈ L(H1 , H2 ) в евклидовых пространствах Hi , то (aA + bB)∗ = aA∗ + bB ∗ , (AB)∗ = B ∗ A∗ ,(A∗ )∗ = A, I ∗ = I.Лемма 4.3.1 (об аннуляторе ядра) Пусть A – ограниченныйлинейный оператор, отображающий евклидово пространство H1 вевклидово пространство H2 . Тогда R(A) = (ker A∗ )⊥ , где(ker A)⊥ = {y ∈ H2 : (z, y)2 = 0 для всех z ∈ ker A∗ }.142Из предложения 4.3.1 и леммы 4.3.1 следует, что справедливыследующие ортогональные разложения:(4.3.2)H1 = ker A ⊕ R(A∗ ),H2 = ker A∗ ⊕ R(A).Итак, для разрешимости задачи 4.3.1 необходимо, чтобы элементбыл ортогонален ker A∗ .

Характеристики

Список файлов лекций