1625915895-3a744cb5c06ad75d9b8c6809466dfe6e (844024), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Неоднородное уравнение (4.7.1) разрешимопри тех и только тех y ∈ H, которые ортогональны каждомурешению сопряженного однородного уравнения (4.7.4).II. Либо уравнение (4.7.1) имеет при любом y ∈ H одно и только одно решение, либо однородное уравнение (4.7.2) имеет ненулевое решение.III. Однородные уравнения (4.7.2) и (4.7.4) имеют одно и тоже, и притом конечное, число линейно независимых решений.158Схема доказательства теорем Фредгольма.Лемма 4.7.1 Сопряженный к компактному оператору компактен.Лемма 4.7.2 Существует такой номер j, что H k+1 = H k длявсех k ≥ j.Лемма 4.7.3 Если ker(I − B) = 0, то R(I − B) = H.Лемма 4.7.4 Если R (I − B) = H, то ker(I − B) = 0.1594.84.8.1Лекция 32Замечания к теоремам ФредгольмаЗамечание 4.8.1 В теоремах Фредгольма по существу идет обусловиях обратимости оператора (I − B) и эти теоремы означают,что λ = 1 – или регулярная точка для A, или собственное значениеконечной кратности.
Так как (B − λI) = λ( λ1 B − I), если λ 6= 0 товсе, что утверждается в этих теоремах справедливо и для операторов (B − λI), при λ 6= 0. Поэтому всякая отличная от нуля точкаспектра компактного оператора является его собственным значением конечной кратности (ср. с теоремой 3.7.3). Кроме того, мы знаем,что множество таких собственных значений не более чем счетно. Таким образом, нуль всегда принадлежит спектру компактного оператора в бесконечномерном пространстве, но не обязан, вообще говоря,быть собственным значением.Замечание 4.8.2 Мы доказали теоремы Фредгольма для уравнений вида (I − B)x = y, где B – компактный оператор в гильбертовом пространстве H. Эти теоремы могут быть перенесены без существенных изменений и на случай произвольного банахова пространства X.
При этом, разумеется, сопряженное уравнение (I − B)∗ z = ζбудет уравнением в пространстве X ∗ , условие "ортогональности"нужно понимать как обращение в нуль на элементе y ∈ X каждогофункционала из подпространства ker(I − B)∗ ⊂ X∗ .1604.8.2Следствия из теорем ФредгольмаПусть оператор B компактнен.
Тогда операторы C = B + B ∗ − B ∗ B,C̃ = B + B ∗ − BB ∗ компактны и самосопряжены, а операторы (I −B)∗ (I − B) = I − C, (I − B)(I − B)∗ = I − C̃ являются операторамиФредгольма второго рода. Пусть {bk }, {b̃k } – ортонормированныебазисы в H, состоящие из собственных векторов операторов C и C ∗соответственно, а {λk } и {λ̃k } – соответствующие им собственныезначения.Следствие 4.8.1 Неоднородное уравнение (4.7.1) разрешимопри тех и только тех y ∈ H, которые ортогональны каждому собственному вектору оператора C̃, соответствующему собственному значению λ̃ = 1.
Либо уравнение (4.7.1) имеет при любом y ∈ Hодно и только одно решение, либо λ̃ = 1 является собственнымзначением.Более того, теоремы Фредгольма означают, что оператор(I − B)|(ker(I−B))⊥ : (ker(I − B))⊥ → (ker(I − B)∗ )⊥непрерывно обратим. Укажем способы построения соответствующего обратного оператора.Следствие 4.8.2 Ряд(4.8.1)x0 =∞Xck b kk=1сходится и является решением уравнения (4.7.1), если (y, b̃k ) =0 для всех b̃k , соответствующих собственному значению λ̃ = 1161оператора C̃, гдеck =(y,(I−B)bk ),1−λk 0,λk 6= 1;λk = 1.В силу того, что собственные вектора оператора C, соответствующие собственному значению λ = 1, суть базис ядра оператора(I − B), то из следствия 4.8.2 немедленно вытекает общий вид решения операторного уравнения (4.7.1):(4.8.2)x=∞Xck b k ,k=1гдеck =(y,(I−B)bk ),1−λkλk 6= 1; произвольны, λ = 1.kТаким образом, для полного исследования операторного уравнения (4.7.1) достаточно знать все собственные векторы оператораC̃, соответствующие собственному значению λ̃ = 1, и все собственные векторы оператора C, соответствующие собственным значениям λ 6= 1.
Однако последних бесконечно много, а значит, задачаоб их нахождении может стать необозримой. К счастью, задача онахождении решений уравнения Фредгольма второго рода являетсянормально разрешимой (см. первую теорему Фредгольма), а значит,частичные суммыx(N )=NXck b kk=1ряда x0 всегда сходятся к x0 и могут рассматриваться как приближенные решения операторного уравнения.162Тем не менее, мы укажем еще один способ построения (точныхи приближенных) решений, не требующий решения задачи на собственные значения для оператора C. Он основан на применении итераций самосопряженных операторов.Следствие 4.8.3 Ряд(4.8.3)∞X(kI − Ck − I + C)k (I − B)∗ yx̃0 =kI − Ckk+1k=0сходится и является решением уравнения (4.7.1), если (y, z) = 0для всех b̃k , соответствующих собственному значению λ̃ = 1 оператора C̃.Снова вспоминаем, что задача о нахождении решений уравнения Фредгольма второго рода является нормально разрешимой, азначит, частичные суммыx̃(N )NX(kI − Ck − I + C)k (I − B)∗ y=kI − Ckk+1k=0ряда x̃0 всегда сходятся к x0 и могут рассматриваться как приближенные решения операторного уравнения.Кроме того, из следствия 4.8.2 и формулы (4.8.2) немедленновытекает еще одна запись для общего вида решений операторногоуравнения (4.7.1):(4.8.4)x=Xλj =1∞X(kI − Ck − I + C)k (I − B)∗ ycj bj +,kI − Ckk+1k=0где коэффициенты cj произвольны (в этом равенстве первая суммаконечна в силу компактности оператора C!).1634.94.9.1Лекция 33Линейные интегральные уравнения второго родаВ этом параграфе мы рассмотрим в качестве примера применениятеории, разработанной выше, к интегральным уравнениям "второгорода":Zb(4.9.1)x(s) −K(s, t)x(t)dt = y(s),(s ∈ [a, b])aгде y(s) – заданная функция на отрезке [a, b], K(s, t) заданная функция на квадрате [a, b]×[a, b], а x(s) – неизвестная функция.
ФункцияK(s, t) называется ядром уравнения (4.9.1), а функция y(s) называется его правой частью.Для того чтобы применить теоремы Фредгольма к исследованиюуравнения (4.9.1), нам необходимо подходящим образом выбратьполное евклидово пространство, в котором действует соответствующий уравнению оператор.1644.9.2Операторы Гильберта-Шмидта в L2 [a, b]Мы положим H = L2 [a, b]; относительно ядра и правой части уравнения (4.9.1) мы будем предполагать, что они измеримы и принадлежат L2 ([a, b] × [a, b]) и L2 [a, b] соответственно:Zb Zb(4.9.2)a|K(s, t)|2 dt ds < ∞,aZb|y(t)|2 dt < ∞.aЯдра класса L2 называются ядрами Гильберта-Шмидта.Сопоставим уравнению (4.9.1) оператор в пространстве H =L2 [a, b]:Zb(4.9.3)K(s, t)x(t) dt (s ∈ [a, b]).(Ax)(s) =aОператоры с ядрами класса L2 называются операторами ГильбертаШмидта.Теорема 4.9.1 Если ядро K(s, t) удовлетворяет условию(4.9.2), то равенство (4.9.3) определяет в пространстве L2 [a, b]компактный линейный оператор A, норма которого удовлетворяет неравенству(4.9.4)kAk2 ≤Zb Zbaa|K(s, t)|2 dt ds.165Ясно, что всякое ядро Гильберта-Шмидта однозначно определяет некоторый оператор Гильберта-Шмидта.
Верно и обратное, т.е.если A1 и A2 – два оператора Гильберта-Шмидта, и A1 u = A2 u длявсех u ∈ L2 [a, b], то их ядра K1 (s, t) и K2 (s, t) совпадают почтивсюду на [a, b] × [a, b]. В самом деле, еслиZbA1 u − A2 u =(K1 (s, t) − K2 (s, t))u(t) dt = 0aдля всех u ∈ L2 [a, b], то почти для всех s ∈ [a, b]Zb|K1 (s, t) − K2 (s, t))|2 dt = 0.aЗначит,Zb Zba|K1 (s, t) − K2 (s, t))|2 dtds = 0.aТаким образом, если мы не будем различать эквивалентные между собой суммируемые функции, то можно сказать, что соответствие между ядрами Гильберта-Шмидта и операторами ГильбертаШмидта взаимно однозначно.166Теорема 4.9.2 Пусть A – оператор Гильберта-Шмидта, определяемый ядром K(s, t).
Тогда сопряженный ему оператор A∗ определяет сопряженным ядром K(t, s).Таким образом, данная теорема позволяет легко применять теорему об итерациях для построения решений операторных уравненийкак первого так и второго рода для операторов Гильберта-Шмидтав пространстве L2 [a, b] (см. следствия 4.6.5 и 4.8.3).Замечание 4.9.1 В частности, оператор Гильберта-Шмидта самосопряжен в L2 [a, b] тогда и только тогда, когда K(s, t) = K(t, s).1674.104.10.1Лекция 34Уравнения с вырожденными ядрамиВ качестве одного из примеров рассмотрим уравнения с вырожденными ядрами, т.е.
ядрами видаK(s, t) =nXPi (s)Qi (t),i=1где Pi , Qi – функции из L2 [a, b]. Оператор c таким ядром переводитвсякую функцию u ∈ L2 [a, b] в суммуv(s) =nXZbQi (t)u(t) dt,Pi (s)i=1aт.е. в элемент конечномерного пространства, порожденного системой {Pi }. Следовательно, этот оператор компактен.Систему функции P1 , . . . , Pn можно считать линейно независимой. Действительно, если это не так, то, представив каждую изфункций Pi как линейную комбинацию линейно независимых P̃i(1 ≤ i ≤ k < n), мы получим, что то же самое ядро K(s, t) можнозаписать в видеK(s, t) =kXP̃i (s)Q̃i (t).i=1Аналогичную редукцию можно провести и для функций Qi , т.е.
систему функции Q1 , . . . , Qn также можно считать линейно независимой.Итак, будем решать уравнение Фредгольма второго рода (4.9.1)с вырожденным ядром K(s, t), в котором системы {Pi } и {Qi } линейно независимы. Подставив в уравнение (4.9.1) выражение для168ядра K(s, t) мы получим:x(s) =nXZbPi (s)i=1Введя обозначение qi =Qi (t)x(t) dt + y(s).aRbaQi (t)x(t) dt, перепишем последнее урав-нение в виде(4.10.5)x(s) =nXPi (s)qi + y(s).i=1Найдем теперь неизвестные постоянные qi .
Для этого подставимпоследнее выражение в уравнение (4.9.1), и получимnXPi (s)qi + y(s) =i=1nXZbПоложивQi (t)Pi (s)i=1nX!Pj (t)qj + y(t)dt + y(s).j=1aZbZbQi (t)Pj (t)dt = aij ,aQi (t)y(t) = bi ,aмы получимnXPi (s)qi =i=1nXi=1Pi (s)nX!aij qj + bi .j=1Система {Pi }, по предположению, линейно независима, поэтомуотсюда следует равенство коэффициентов:(4.10.6)qi =nXaij qj + bi (i = 1, . . . , n).j=1Функция (4.10.5) с коэффициентами qi , удовлетворяющими этойсистеме линейных уравнений, является решением интегральногоуравнения (4.9.1), поскольку все выкладки с помощью которых мы4.10. Лекция 34169пришли от интегрального уравнения к системе (4.10.6) можно проделать в обратном порядке.Итак, решение интегрального уравнения с вырожденным ядромсводится к решению соответствующей ему системы линейных алгебраических уравнений (4.10.6).
Для систем линейных алгебраическихуравнений хорошо известны условия существования и единственности решений.4.10.2Уравнения ВольтерраЕще одним важным примером являются уравнения Вольтерра второго рода:ZsK̃(s, t)x(t) dt + y(s),x(s) =aгде K̃(s, t) – ограниченная измеримая функция. Это уравнение можно рассматривать как частный случай уравнения Фредгольма (4.9.1)с ядром K̃(s, t), s ≤ t;K(s, t) = 0,s > t,поэтому к нему применимы и теоремы Фредгольма. Однако дляуравнения Вольтерра эти теоремы могут быть уточнены следующимобразом: уравнение Вольтерра имеет одно и только одно решениепри любой функции y ∈ L2 [a, b].Действительно, дословно повторяя рассуждения из примера ??,170мы видим, что некоторая степень оператораZsAx =K̃(s, t)x(t) dtaявляется сжатием и, следовательно, однородное операторное уравнение (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
