1625915895-3a744cb5c06ad75d9b8c6809466dfe6e (844024), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

В нормированных пространствахопределить угол между векторами, вообще говоря, нельзя. Для того,чтобы это сделать нам придется еще сузить класс рассматриваемыхпространств.Определение 2.1.12 Скалярным произведением на линейномпространстве L над полем R называется действительнозначнаяфункция (x, y), удовлетворяющая следующим условиям:1) (x, y) = (y, x) для всех x, y ∈ L;2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) для всех x, y, z ∈ L;3) (λx, y) = λ(x, y) для всех x, y ∈ L и всех λ ∈ R;4) (x, x) ≥ 0, причем (x, x) = 0 только при x = 0. Линейноепространство L со скалярным произведение (x, y) называется евклидовым пространством.Предложение 2.1.2 Всякое евклидово пространство являетpся нормированным с нормой kxk = (x, x).Лемма 2.1.1 (Неравенство Коши-Буняковского. ) Длялюбых x, y в евклидовом пространстве L мы имеем(2.1.1)|(x, y)| ≤ kxkkyk.432.1.5Пополнение евклидова пространства∗Следствие 2.1.2 Каждое евклидово пространство L имеетпополнение, которое также является евклидовым пространством.442.22.2.1Лекция 9Ортогональные системы.

Теорема об ортогонализацииНаличие скалярного произведения позволяет ввести в евклидовомпространстве L не только длину вектора (т.е. норму), но и угол между векторами.Определение 2.2.1 Число 0 ≤ φ ≤ π,φ = arccos(x, y),kxkkyk0 ≤ φ ≤ π,называется углом между векторами x, y ∈ L.В частности, если (x, y) = 0, то φ = π/2.Определение 2.2.2 Вектора x и y называются ортогональными, если (x, y) = 0.

Система ненулевых векторов {xβ } из L называется ортогональной если (xβ , xγ ) = 0 при β 6= γ. Ортогональнаясистема называется ортонормированной, если kxβ k = 1.Очевидно, если {xβ } – ортогональная система векторов, то сиxстема { kxββ k } – ортонормирована.Предложение 2.2.1 Если система векторов {xβ } из L ортогональна, то она линейно независима.Определение 2.2.3 Система векторов {xβ } ⊂ L называетсяполной, если L({xβ }) = L.45Определение 2.2.4 Система векторов {xβ } ⊂ L называется ортогональным базисом, если она ортогональна и полна.Пример 2.2.1 Пространство Rn2 со скалярным произведением(x, y) =nXx j yjj=1является евклидовым.

Один из ортонормированных базисов в немобразуют вектора ej , 1 ≤ j ≤ n (см. пример 2.1.7).Пример 2.2.2 Пространство l2 со скалярным произведением(x, y) =∞Xx j yjj=1является евклидовым. Один из ортонормированных базисов в немобразуют вектора ej , j ∈ N (см. пример 2.1.8). Ортонормированность этой системы очевидна. Вместе с тем она и полна: пусть x =(x1 , . . . , xn , . . . ) ∈ l2 и x(k) = (x1 , . . . , xk , 0, 0 . . . ) ∈ l2 . Тогда x(k) естьлинейная комбинация векторов e1 , . . .

, ek и ρ(x(k) , x) = kx(k) −xk → 0при k → ∞.Пример 2.2.3 Пространство C2 [a, b] со скалярным произведениемZb(x, y) =x(t)y(t) dtaявляется евклидовым. Как известно из курса математического анализа, один из ортонормированных базисов в нем образуют вектора1,2π12πntcos,2πb−a12πntsin,2πb−an ∈ N.46Поскольку метод координат был очень плодотворен для изучения конечномерных пространств, важно ответить на вопрос о существовании ортогонального базиса в евклидовом пространстве. Мыограничимся рассмотрением достаточно широкого класса сепарабельных евклидовых пространств.Предложение 2.2.2 Пусть L – сепарабельное евклидово пространство.

Тогда всякая ортогональная система в нем не болеечем счетна.47Теорема 2.2.1 (Теоремаобортогонализации)Пусть{fn }n∈N – линейно независимая система элементов в сепарабельном евклидовом пространстве L. Тогда в L существует системаэлементов {φn }n∈N , удовлетворяющая следующим условиям:1) ортонормированность;2) каждый элемент φn есть конечная линейная комбинацияэлементов f1 , . . .

, fn :φn =nXanj fj ,(ann 6= 0);j=13) каждый элемент fn есть конечная линейная комбинацияэлементов φ1 , . . . , φn :fn =nXbnj φj ,(bnn 6= 0).j=1Каждый элемент системы {φn }n∈N определяется условиями 1)– 3) однозначно с точностью до множителя ±1.Переход от системы f1 , .

. . , fn , . . . к системе φ1 , . . . , φn , . . . называется процессом ортогонализации Грама-Шмидта.Следствие 2.2.1 В любом сепарабельном евклидовом пространстве L существует ортонормированный базис.2.2.2Коэффициенты Фурье. Неравенство БесселяКак известно из курса линейной алгебры, зафиксировав в Rn ортонормированный базис {ej }nj=1 , можно любой вектор x ∈ Rn записать48в видеx=nXcj ejj=1где cj = (x, ej ).Выясним, можно ли получить аналогичное разложение в бесконечномерном евклидовом пространстве.Пусть φ1 , . .

. , φn , . . . – ортонормированная система в евклидовомпространстве L. Сопоставим элементу x ∈ L последовательностьчисел(2.2.1)ck (x) = (x, φk ),k ∈ N,и ряд (пока формальный)(2.2.2)Φ(x) =∞Xck (x) φk .k=1Определение 2.2.5 Числа ck будем называть координатами,или коэффициентами Фурье элемента x по системе {φn }. Ряд Φ(x)назовем рядом Фурье элемента x по системе {φn }.Предложение 2.2.3 (Неравенство Бесселя) Для всех x ∈ Lмы имеем:(2.2.3)∞X|ck (x)|2 ≤ kxk2 .k=1Из неравенства Бесселя следует, что сходится рядP∞2k=1 ck (x),азначит, и ряд Фурье Φ(x) сходится в пространстве L, по крайнеймере, если пространство является полным (см. доказательство теоремы Рисса-Фишера ниже).

Естественно возникает вопрос: к какомуэлементу пространства L сходится этот ряд?49Определение 2.2.6 Система {φn } называется замкнутой, еслидля любого x ∈ L выполнено равенство Парсеваля:∞Xc2k (x) = kxk2 .k=1Предложение 2.2.4 Система {φn } замкнута в том и толькотом случае, когда ряд Фурье Φ(x) сходится к x для всякого x ∈ L.Теорема 2.2.2 В сепарабельном евклидовом пространстве ортогональная система является замкнутой в том и только томслучае, когда она полна.Итак, мы построили разложение вектора по базису в виде сходящегося ряда, т.е. с привлечением анализа.

Уместно отметить, чток данному вопросу можно также подойти алгебраически, т.е. искатьтакую систему векторов {bα }α∈A в L, чтобы для каждого вектораx ∈ L существовал номер N = N (x), набор элементов {bαj }Nj=1 иконстант {cj }Nj=1 , для которых выполнено соотношениеx=NXcj bαj .j=1Такие системы называются базисами Гамеля. Поскольку суммы вразложении конечны, то не нужно заботиться о сходимости, однакомощность индексного множества может быть слишком велика дляконструктивной работы с такими базисами.502.32.3.1Лекция 10Теорема Рисса-ФишераОтветим теперь на вопрос: какие числа могут быть коэффициентамиФурье. Из неравенства Бесселя следует, что для этого необходимаP2сходимость ряда ∞j=1 cj (x).

Оказывается, что в полном пространстве это условие является и достаточным.Теорема 2.3.1 (Теорема Рисса-Фишера) Пусть {φn } – произвольная ортонормированная система в полном евклидовом проP2странстве L, и пусть числа c1 , . . . , cn , . . . таковы, что ряд ∞j=1 cjсходится. Тогда существует такой элемент x ∈ L, что ck =P22ck (x) = (x, φk ) и ∞j=1 cj = (x, x) = kxk .Теорема 2.3.2 Для того чтобы ортонормированная системавекторов {φn } в полном сепарабельном евклидовом пространстве Lбыла полна необходимо и достаточно, чтобы в L не существовало ненулевого элемента, ортогонального всем элементам системы {φn }.2.3.2Теорема об изоморфизмеМы уже знаем характеристические свойства полных метрическихпространств.

В данном разделе мы опишем все сепарабельные полные евклидовы пространства.Определение 2.3.1 Полное евклидово пространство бесконечного числа измерений называется гильбертовым.51Определение 2.3.2 Два евклидовых пространства L1 и L2 надполем R называются изоморфными (L1 ∼= L2 ), если между ихэлементами можно установить взаимно однозначное соответствиеφ : L1 → L2 согласованное со скалярным произведением и операциями сложения векторов и умножения на скаляр в этих пространствах.Это означает, что (x, y)L1 = (φ(x), φ(y))L2 , φ(x + y) = φ(x) + φ(y),φ(αx) = αφ(x) для всех x, y ∈ L1 и всех α ∈ R.Как известно из курса линейной алгебры, любые два n-мерныхевклидовых пространства изоморфны между собой и, следовательно, каждое такое пространство изоморфно пространству Rn2 .

Евклидовы пространства бесконечного числа измерений не обязательноизоморфны между собой. Например, l2 не изоморфно пространствуC2 [a, b], поскольку первое из них полно, а второе – нет.Теорема 2.3.3 Любые два бесконечномерных сепарабельныхгильбертовых пространства изоморфны между собой.2.3.3Подпространства, ортогональные дополненияВ этом параграфе мы изучим некоторые свойства подпространствевклидовых пространств.Предложение 2.3.1 Подпространство сепарабельного гильбертова пространства есть либо конечномерное евклидово пространство, либо само является сепарабельным гильбертовым пространством.52Теорема 2.3.4 В каждом подпространстве M сепарабельногогильбертова пространства L содержится ортонормированная система, замыкание линейной оболочки которой совпадает с M .Определение 2.3.3 Пусть M – подпространство полного евклидова пространства L.

Характеристики

Список файлов лекций