1625915895-3a744cb5c06ad75d9b8c6809466dfe6e (844024), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

. . j − 1} и по известной формуле изтеории множеств∞\j=1Bj =∞\(N \ {1, . . . , j − 1}) = N \ (j=1∞[{1, . . . , j − 1}) = ∅.j=1Определение 1.5.1 Пусть X = (X, ρ) – метрическое пространство, a M ⊂ X. Пара (M, ρ) называется подпространством пространства X.Например, M0 является замкнутым подпространством пространства M.Следствие 1.5.2 Пусть X = (X, ρ) – полное метрическое пространство, a M ⊂ X.

Подпространство (M, ρ) полно в том итолько том случае, когда множество M замкнуто в X.Пример 1.5.2 Заменить в теореме 1.5.1 замкнутые шары на открытые нельзя. В самом деле, пусть X = [−1, 1], ρ(x, y) = |x − y|.Это замкнутый шар B(0, 1) в R, а значит, полное метрическое пространство. В нем открытые вложенные друг в друга шары B(−1 +1/n, 1/n) имеют пустое пересечение.1.5.2Плотные подмножества. Теорема БэраПриведем еще одно (необходимое) условие полноты метрическогопространства, проливающее свет на его структуру. Для этого дадимсначала несколько определений.22Интуитивно понятно, что работать со счетными множествамигораздо проще, чем со множествами произвольной мощности.

Выделим среди метрических пространств такие, для которых все ещеесть надежда получить достаточно много информации, работая сосчетными множествами.Определение 1.5.2 Пусть M1 и M2 – два множества в метрическом пространстве X. Множество M1 называется плотным в M2 ,если M2 ⊂ M 1 .Определение 1.5.3 Множество M называется всюду плотнымв X, если X = M . Множество M называется нигде не плотным в X,если оно не плотно ни в одном шаре, т.е. если в каждом шаре B ⊂ Xсодержится шар B 0 , не содержащий ни одного элемента из M .Определение 1.5.4 Метрическое пространство назовем сепарабельным, если в нем имеется счетное всюду плотное множество.Пример 1.5.3 Пространство R сепарабельно, так как множество рациональных чисел Q всюду плотно в нем.Пример 1.5.4 Пространство Rnp (n ≥ 1, 1 ≤ p ≤ ∞) сепарабельно, так как множество векторов Qn с рациональными компонентамивсюду плотно в нем.Пример 1.5.5 Пространство lp (1 ≤ p < ∞) сепарабельно, таккак в нем плотно множество последовательностей, в каждой из которых все члены рациональны и лишь конечное число (свое длякаждой последовательности) этих членов отлично от нуля.23Пример 1.5.6 Пространство всевозможных ограниченных последовательностей M из примера 1.1.8 несепарабельно.

В самомделе, рассмотрим всевозможные последовательности, состоящие изнулей и единиц. Они образуют множество мощности континуум, поскольку между ними и действительными числами (в двоичной записи) можно установить взаимно однозначное соответствие. Расстояние между двумя такими точками равно единице. Рассмотрим множество открытых шаров радиуса r = 1/2 с центрами в точках M.Эти шары, очевидно, не пересекаются. Если некоторое множествовсюду плотно в M, то каждый из построенных шаров должен содержать хотя бы по одной точке этого множества. Значит, оно неможет быть счетным.Теорема 1.5.2 (Теорема Бэра) Полное метрическое пространство не может быть представлено в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств.241.61.6.1Лекция 6Полнота и разрешимость уравненийС точки зрения решения уравнения (1.2.1) свойство полноты является одним из ключевых.

В самом деле, рассмотрим метрическиепространства Q и R с обычными метриками, и непрерывные отображения:f : Q → Q,f (x) = x2 ,F : R → R,F (y) = y 2 .Как выяснили еще пифагорейцы в IV веке до н.э., уравнениеf (x) = 2не имеет решения – слишком мал запас элементов в Q. В то жевремя уравнениеF (x) = yимеет решение для всех y ≥ 0. Такое резкое различие обусловлено, вчастности, тем, что пространство R – полное, а Q – нет.

Заметим, чтодля построения пространства действительных чисел (фактически,как естественного расширения пространства чисел рациональных)человечеству понадобилось более двух тысяч лет.Конечно, для существования решения уравнения (1.2.1) для всехправых частей одной полноты мало, нужны дополнительные свойства тройки (X, Y, f ), см.

ниже.251.6.2Пополнение пространстваОпределение 1.6.1 Пусть X = (X, ρ) – метрическое пространство. Полное метрическое пространство X̃ = (X̃, ρ̃) называется пополнением пространства X, если1) X является подпространством пространства X̃;2) X̃ всюду плотно в X̃.Теорема 1.6.1 Каждое метрическое пространство X имеетпополнение, и это пополнение единственно с точностью до изометрии, оставляющей неподвижными точки пространства X.Пример 1.6.1 Пополнение Q суть R (известно из курса математического анализа).Пример 1.6.2 Как известно из курса математического анализа,пополнение пространства Cp [a, b] (1 ≤ p < ∞) совпадает с пространством Lp [a, b] измеримых функций, таких, что их модули в степени pинтегрируемы по Лебегу на отрезке [a, b].К сожалению, конструкция пополнения приводит к существенному расширению пространства и, во многих случаях, к потере конструктивности описания элементов пополнения.26Схема доказательства теоремы о пополненииСначала докажем единственность.Докажем теперь существование пополнения.

Идея этого доказательства та же, что и в канторовской теории действительных чисел.Пусть X – произвольное метрическое пространство. Назовем двефундаментальные последовательности {xn } и {yn } из X эквивалентными еслиlim ρ(xn , yn ) = 0.n→∞Пусть X̃ – множество всевозможных классов эквивалентныхмежду собой фундаментальных последовательностей.

Расстояние ρ̃на этом множестве зададим следующим образом. Пусть x̃ и ỹ –два таких класса. Выберем в каждом из этих классов по одномупредставителю, т.е. по некоторой фундаментальной последовательности {xn } и {yn }. Положим(1.6.1)ρ̃(x̃, ỹ) = lim ρ(xn , yn ).n→∞Лемма 1.6.1 Предел (1.6.1) всегда существует и не зависитот выбора представителей {xn } и {yn }.27Типичные неполные пространства и их пополненияПространствоПополнение(Q, |x − y|)(R, |x − y|)((a, b), |x − y|)([a, b], |x − y|)(R, |ex − ey |)([0, +∞), |x − y|)Cp [a, b]Lp [a, b]Cps [a, b]Wps [a, b]281.71.7.1Лекция 7Принцип сжимающих отображенийПокажем, как можно использовать изученную нами теорию для решения одного важного, хотя и узкого, класса уравнений.Определение 1.7.1 Пусть X – метрическое пространство.

Отображение A : X → X называется сжимающим (или сжатием), еслисуществует такое число 0 ≤ α < 1, что для всех x, y ∈ X выполняется неравенствоρ(Ax, Ay) ≤ α ρ(x, y).Очевидно, всякое сжимающее отображение является непрерывным.Определение 1.7.2 Точка x ∈ X называется неподвижнойточкой отображения A : X → X, если Ax = x.Иными словами, неподвижные точки отображения A – это решения уравнения Ax − x = 0.Теорема 1.7.1 (Принцип сжимающих отображений) Всякое сжимающее отображение A : X → X в полном метрическомпространстве X имеет одну и только одну неподвижную точку.Доказательство. Пусть x0 – произвольная точка в X.

Положимx1 = Ax0 , x2 = Ax1 и т.д.: xn = Axn−1 = An x0 . Эта последовательность сходится к неподвижной точке отображения A.29Заметим, что последовательность {xn } представляет собой последовательность приближенных решений уравнения Ax = x, адоказательство дает эффективный способ оценки точности этихприближенных решений, поскольку переходя в ней к пределу приm → ∞ мы получаем(1.7.1)ρ(xn , x) ≤αn ρ(x0 , x1 ).1−αСледствие 1.7.1 Пусть A : X → X – такое непрерывное отображение в полном метрическом пространстве X, что некотораяего степень B = An является сжатием.

Тогда отображение Aимеет одну и только одну неподвижную точку.1.7.2Применение принципа сжимающих отображений кобыкновенным дифференциальным уравнениям∗Пример 1.7.1 В курсе обыкновенных дифференциальных выуже встречались с применением принципа сжимающих отображений для изучения задачи Коши. Коротко напомним об этом.Пусть G ⊂ R2 – некоторая область (открытое связное множество), а точка (x0 , y0 ) принадлежит G. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y в области G:|f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ M |y1 − y2 |с некоторой постоянной M > 0.Докажем, что на некотором отрезке [x0 − d, x0 + d] существует30единственное решение y = φ(x) задачи Коши dy = f (x, y);dx(1.7.2) y(x ) = y .00Легко заметить, что эта задача Коши эквивалентна следующемуинтегральному уравнению:Zx(1.7.3)φ(x) = y0 +f (t, φ(t)) dt.x0В силу непрерывности функции f найдутся некоторая постоянная K > 0 и область G0 ⊂ G, такие, что (x0 , y0 ) ∈ G0 и |f (x, y)| ≤ K.Подберем d > 0 так, чтобы1) (x, y) ∈ G0 , если (x, y) принадлежит прямоугольнику Π ={|x − x0 | ≤ d, |y − y0 | ≤ Kd};2) M d < 1.Обозначим через X пространство непрерывных функций на отрезке [x0 − d, x0 + d], и таких, что |φ(x) − y0 | ≤ Kd с метрикой ρ =maxx |φ1 (x)−φ(x)|.

Пространство X полно, так как оно является (замкнутым) подпространством полного пространства C([x0 −d, x0 +d]).ОтображениеZx(Aψ)(x) = y0 +f (t, ψ(t)) dtx0действует из X в X и является в нем сжатием.31Пример 1.7.2 Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго родаZb(1.7.4)K(x, y)f (y) dy,f (x) = φ(x) + λaгде K(x, y) и φ(x) – заданные функции, λ – произвольный параметр,а f (x) – неизвестная.

Характеристики

Список файлов лекций