1625915574-ba679e180264e0f82c994c8dd0b7c5fc (843950), страница 8
Текст из файла (страница 8)
dξ1 dξ2 ==∗E0β E0γ e2iqξ εαβγ (q, q) + E0β E0γεαβγ (q, −q) + ê.ñ., (25.2)ãäå áóêâû ¾ê.ñ.¿ îçíà÷àþò êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûå ñëàãàåìûå.  óðàâíåíèè Ìàêñâåëëà ýòà íåëèíåéíàÿ äîáàâêà áóäåò ñòîÿòü íà ìåñòå ñòîðîííåãî òîêà:~ (1)~ = 1 ∂ D + 4π ~j (2) ,rot Bc ∂tc(25.3)iω1 ∂Dα~=−εαβγ (q, q) E0β E0γ e2ik~r−2iωt − ê.ñ.4π ∂t2π(25.4)(2)jα(2) =Åñëè â äàííîé ñðåäå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü âîëíà ñ ÷àñòîòîé 2ω , âîëíîâûì âåêòîðîì 2~k è ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì, íå ïåðïåíäèêóëÿðíûì ~j (2) ,òî îíà ðàñêà÷àåòñÿ íåëèíåéíûì òîêîì (25.4). Ýòîò ýôôåêò íàçûâàåòñÿãåíåðàöèåé âòîðîé ãàðìîíèêè.
Äàæå åñëè íåëèíåéíûå ñëàãàåìûå ìàëû,àìïëèòóäà âòîðîé ãàðìîíèêè ìîæåò ñòàòü áîëüøîé çà ñ÷åò áîëüøîãîâðåìåíè ðàñêà÷êè. Åñëè æå âîëíà (2~k, 2ω) çàïðåùåíà äèñïåðñèîííûì~ ⊥ ~j (2) , òî ðåçîíàíñíîéñîîòíîøåíèåì èëè ðàçðåøåíà, íî èìååò ïîëå Eðàñêà÷êè íå áóäåò è âëèÿíèå íåëèíåéíûõ ïîïðàâîê îñòàíåòñÿ ìàëûì.Èçìåíåíèå ýíåðãèè âòîðîé ãàðìîíèêè (W2 ) çà ñ÷åò íåëèíåéíûõ ïðîöåññîâ ìîæíî íàéòè ïî àíàëîãèè ñ ðàçäåëîì 1.18 (ôîðìóëà (18.5) äëÿðàáîòû òîêà):DEdW2∗~ 2~j (2) = − iω εαβγ (q, q) E02α= EE0β E0γ + ê.ñ.,(25.5)dt2πãäå~2 = E~ 02 e2iqξ + E~ ∗ e−2iqξE02~ 02 |2 , òî èç (25.5) (ïîñëå ïîëå âòîðîé ãàðìîíèêè. Ïîñêîëüêó W2 ∝ |E∗ñîêðàùåíèÿ íà E02 ) ñëåäóåò ëèíåéíîñòü ðîñòà àìïëèòóäû âòîðîé ãàðìîíèêè ñî âðåìåíåì.52Àíàëîãè÷íî, åñëè èçíà÷àëüíî â ñðåäå áûëî äâå âîëíû (~k1 , ω1 )è (~k2 , ω2 ), òî â ðåçóëüòàòå òðåõâîëíîâîãî âçàèìîäåéñòâèÿ âîçíèêíóò âîëíû ñ êîìáèíàöèîííûìè ÷àñòîòàìè (~k1 + ~k2 , ω1 + ω2 ), (~k1 − ~k2 , ω1 − ω2 ),(2~k1 , 2ω1 ), (2~k2 , 2ω2 ), åñëè îíè ìîãóò ñóùåñòâîâàòü êàê ñâîáîäíûå âîëíû è èõ ðàñêà÷êà íå çàïðåùåíà íåóäà÷íûì íàïðàâëåíèåì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.Äëÿ îïèñàíèÿ òðåõâîëíîâûõ âçàèìîäåéñòâèé óäîáíî ââåñòè àìïëèòóäó âîëíû a(t) ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ:|a(t)|2 = N =W,~ω~ 0 (t) = a(t)E~ p,E(25.6)~ p ïîñòîÿííûéãäå N ÷èñëî êâàíòîâ âîëíû â åäèíèöå îáúåìà, à Eâåêòîð (íå åäèíè÷íûé), õàðàêòåðèçóþùèé ñïåöèôèêó äàííîé âîëíû,~ 0 |2ò.
å. åå ïîëÿðèçàöèþ è êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ìåæäó |Eè W.Ïóñòü äèñïåðñèîííûìè ñîîòíîøåíèÿìè ðàçðåøåíî òîëüêî âçàèìîäåéñòâèå(~k1 , ω1 ) + (~k2 , ω2 ) −→ (~k3 , ω3 ),~k3 = ~k1 + ~k2 ,ω3 = ω1 + ω2 .(25.7)(25.8)Ïî àíàëîãèè ñ ãåíåðàöèåé âòîðîé ãàðìîíèêè äëÿ èçìåíåíèÿ àìïëèòóäûòðåòüåé âîëíû èìååìȧ3 = V3 a1 a2 ,(25.9)ãäå òî÷êà îçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè, à âñå íå çàâèñÿùèå îò âðåìåíè êîýôôèöèåíòû îáîçíà÷åíû V3 . Ïîñëå ïîÿâëåíèÿ òðåòüåé âîëíûñòàíîâÿòñÿ âîçìîæíûìè îáðàòíûå ê (25.7) ïðîöåññû:(~k3 , ω3 ) + (−~k2 , −ω2 ) −→ (~k1 , ω1 ),(~k3 , ω3 ) + (−~k1 , −ω1 ) −→ (~k2 , ω2 ).(25.10)(25.11)Îíè ïðèâîäÿò ê èçìåíåíèþ àìïëèòóä èñõîäíûõ âîëí:ȧ1 = V1 a3 a∗2 ,ȧ2 = V2 a3 a∗1 ,(25.12)ãäå êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå àìïëèòóäû ïîÿâëÿþòñÿ êàê êîýôôèöèåíòû ïåðåä e−iqξ .Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è èìïóëüñà òðåáóþò, ÷òîáû ñîçäàíèåîäíîãî êâàíòà òðåòüåé âîëíû òðàòèëîñü ïî îäíîìó êâàíòó èñõîäíûõ(ðèñ. 1.16,à ):∆N3 = −∆N1 = −∆N2 .(25.13)53абÐèñ.
1.16: Òðåõâîëíîâîå âçàèìîäåéñòâèå êàê âçàèìîäåéñòâèå êâàíòîââîëíû: (à) âñå òðè âîëíû èìåþò ïîëîæèòåëüíóþ ýíåðãèþ, (á) âîëíà¾3¿ èìååò îòðèöàòåëüíóþ ýíåðãèþÑëåäñòâèåì ýòîãî ôàêòà ÿâëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ|a1 |2 + |a3 |2 = const,(25.14)|a2 | + |a3 | = const,(25.15)|a1 | − |a2 | = const(25.16)2222(ñîîòíîøåíèÿ Ìýíëè Ðîó) è ñâÿçü ìåæäó êîýôôèöèåíòàìè V1 , V2è V3 . ×òîáû ïîëó÷èòü ýòó ñâÿçü, ïðîäèôôåðåíöèðóåì, íàïðèìåð, ðàâåíñòâî (25.14) ïî âðåìåíè:d(a1 a∗1 + a3 a∗3 ) = ȧ1 a∗1 + ȧ3 a∗3 + ê.ñ. =dt= V1 a3 a∗2 a∗1 + V3 a1 a2 a∗3 + ê.ñ. = a1 a2 a∗3 (V3 + V1∗ ) + ê.ñ. = 0.
(25.17)Ðàâåíñòâî (25.17) âûïîëíÿåòñÿ ïðè ëþáûõ àìïëèòóäàõ âîëí. Ñëåäîâàòåëüíî, V1 = −V3∗ . Àíàëîãè÷íî, èç ñîîòíîøåíèÿ (25.15) èìååì V2 =−V3∗ . Ìû ïîëó÷èëè, ÷òî íåëèíåéíàÿ ýâîëþöèÿ âñåõ òðåõ âîëí îïèñûâàåòñÿ òîëüêî îäíèì êîìïëåêñíûì êîýôôèöèåíòîì:ȧ1 = −V ∗ a∗2 a3 ,(25.18)ȧ2 = −V ∗ a∗1 a3 ,(25.19)ȧ3 = V a1 a2 .(25.20)Óðàâíåíèÿ (25.1825.20) íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè Áëîìáåðãåíà. Îíèåäèíîîáðàçíî (ñ òî÷íîñòüþ äî êîýôôèöèåíòà V ) îïèñûâàþò ëþáûåòðåõâîëíîâûå âçàèìîäåéñòâèÿ â ýëåêòðîäèíàìèêå ñïëîøíûõ ñðåä.54Ðèñ.
1.17: Âîçìîæíûå ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû (òîëñòûå ëèíèè) ïðè ðàçëè÷íûõ íà÷àëüíûõ ñîîòíîøåíèÿõ àìïëèòóä. Âñå òðè âîëíû èìåþò ïîëîæèòåëüíóþ ýíåðãèþÊðîìå âåëè÷èí (25.1425.16) ïðè òðåõâîëíîâîì âçàèìîäåéñòâèè ñîõðàíÿåòñÿ òàêæå ñóììàðíàÿ ýíåðãèÿ âîëí:ω1 |a1 |2 + ω2 |a2 |2 + ω3 |a3 |2 = const.(25.21)Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî èç ÷åòûðåõ âûïèñàííûõ âûøå èíâàðèàíòîâ òîëüêî äâà ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè. Ýòè èíâàðèàíòû ïîìîãàþòîïðåäåëÿòü õàðàêòåð òðåõâîëíîâîãî âçàèìîäåéñòâèÿ.
Íàïðèìåð, óñëîâèå (25.21) çàäàåò â ïðîñòðàíñòâå (|a1 |, |a2 |, |a3 |) ýëëèïñîèä, à óñëîâèå(25.16) öèëèíäð (ðèñ. 1.17). Ïåðåñå÷åíèåì ýòèõ äâóõ ïîâåðõíîñòåé áóäåò íåêàÿ òðåõìåðíàÿ êðèâàÿ, êîòîðàÿ è îãðàíè÷èâàåò âîçìîæíûå ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû (ò. å. çíà÷åíèÿ |a1 |, |a2 |, |a3 |) ïðè äàííîì âçàèìîäåéñòâèè.Åñëè îäíà èç âçàèìîäåéñòâóþùèõ âîëí èìååò îòðèöàòåëüíóþ ýíåðãèþ, òî çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ÷èñëà êâàíòîâ ìåíÿþòñÿ. Íàïðèìåð, ïðèîòðèöàòåëüíîé ýíåðãèè âîëíû ¾3¿ (ðèñ.
1.16,á ) èìååì∆N1= ∆ N2 = ∆ N3 .Ñîîòâåòñòâåííî, ñîîòíîøåíèÿ (25.1425.21) ñëåãêà èçìåíÿþòñÿ.55(25.22)1.26 ÑàìîôîêóñèðîâêàÑàìîôîêóñèðîâêà ýòî ýôôåêò òðåòüåãî ïîðÿäêà ïî àìïëèòóäå ïîëÿ, îäíî èç âîçìîæíûõ ïðîÿâëåíèé ÷åòûðåõâîëíîâîãî âçàèìîäåéñòâèÿ.Çà ñàìîôîêóñèðîâêó îòâå÷àåò íåëèíåéíàÿ äîáàâêà ê ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè íà ÷àñòîòå èñõîäíîé âîëíû.  òåðìèíàõ ñëèÿíèÿ îòäåëüíûõâîëí ñàìîôîêóñèðîâêó ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê(~k, ω) + (~k, ω) + (−~k, −ω) −→ (~k, ω).(26.1)Áóäó÷è ýôôåêòîì òðåòüåãî ïîðÿäêà, ñàìîôîêóñèðîâêà âîçìîæíàâ èñòèííî èçîòðîïíûõ ñðåäàõ áåç ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèè. Ðàñ~ E)~ íå áóäåòñìîòðèì äàëåå èìåííî òàêóþ ñðåäó. Òîãäà çàâèñèìîñòü D(~ñîäåðæàòü êâàäðàòè÷íûõ ïî E ñëàãàåìûõ è ïðèìåò âèä~ = ε(ω)E~ + α(ω) E~E~∗ E~ + β(ω) E~E~ E~ ∗.D(26.2)Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî äðóãèõ íåëèíåéíûõ ÷ëåíîâ, ñîäåðæàùèõ äâà~ (âîëíû (~k, ω)) è îäèí ðàç E~ ∗ (âîëíà (−~k, −ω)), ïîñòðîèòü íåëüçÿ.æäû EÄðóãèå ÷åòûðåõâîëíîâûå âçàèìîäåéñòâèÿ (ãåíåðàöèÿ òðåòüåé ãàðìîíèêè) íàñ ïîêà íå èíòåðåñóþò, ïîòîìó ñîîòâåòñòâóþùèå èì íåëèíåéíûåñëàãàåìûå îïóùåíû.~ ∗ , âîîáùå ãîâîðÿ, íå ïàðàëëåëåí E~ .
Íàïðèìåð, ïðè êðóãîÂåêòîð E∗~~âîé ïîëÿðèçàöèè âîëíû E è E âðàùàþòñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû:11~ ∝ i ,~ ∗ ∝ −i .EE(26.3)00Ýòî óñëîæíÿåò àíàëèç ñàìîôîêóñèðîâêè. Îäíàêî â ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ~ kE~ ∗ ) è êðóãîâîé (E~E~ = 0) ïîëÿðèçàöèè âîëí âåêòîðû D~ëèíåéíîé (E~ âñåãäà ïàðàëëåëüíû è ìîæíî ñ÷èòàòüèE~ = ε(ω) + η(ω)|E|~ 2 E.~D(26.4)Äàëåå ðàññìîòðèì èìåííî òàêîé ñëó÷àé. Òàêæå áóäåì ñ÷èòàòü íåëèíåéíûå äîáàâêè ìàëûìè:~ 2 ε(ω).|η(ω)| · |E|(26.5)Íàéäåì çàêîí èçìåíåíèÿ ïî÷òè ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ëîêàëèçîâàííîãî ïàêåòà ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí:√ω ε~ =E~ 0 (~r, t) eik0 z−iωt ,Ek0 =,(26.6)c56~ 0 (~r, t) ìåäëåííî ìåíÿþùàÿñÿ ôóíêöèÿ.
Äëÿ ýòîãî èñêëþ÷èìãäå Eèç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà áûñòðîîñöèëëèðóþùèå ýêñïîíåíòû. Èç (1.2)è (1.13) èìååì2 ~ (1)2 ~ (3)~ = ∇div E~ − 4E~ =−1 ∂ D − 1 ∂ D .rot rot Ec2 ∂t2c2 ∂t2Èç óðàâíåíèÿ~ = (ε + η|E|~ 2 ) div E~ + E∇(η|~~ 2) = 0div DE|(26.7)(26.8)~ ñîäåðæèò ñðàçó äâà ìàëûõ ïàðàìåòðà (ηíàõîäèì, ÷òî äèâåðãåíöèÿ Eè ãðàäèåíò îò ìåäëåííî ìåíÿþùåéñÿ ôóíêöèè):~ =−div E~ E|~ 2η E∇|,~ 2ε + η|E|~ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.è ïîòîìó â (26.7) ñëàãàåìûì ñ div EÏî îïðåäåëåíèþ ëàïëàñèàíà 222~ = ∂ + ∂ + ∂~ =− 4EE∂x2∂y 2∂z 2"#~0~0∂2E∂E2~~= −4⊥ E0 + k0 E0 − 2ik0−eik0 z−iωt ,∂z∂z 2(26.9)(26.10)ãäå∂2∂2+ 2.(26.11)2∂x∂yÏîñëåäíèì ñëàãàåìûì â êâàäðàòíîé ñêîáêå â óðàâíåíèè (26.10) ìîæíîïðåíåáðå÷ü, òàê êàê îíî èìååò âòîðîé ïîðÿäîê ìàëîñòè (âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ îò ìåäëåííî ìåíÿþùåéñÿ ôóíêöèè).Ïðè âû÷èñëåíèè ïðàâîé ÷àñòè (26.7) íóæíî ó÷åñòü, ÷òî ëîêàëèçîâàííûé âîëíîâîé ïàêåò íå ìîæåò áûòü ñòðîãî ìîíîõðîìàòè÷åñêèì.
Äëÿðàçíûõ ÷àñòîòíûõ ãàðìîíèê åãî ñïåêòðà ïðîíèöàåìîñòü ε ðàçíàÿ. ×òîáû êîððåêòíî ó÷åñòü ýòî îáñòîÿòåëüñòâî (÷àñòîòíóþ äèñïåðñèþ), ðàç~ 0 íà ìîíîõðîìàòè÷åñêèå ãàðìîíèêè äî âçÿòèÿ ïðîèçâîäíîé:ëîæèì E4⊥ =~ (1)1 ∂2D=c2 ∂t2Z1 ∂21~ 0 (∆ω) e−i∆ωt d∆ω · eik0 z−iωt == 2 2 √ε(ω + ∆ω) Ec ∂t2πZ1~ 0 (∆ω) eik0 z−i(ω+∆ω)t d∆ω.
(26.12)=− √ε(ω + ∆ω) (ω + ∆ω)2 Ec2 2π57Ïîñêîëüêó àìïëèòóäà ïàêåòà ìåíÿåòñÿ ìåäëåííî, òî åãî ñïåêòð óçîê(∆ω ω ), è ìîæíî ðàçëîæèòü ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå â ðÿä, ïîñëå÷åãî çàìåíèòü ∆ω íà i∂/∂t:~ (1)1 ∂2Deik0 z−iωt√=−c2 ∂t2c2 2π∂ω 2 ε ~E0 (∆ω) e−i∆ωt d∆ω =∂ω~0ω 2 ε ~ ik0 z−iωti ∂ω 2 ε ∂ E=− 2 E− 2eik0 z−iωt =0ecc ∂ω! ∂t2~~ 0 − i ∂k0 ∂ E0 eik0 z−iωt == −k02 E∂ω ∂t!~02ik0 ∂ E2~= −k0 E0 −eik0 z−iωt , (26.13)vg ∂tZ ω 2 ε(ω) + ∆ωãäå vg = dω/dk0 ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû.~ (3) óäåðæèâàòü ìàëûå äèñïåðñèîííûå ïîïðàâêè ïðîèçâîäíîé îò D~íå íóæíî, ïîñêîëüêó D(3) óæå ñîäåðæèò ìàëûé ïàðàìåòð η :~ (3)1 ∂2Dω 2 ~ 2 ~ ik0 z−iωt=−η|E| E0 e.c2 ∂t2c2(26.14)Ïîäñòàâëÿÿ (26.10), (26.13) è (26.14) â (26.7), èìååì2~~~ 2E~ 0 − 2ik0 ∂ E0 − 2ik0 ∂ E0 − ω η|E|~ 0 = 0,−4⊥ E∂zvg ∂tc22 ~ 21 ∂ ~1∂~ 0 − ω η|E0 | E~ 0.+E0 = −4⊥ E∂zvg ∂t2ik02ik0 c2(26.15)Êîìáèíàöèÿ ïðîèçâîäíûõ â ëåâîé ÷àñòè (26.15) âûðàæàåò ñîáîé òîòôàêò, ÷òî âîçìóùåíèÿ àìïëèòóäû ïåðåíîñÿòñÿ â íàïðàâëåíèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû ñ ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ.
Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé÷àñòè îòâåòñòâåííî çà äèôðàêöèîííîå ðàñøèðåíèå ïàêåòà. Óðàâíåíèå(26.15) ñ η = 0 èçâåñòíî êàê ïàðàáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå òåîðèè äèôðàêöèè. Ïî ñâîåé ôîðìå îíî ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì äèôôóçèè (ñ ìíèìûìêîýôôèöèåíòîì äèôôóçèè i/2k0 ).Âòîðîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (26.15) îïèñûâàåò íåëèíåéíóþ ôîêóñèðîâêó (η > 0) èëè äåôîêóñèðîâêó (η < 0) âîëíû. Ïðè áîëüøîéíàïðÿæåííîñòè ïîëÿ íåëèíåéíàÿ ôîêóñèðîâêà ìîæåò ïîëíîñòüþ ïîäàâèòü äèôðàêöèîííóþ ðàñõîäèìîñòü: ôàçîâàÿ ñêîðîñòü âîëíû îêàçûâàåòñÿ â îáëàñòè ïó÷êà ìåíüøåé, íåæåëè íà ïåðèôåðèè, âîëíîâûå ôðîíòû ñòàíîâÿòñÿ ñõîäÿùèìèñÿ è ýíåðãèÿ ïó÷êà êîíöåíòðèðóåòñÿ ó îñè58(ðèñ. 1.18).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
