1625915574-ba679e180264e0f82c994c8dd0b7c5fc (843950), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Ïðè ñîâïàäåíèè æå ÷àñòîòû ω∗ ñ ÷àñòîòîé îñöèëëÿòîðà ±ω0 ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå èìååò íåèíòåãðèðóåìóþ îñîáåííîñòü ïðè ω = ±ω0 . Òàêèì îáðàçîì,(0,ω∗ 6= ±ω0 ,Im ε(ω∗ ) =(14.13)±∞, ω∗ = ±ω0 ,ïîýòîìó åñòåñòâåííî èñêàòü ìíèìóþ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè â âèäå ñóììû äåëüòà-ôóíêöèé:Im ε(ω) = A0 δ(ω − ω0 ) − A0 δ(ω + ω0 ).(14.14)Êîýôôèöèåíòû A0 â ýòîì âûðàæåíèè âûáðàíû îäèíàêîâûìè, ÷òîáûîáåñïå÷èòü íå÷åòíîñòü ôóíêöèè Im ε(ω).
Ïðè ïîìîùè (14.7) íàõîäèìZ∞−∞πωp2A0A0Im ε(ω),dω =+=− 2ω − ω∗ω∗ − ω0ω∗ + ω0ω∗ − ω02A0 =πωp2.2ω0(14.15)(14.16)Êàê áóäåò ïîêàçàíî äàëåå, ìíèìàÿ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè îòâå÷àåò çà çàòóõàíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â òàêîé ñðåäå. Òàêèì îáðàçîì, ãàç îñöèëëÿòîðîâ ïîãëîùàåò âîëíó òîëüêî íà ðåçîíàíñíîé÷àñòîòå ω0 .1.15 Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû â ñðåäàõñ ÷àñòîòíîé äèñïåðñèåéÏóñòü íà ïîëóïðîñòðàíñòâî, çàïîëíåííîå ñðåäîé ñ ïðîíèöàåìîñòüþ(13.1) (ðèñ.
1.8,a ), ïàäàåò ïî íîðìàëè ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà ñ ðåçêèì ïåðåäíèì ôðîíòîì, òàê ÷òî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íà ãðàíèöå (ïðèx = 0)0,t < 0,E0 (t) =(15.1)Ae−iω0 t−δt ,t > 0.310абÐèñ. 1.8: Ãåîìåòðèÿ çàäà÷è (à), çàìûêàíèå êîíòóðîâ èíòåãðèðîâàíèÿ (á)Ñëàáîå çàòóõàíèå δ > 0 (δ → 0) çäåñü ââåäåíî â ôîðìóëó äëÿ òîãî,÷òîáû â äàëüíåéøåì èçáåæàòü íåîïðåäåëåííîñòåé ïðè èíòåãðèðîâàíèè.Íàéäåì â îäíîìåðíîì ñëó÷àå, êàê ýòà âîëíà áóäåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿâ ñðåäå.Çàìåòèì, ÷òî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå âåëè÷èíà äåéñòâèòåëüíàÿ. Åãîçàïèñü ïðè ïîìîùè êîìïëåêñíîé ýêñïîíåíòû ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî ó âûðàæåíèÿ (15.1) íàäî âçÿòü äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü, õîòÿ ñàìà îïåðàöèÿ âçÿòèÿ äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè îáû÷íî îïóñêàåòñÿ.
Ïîñêîëüêó âñå äàëüíåéøèå ìàòåìàòè÷åñêèå äåéñòâèÿ, êîòîðûå ìû áóäåì ïðîèçâîäèòü ñ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì, â ñèëó ëèíåéíîñòè çàäà÷è êîììóòèðóþò ñ âçÿòèåìäåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè, òî ìîæíî ýòó îïåðàöèþ (Re ) äåðæàòü â óìå. Áóäåì ñ÷èòàòü êîýôôèöèåíò A êîìïëåêñíûì, ÷òî ïîçâîëèò åäèíîîáðàçíîîïèñàòü ðàçíûå íà÷àëüíûå ôàçû âîëíû (ðèñ. 1.9).E0E00t0аtбÐèñ. 1.9: Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íà ãðàíèöå ñðåäû ïðè äåéñòâèòåëüíîì êîýôôèöèåíòå A (à) è ïðè ÷èñòî ìíèìîì (á)32Ñòàíäàðòíûé ìåòîä îïðåäåëåíèÿ E(x, t) ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.
Íàãðàíèöå ìû ðàçëàãàåì ïîëå íà ïëîñêèå ìîíîõðîìàòè÷åñêèå âîëíû, íàõîäèì çàêîí ðàñïðîñòðàíåíèÿ îòäåëüíîé ãàðìîíèêè â ñðåäå, ïîñëå ÷åãîèíòåãðèðîâàíèåì ñîáèðàåì èç ãàðìîíèê ïîëíîå ïîëå â ïðîèçâîëüíîéòî÷êå â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè. Àìïëèòóäû îòäåëüíûõ ãàðìîíèê E(ω) ïîëó÷àåì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå ïî âðåìåíè:1E(ω) = √2πZ∞Ae−iω0 t−δt eiωt dt = √0iA.2π(ω − ω0 + iδ)(15.2)Ïîëå îòäåëüíîé ãàðìîíèêèE(x, t) = E(ω) eik(ω)x−iωt ,ãäå k(ω) çàêîí äèñïåðñèè ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí,ωpk(ω) =ε(ω).c(15.3)(15.4)Ïîñêîëüêó ìû ðàññìàòðèâàåì ãðàíè÷íóþ çàäà÷ó (âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü ïîëÿ â íåêîòîðîé òî÷êå çàäàíà), òî ÷àñòîòà ω äåéñòâèòåëüíà, à kìîæåò ïðèíèìàòü êîìïëåêñíûå çíà÷åíèÿ. Ïîëíîå ïîëå ïîëó÷àåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì (15.3):1E(x, t) = √2πZ∞E(ω) eik(ω)x−iωt dω.(15.5)−∞Êàê âèäíî èç (15.2), íàèáîëüøèé âêëàä â èíòåãðàë (15.5) äàþò ãàðìîíèêè ñ ω ≈ ω0 , ÷òî ïîçâîëÿåò ðàçëîæèòü k(ω) â ðÿä âáëèçè ýòîéòî÷êè:ω − ω0dk(ω − ω0 ) + .
. . ≈ k0 +,dωvgdω.k0 = k(ω0 ),vg =dkk(ω) = k(ω0 ) +(15.6)Ñëåäîâàòåëüíî,E(x, t) ≈iA2πZ∞−∞eik0 x−iω0 t dω i(ω−ω0 )(x/vg −t)e.ω − ω0 + iδ(15.7)Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (15.7) çàìêíåì êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ ïîáîëüøîé ïîëóîêðóæíîñòè (ðèñ. 1.8,á ), ïðè÷åì ïðè x > vg t êîíòóð çàìûêàåòñÿ ÷åðåç âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü, à ïðè x < vg t ÷åðåç íèæíþþ,33÷òîáû âêëàä â èíòåãðàë îò ïîëóîêðóæíîñòè ñòðåìèëñÿ ê íóëþ çà ñ÷åòýêñïîíåíöèàëüíîé ìàëîñòè ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ. Èíòåãðàë ïîçàìêíóòîìó êîíòóðó ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ ÷åðåç âû÷åòû. Òàê êàê ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ àíàëèòè÷íà â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè è èìååò ïðîñòîé ïîëþñ â íèæíåé (ïðè ω = ω0 − iδ ), îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì(15.8)x > vg t : E(x, t) = 0;iA ik0 x−iω0 te(−2πi) e−δ(x/vg −t) ≈ Aeik0 x−iω0 t .
(15.9)2πÌîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ó÷åò âòîðîé ïðîèçâîäíîé d2 k/dω 2 â (15.6) äàåòðàñïëûâàíèå ïåðåäíåãî ôðîíòà âîëíû (ðèñ. 1.10).x < vg t : E(x, t) =Ðèñ. 1.10: Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà è ïðåäâåñòíèê â ñðåäå ñ ÷àñòîòíîéäèñïåðñèåé1.16 ÏðåäâåñòíèêÅñëè ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå íà ãðàíèöå ñðåäû âêëþ÷àåòñÿ ñêà÷êîì(êàê â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå), òî â åãî ñïåêòðå ïðèñóòñòâóþò ãàðìîíèêèñ áîëüøèìè ÷àñòîòàìè, äëÿ êîòîðûõ ε(ω) → 1. Âûñîêî÷àñòîòíûå ãàðìîíèêè ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â ñðåäå ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà è îáðàçóþò ïðåäâåñòíèê êîðîòêèé ýëåêòðîìàãíèòíûé èìïóëüñ, êîòîðûé áåæèò ïåðåäïåðåäíèì ôðîíòîì îñíîâíîãî âîëíîâîãî ïàêåòà (ðèñ. 1.10).
Ðàññìîòðèìýòî ÿâëåíèå êîëè÷åñòâåííî. ñëó÷àå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí ôóíêöèÿ k(ω), êàê è ε(ω), àíàëèòè÷íà â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ìîæåì ïîäíÿòüêîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ â (15.5) òàê, ÷òîáû îí âñþäó ïðîõîäèë ïî îáëàñòè áîëüøèõ ÷àñòîò, ãäå âåðíà àñèìïòîòèêà (6.5) (ðèñ. 1.11,à ). Ïðèáîëüøèõ |ω| èìååì!rωp2ωp2ωω1− 2 ≈1−,(16.1)k(ω) ≈cωc2ω 234îòêóäàiAE(x, t) =2πZdωexpω − ω0 + iδiωxcωp21−2ω 2!!− iωt .CÌàëàÿ (ïî ñðàâíåíèþ ñ ω ) äîáàâêà â çíàìåíàòåëå îòâå÷àåò çà îñíîâíîéèìïóëüñ. Îäíàêî, ïîñêîëüêó íàñ ñåé÷àñ èíòåðåñóåò òîëüêî ïðåäâåñòíèê,ïðåíåáðåæåì åé:!Zx ixω 2iAdωpE(x, t) =exp iω−t −.(16.2)2πωc2ωcCабÐèñ.
1.11: Âèäîèçìåíåíèÿ êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ â çàäà÷å î ïðåäâåñòíèêå: ïåðåõîä â îáëàñòü áîëüøèõ ÷àñòîò (à) è ïðåîáðàçîâàíèå â îêðóæíîñòü (á)Ïîâåäåíèå ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ ïðè óäàëåíèè îò äåéñòâèòåëüíîé îñè îïðåäåëÿåòñÿ çíàêîì âûðàæåíèÿ x/c − t, ñòîÿùåãî â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû. Ïðè x > ct ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò ïðè óäàëåíèè îò äåéñòâèòåëüíîé îñè ââåðõ, ïîýòîìóE(x, t) = 0,x > ct.(16.3)Ïðè x < ct ýêñïîíåíòà ìàëà â íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè, ïîòîìó èíòåãðàë (16.2) íå èçìåíèòñÿ, åñëè êîíòóð C çàìêíóòü ÷åðåç íèæíþþ ïîëóïëîñêîñòü ïî áîëüøîé ïîëóîêðóæíîñòè (ðèñ. 1.11,à ).
Çàìêíóòûé êîíòóð, â ñâîþ î÷åðåäü, ïðèâåäåì ê îêðóæíîñòè ðàäèóñà R (ðèñ. 1.11,á ):ω = Reiϕ ,dω = iReiϕ dϕ,35(16.4)iAE(x, t) =2π!Z−πiR(ct − x) iϕ ixωp2 −iϕi dϕ exp −e −e.c2Rc(16.5)πÄëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (16.5) âûáåðåìsxωp2.R=2(ct − x)ÒîãäàAE(x, t) =2πZπiωp pexp −2x(ct − x) cos ϕ dϕ.c(16.6)(16.7)−πÝòîò èíòåãðàë âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ôóíêöèþ Áåññåëÿ:12πZπe−iα cos ϕ dϕ = J0 (α),(16.8)−πω pp2x(ct − x) .(16.9)cÇàìåòèì, ÷òî, ïîñêîëüêó ðàäèóñ êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ R äîëæåíáûòü áîëüøèì, ôîðìóëà (16.9) ïðèìåíèìà òîëüêî ïðè x ≈ ct.Èòàê, ïåðåä âîëíîâûì ïàêåòîì ñ ðåçêèì (ïî ñðàâíåíèþ ñî âðåìåíåì ωp−1 ) ïåðåäíèì ôðîíòîì ìîæåò ïîÿâèòñÿ ïðåäâåñòíèê êîðîòêèéíåïåðèîäè÷åñêèé èìïóëüñ, áåãóùèé ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà (ðèñ.
1.12). Åñëèïîëå âîëíîâîãî ïàêåòà íàðàñòàåò ïëàâíî (àìïëèòóäà A ÷èñòî ìíèìàÿ),òî ïðåäâåñòíèêà íå âîçíèêàåò.E(x, t) = AJ0Ðèñ. 1.12: Ôîðìà ïðåäâåñòíèêà361.17 Ñâÿçü òåíçîðà äèýëåêòðè÷åñêîéïðîíèöàåìîñòè ñ îáû÷íûìè ε, µ è σÏðè íåáîëüøèõ ÷àñòîòàõ ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèå ñâîéñòâà ñðåäû ìîæíîîïèñûâàòü êàê òåíçîðîì äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè, òàê è ¾îáû÷íûìè¿ ñòàòè÷åñêèìè ε (äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ), µ (ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ) è σ (ïðîâîäèìîñòüþ). Íàéäåì, êàê ýòè äâà ñïîñîáàîïèñàíèÿ ñîîòíîñÿòñÿ ìåæäó ñîáîé.Ïóñòü ñðåäà â íåêîòîðîé îáëàñòè ÷àñòîò õàðàêòåðèçóåòñÿ ïîñòîÿííûìè çíà÷åíèÿìè ε, µ è σ . Èç îïðåäåëåíèé ε è µ íàõîäèì âåêòîðûïîëÿðèçàöèè è íàìàãíè÷åííîñòè:~ −E~Dε−1~P~ ==E,4π4π~~~ = µ − 1 B.~~ = B − H = 1 − 1/µ BM4π4π4πµ(17.1)(17.2)Ñ èõ ïîìîùüþ èç ôîðìóëû~~ + σE~~j = ∂ P + c rot M∂t(17.3)è óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëàhi~ = c ~k × E~Bωíàõîäèì ôóðüå-îáðàç òîêà ñðåäû:hhii2~ + ic (µ − 1) ~k × ~k × E~ + σ E.~~j = −iω ε − 1 E4π4πµω(17.4)(17.5)Êîýôôèöèåíòû ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ìåæäó êîìïîíåíòàìè òîêà è ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñîñòàâëÿþò òåíçîð ïðîâîäèìîñòè:σαβ =ω(ε − 1)c2 (µ − 1)δαβ −(kα kβ − k 2 δαβ ) + σδαβ ,4πi4πiµω(17.6)îòêóäà ñ ïîìîùüþ (3.9) ïîëó÷àåìεαβ = εδαβ +4πiσ(µ − 1)c2 2δαβ +(k δαβ − kα kβ ).ωµω 2(17.7)Êàê âèäíî, ñðåäà ñ îòëè÷íîé îò åäèíèöû ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþîáëàäàåò ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèåé, à çíà÷èò è íåëîêàëüíîñòüþ îòêëèêà òîêà íà ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå.
Ïðè ýòîì îòêëèê âåêòîðà íàìàãíè÷åííîñòè íà ìàãíèòíîå ïîëå áóäåò âïîëíå ëîêàëüíûì. Èç âûðàæåíèÿ (17.7) òàêæå ÿñíî, ïî÷åìó òåíçîð äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòèíåóäîáåí äëÿ ðåøåíèÿ ñòàòè÷åñêèõ çàäà÷: îí èìååò ïîëþñ ïðè ω → 0.371.18 Äèññèïàöèÿ ýíåðãèè âîëíû~ è âû÷òåì èç íåãî óðàâíåíèåÓìíîæèì óðàâíåíèå (1.2) ñêàëÿðíî íà B~(1.1), óìíîæåííîå íà E :~ rot E~ −E~ rot B~ = − 1 ∂ E 2 + B 2 − 4π (~j + ~jñòîð )E,~B2c ∂tci c h∂ E2 + B2~ ×B~ = −~j E~ − ~jñòîð E.~E+ div∂t8π4π(18.1)Ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå áàëàíñà ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
