1625915574-ba679e180264e0f82c994c8dd0b7c5fc (843950), страница 18
Текст из файла (страница 18)
3.7).Î÷åâèäíî, ïðÿìîé ñòåðæåíü (Y (Z) ≡ 0) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ ðàâíîâåñèÿ (9.10) ñ íóëåâîé ëåâîé ÷àñòüþ. Ïðè ìàëîé ñæèìàþùåé ñèëå Fýòî ðàâíîâåñèå áóäåò óñòîé÷èâûì, ò. å. ïðè íåáîëüøîì èçãèáå ñòåðæíÿ óïðóãèå ñèëû áóäóò âîçâðàùàòü åãî â ïðÿìîå ñîñòîÿíèå. Ïðè áîëüøîé ñèëå ðàâíîâåñèå áóäåò íåóñòîé÷èâûì, è ñëó÷àéíî âîçíèêøèé èçãèáñòåðæíÿ áóäåò óâåëè÷èâàòüñÿ.
Ãðàíèöåé ìåæäó óñòîé÷èâûì è íåóñòîé÷èâûì ðàâíîâåñèåì ÿâëÿåòñÿ áåçðàçëè÷íîå ðàâíîâåñèå. Ìèíèìàëüíàÿñèëà Fêð , ïðè êîòîðîé âîçìîæíî áåçðàçëè÷íîå ðàâíîâåñèå ñòåðæíÿ,è áóäåò èñêîìîé.ZFZYZ-FÐèñ. 3.7: Ê çàäà÷å îá óñòîé÷èâîñòè ñòåðæíÿÏðè áåçðàçëè÷íîì ðàâíîâåñèè óðàâíåíèå (9.10) ñ T = −F èìååò ñòàöèîíàðíîå íåíóëåâîå ðåøåíèå:F Y 00 + EIyy Y 0000 = 0,(10.1)Y (Z) 6≡ 0.Îáùèé âèä ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (10.1)sY = a + bZ + c sin kZ + d cos kZ,129k=F.EIyy(10.2)zZMz(z+Dz)Mz(z)dzбаÐèñ. 3.8: Ãåîìåòðèÿ çàäà÷è î êðó÷åíèè ñòåðæíÿ (à) ; ìîìåíòû ñèë, äåéñòâóþùèõ íà òîíêèé ñëîé (á)×åòûðå ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿ íà äâóõ êîíöàõ ñòåðæíÿ äàþò ÷åòûðå óðàâíåíèÿ íà ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû a, b, c, d. Ýòà îäíîðîäíàÿ ñèñòåìàóðàâíåíèé èìååò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå òîëüêî ïðè äèñêðåòíûõ çíà÷åíèÿõ k , ìèíèìàëüíîå èç êîòîðûõ kmin è îïðåäåëÿåò êðèòè÷åñêóþ ñèëó2Fêð = EIyy kmin.(10.3)Íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå Y (Z), ñîîòâåòñòâóþùåå ýòîé ñèëå, îïðåäåëÿåò,êàêèì îáðàçîì ñòåðæíþ ëåã÷å âñåãî èçîãíóòüñÿ ïðè çàäàííîì ñïîñîáåêðåïëåíèÿ.3.11 Êðó÷åíèå ñòåðæíåéÇàäà÷à î êðó÷åíèè òîíêîãî ñòåðæíÿ èìååò ïðîñòîå ðåøåíèå òîëüêîäëÿ îñåñèììåòðè÷íîãî ñå÷åíèÿ.
Ýòîò ñëó÷àé ìû è ðàññìîòðèì. Ïóñòüñïëîøíîé êðóãëûé ñòåðæåíü ðàäèóñà a ïðèêëååí ñ òîðöîâ ê ïëîñêîïàðàëëåëüíûì ïëàñòèíàì è çà ñ÷åò èõ îòíîñèòåëüíîãî âðàùåíèÿ äåôîðìèðóåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî êàæäûé åãî ñëîé ïîâîðà÷èâàåòñÿ íà óãîëϕ(z) âîêðóã îñè ñèñòåìû (ðèñ. 3.8,a ). Ðàññìîòðèì ñëîé z = dz , ðàñïîëîæåííûé áëèçêî (â ïðåäåëå áåñêîíå÷íî áëèçêî) ê ñå÷åíèþ z = 0, êîòîðîåñ÷èòàåì íåïîäâèæíûì. Äëÿ íåãîϕ(dz) = τ dz,ãäå âåëè÷èíàτ=dϕ,dz130(11.1)(11.2)õàðàêòåðèçóþùàÿ äåôîðìàöèþ, íàçûâàåòñÿ óãëîì êðó÷åíèÿ. Ñìåùåíèåýëåìåíòîâ ñëîÿ ïðè áåñêîíå÷íî ìàëîì ïîâîðîòå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé(11.3)~u = [τ dz ~ez × ~r]èëèux = −τ dz y,uy = −τ dz x,uz = 0.(11.4)Çàìåòèì, ÷òî ïðè êðó÷åíèÿ ñòåðæíÿ ïðîèçâîëüíîãî ñå÷åíèÿ èçíà÷àëüíîïëîñêèå ïîïåðå÷íûå ñëîè, âîîáùå ãîâîðÿ, ïåðåñòàþò áûòü ïëîñêèìè,è ïîÿâëÿþòñÿ ïðîäîëüíûå ñìåùåíèÿ uz (x, y). Äëÿ êðóãëûõ æå ñòåðæíåéïðîäîëüíûå ñìåùåíèÿ çàïðåùåíû ñèììåòðèåé çàäà÷è.
Ïî îïðåäåëåíèþòåíçîðà äåôîðìàöèè (1.4) èç âûðàæåíèé (11.4) íàõîäèì00−τ y/200τx (11.5)uαβ = −τ y/2 τ x/20è èç çàêîíà Ãóêà (3.4) ïîëó÷àåì, ÷òî â òåíçîðå íàïðÿæåíèé îòëè÷íû îòíóëÿ òîëüêî ÷åòûðå êîìïîíåíòû:σxz = σzx = 2µuxz = −µτ y,σyz = σzy = 2µuyz = µτ x.(11.6)~ k ~z äåéñòâóåò ñèëàÑîîòâåòñòâåííî, íà ýëåìåíòàðíóþ ïëîùàäêó dSdfα = σαβ dSβ = σαz dS.(11.7)Ñäâèãîâûå íàïðÿæåíèÿ (11.6) ñîçäàþò ìîìåíò óïðóãèõ ñèë, èìåþùèé òîëüêî z -êîìïîíåíòó:Z hZai Z~Mz =~r × df = (xσyz − yσxz )dS = (x2 + y 2 )µτ 2πr drS0SÇäåñüZIzz ==πµτ a4= µτ Izz = Cτ. (11.8)2r2 dS(11.9) ìîìåíò èíåðöèè ñå÷åíèÿ,C = Mz /τ131(11.10) òàê íàçûâàåìàÿ êðóòèëüíàÿ æåñòêîñòü, ìåðà ¾ïîäàòëèâîñòè¿ ñòåðæíÿ ñêðó÷èâàþùèì óñèëèÿì.
Äëÿ íåñïëîøíîãî ñòåðæíÿ (òðóáû) âûðàæåíèå äëÿ Izz áóäåò äðóãèì, íî ñâÿçüC = µIzz(11.11)îñòàíåòñÿ.Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ñòåðæåíü íå íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè,è âðàùàþùèå ìîìåíòû, äåéñòâóþùèå íà ñëîé òîëùèíû ∆z ñâåðõó è ñíèçó, íå êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà (ðèñ. 3.8,á ). Ïîä èõ äåéñòâèåì óãëîâàÿñêîðîñòü ñëîÿ Ω áóäåò ìåíÿòüñÿ ñîãëàñíî óðàâíåíèþI∂Ω= Mz (z + ∆z) − Mz (z),∂t(11.12)ãäå I = ρIzz ∆z ìîìåíò èíåðöèè ñëîÿ, ρ ïëîòíîñòü ñòåðæíÿ. Ïåðåõîäÿ ê áåñêîíå÷íî òîíêîìó ñëîþ, ïîëó÷àåì∂2ϕ∂ΩC ∂τµ ∂2ϕ==∆z =.2∂t∂tI ∂zρ ∂z 2(11.13)Òàêèì îáðàçîì, âðàùàòåëüíûå äåôîðìàöèè îïèñûâàþòñÿ âîëíîâûìóðàâíåíèåì∂2ϕ∂2ϕ= c2t 2(11.14)2∂t∂zè áåãóò âäîëü ñòåðæíÿ ñ ïîïåðå÷íîé ñêîðîñòüþ çâóêà (6.9).
Äëÿ ðàâíîâåñèÿ ñòåðæíÿ, î÷åâèäíî, íåîáõîäèìî τ (z) = const.132ÏðèëîæåíèÿÏðèëîæåíèå 1:Äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõÃðàäèåíò:∂f,∂r(∇f )r =(∇f )ϕ =Äèâåðãåíöèÿ:1 ∂f,r ∂ϕ(∇f )z =1 ∂Aϕ∂Az1 ∂(rAr ) ++.r ∂rr ∂ϕ∂z~=div AÐîòîð:∂Aϕ1 ∂Az−,r∂ϕ∂zr∂Ar∂Az~rot A=−,∂z∂rϕ~ = 1 ∂ (rAϕ ) − 1 ∂Ar .rot Ar ∂rr ∂ϕz~rot A=Ëàïëàñèàí ñêàëÿðà:4f =1 ∂r ∂r∂f1 ∂2f∂2fr+ 2+.∂rr ∂ϕ2∂z 2Ëàïëàñèàí âåêòîðà:2 ∂AϕAr− 2,2r ∂ϕrr2∂AArϕ~4A= 4Aϕ + 2− 2,r∂ϕrϕ~4A = 4Az .~4A= 4Ar −z133∂f.∂z~ B~:Êîìïîíåíòû (A∇)∂BrAϕ ∂Br∂BrAϕ Bϕ++ Az−,∂rr ∂ϕ∂zrAϕ ∂BϕAϕ B r∂Bϕ∂Bϕ~ B~(A∇)= Ar++ Az+,∂rr ∂ϕ∂zrϕ~ B~ = Ar ∂Bz + Aϕ ∂Bz + Az ∂Bz .(A∇)∂rr ∂ϕ∂zz~ B~(A∇)r= ArÄèâåðãåíöèÿ òåíçîðà:∂Tαβ=∂xα r∂Tαβ=∂xα ϕ∂Tαβ=∂xα z1 ∂Tϕr∂TzrTϕϕ1 ∂(rTrr ) ++−,r ∂rr ∂ϕ∂zr1 ∂Tϕϕ∂TzϕTϕr1 ∂(rTrϕ ) +++,r ∂rr ∂ϕ∂zr1 ∂1 ∂Tϕz∂Tzz(rTrz ) ++.r ∂rr ∂ϕ∂zÏðèëîæåíèå 2:Äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõÃðàäèåíò:(∇f )r =∂f,∂r(∇f )θ =1 ∂f,r ∂θ(∇f )ϕ =1 ∂f.r sin θ ∂ϕÄèâåðãåíöèÿ:~=div A1 ∂ 21∂1 ∂Aϕ(r Ar ) +(sin θ Aθ ) +.2r ∂rr sin θ ∂θr sin θ ∂ϕÐîòîð:1∂1 ∂Aθ(sin θ Aϕ ) −,r sin θ ∂θr sin θ ∂ϕ~ = 1 ∂Ar − 1 ∂ (rAϕ ),rot Ar sin θ ∂ϕr ∂rθ∂1∂Ar1~rot A=(rAθ ) −.r ∂rr ∂θϕ~rot A=r134Ëàïëàñèàí ñêàëÿðà:1 ∂1∂∂f1∂2f2 ∂f4f = 2r+ 2sin θ+ 2 2.r ∂r∂rr sin θ ∂θ∂θr sin θ ∂ϕ2Ëàïëàñèàí âåêòîðà:2 ∂Aϕ~ = 4Ar − 2Ar − 2 ∂Aθ − 2 ctg θAθ −4A,r2r2 ∂θr2r2 sin θ ∂ϕr~ = 4Aθ + 2 ∂Ar − Aθ − 2 cos θ ∂Aϕ ,4Ar2 ∂θθr2 sin2 θ r2 sin2 θ ∂ϕ2 cos θ ∂AθAϕ2 ∂Ar~+ 2 2.4A= 4Aϕ − 2 2 + 2ϕr sin θ r sin θ ∂ϕr sin θ ∂ϕ~ B~:Êîìïîíåíòû (A∇)~ B~ = Ar ∂Br + Aθ ∂Br + Aϕ ∂Br − Aθ Bθ + Aϕ Bϕ ,(A∇)∂rr ∂θr sin θ ∂ϕrr∂BA∂BA∂Bθθθϕθ~ B~ = Ar(A∇)+++∂rr ∂θr sin θ ∂ϕθAθ Br − ctg θAϕ Bϕ+,rAθ ∂BϕAϕ ∂Bϕ∂Bϕ~ B~(A∇)= Ar+++∂rr∂θrsin θ ∂ϕϕAϕ Br + ctg θAϕ Bθ+.rÄèâåðãåíöèÿ òåíçîðà:∂Tαβ1 ∂1∂= 2 (r2 Trr ) +(sin θ Tθr )+∂xα rr ∂rr sin θ ∂θ1 ∂TϕrTθθ + Tϕϕ+−,r sin θ ∂ϕr1 ∂1∂∂Tαβ= 2 (r2 Trθ ) +(sin θ Tθθ )+∂xα θr ∂rr sin θ ∂θTθr − ctg θ Tϕϕ1 ∂Tϕθ++,r sin θ ∂ϕr∂Tαβ1 ∂1∂= 2 (r2 Trϕ ) +(sin θ Tθϕ )+∂xα ϕr ∂rr sin θ ∂θ+1 ∂TϕϕTϕr + ctg θ Tϕθ+.r sin θ ∂ϕr135Ó÷åáíîå èçäàíèåËîòîâ Êîíñòàíòèí Âëàäèìèðîâè÷ÔÈÇÈÊÀ ÑÏËÎØÍÛÕ ÑÐÅÄÓ÷åáíîå ïîñîáèåÐåäàêòîð ß.
Î. ÊîçëîâàÄèçàéí îáëîæêè Å. Â. ÍåêëþäîâîéÏîäïèñàíî â ïå÷àòü 20.05.2018 ã.Ôîðìàò 60 × 84 1/16. Ó÷.-èçä.ë. 8,5. Óñë. ïå÷. ë. 7,9.Òèðàæ 160 ýêç. Çàêàç 123.Èçäàòåëüñêî-ïîëèãðàôè÷åñêèé öåíòð ÍÃÓ630090, Íîâîñèáèðñê, óë. Ïèðîãîâà, 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
