1625915574-ba679e180264e0f82c994c8dd0b7c5fc (843950), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Ïîêàæåì ýòî íà ïðèìåðå ïðîäîëüíîé çâóêîâîé âîëû â òîíêîì äëèííîì ñòåðæíå (ðèñ. 3.3).Ïóñòü äëèíà âîëíû λ íàìíîãî ïðåâûøàåò ïîïåðå÷íûé ðàçìåð ñòåðæíÿ a, è íà ñòåðæåíü ñ áîêîâ íå äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû:σαβ nβ = 0 íà ãðàíèöå.Ðèñ. 3.3: Ê âûâîäó ïðîäîëüíûõ êîëåáàíèé òîíêîãî ñòåðæíÿ122(7.1)Íàïðàâèì îñü ~z âäîëü ñòåðæíÿ. Íà ãðàíèöå ñòåðæíÿ â òî÷êàõ, ãäå ~n k ~x,êîìïîíåíòû σxx , σyx è σzx òåíçîðà íàïðÿæåíèé â ñèëó (7.1) îáðàùàþòñÿ â íîëü.
Íî ïîñêîëüêó ñòåðæåíü òîíêèé (a λ), òî âíóòðè íåãî ýòèêîìïîíåíòû íå óñïåâàþò âûðàñòè äî áîëüøîé âåëè÷èíû è èõ âñþäóìîæíî ñ÷èòàòü ìàëûìè. Àíàëîãè÷íûìè ðàññóæäåíèÿìè ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî âíóòðè ñòåðæíÿ ìàëû âñå êîìïîíåíòû òåíçîðà íàïðÿæåíèé,çà èñêëþ÷åíèåì σzz . Òàêèì îáðàçîì, äåôîðìàöèþ òîíêîãî ñòåðæíÿ ïðèïðîõîæäåíèè ïî íåìó ïðîäîëüíîé âîëíû ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîñòîé. ñëó÷àå ïðîñòîé äåôîðìàöèè óðàâíåíèå äâèæåíèÿ êîðîòêîãî ó÷àñòêà ñòåðæíÿ ëåãêî ïðåîáðàçîâàòü ê âèäóρS ∆l∂ 2 uz∂σzz= S σzz (z + ∆l) − σzz (z) ≈ S ∆l=∂t2∂z∂ 2 uz∂uzz= S ∆l E, (7.2)= S ∆l E∂z∂z 2ãäå ρ ïëîòíîñòü ñòåðæíÿ, S è ∆l ñå÷åíèå è äëèíà ðàññìàòðèâàåìîãîêóñî÷êà (ðèñ. 3.3).
Èç (7.2) ïîëó÷àåòñÿ âîëíîâîå óðàâíåíèå∂ 2 uzE ∂ 2 uz=(7.3)∂t2ρ ∂z 2pñî ñêîðîñòüþ çâóêà, ðàâíîé E/ρ. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòà ñêîðîñòüçâóêà âñåãäà ìåíüøå cl . Ýòîò ôàêò îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî òîíêèé ñòåðæåíü ïðè ñæàòèè â ïðîäîëüíîì íàïðàâëåíèè ðàñøèðÿåòñÿ â ïîïåðå÷íîì. Ïîýòîìó ïðè îäèíàêîâîé ñòåïåíè ñæàòèÿ â ñòåðæíå âîçíèêàþòìåíüøèå íàïðÿæåíèÿ, íåæåëè â íåîãðàíè÷åííîé ñðåäå.3.8 Èçãèá ñòåðæíåéÍàéäåì äåôîðìàöèè è íàïðÿæåíèÿ, âîçíèêàþùèå â òîíêîì äëèííîìñòåðæíå ïðè åãî ñëàáîì èçãèáå. Ñòåðæåíü ìîæíî ñ÷èòàòü òîíêèì, åñëèåãî òîëùèíà a ìàëà ñ õàðàêòåðíûì ìàñøòàáîì èçãèáà λ (ðèñ.
3.4,à ). Äëÿîïðåäåëåííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî èçãèá ïðîèñõîäèò â îäíîé ïëîñêîñòèïîä äåéñòâèåì ïîïåðå÷íîé ñèëû F~ , ïðèëîæåííîé ê îäíîìó èç êîíöîâ(äëÿ äðóãèõ ñïîñîáîâ èçãèáà àíàëîãè÷íûì ñïîñîáîì ïîëó÷àþòñÿ òå æåôîðìóëû).Íàïðàâèì îñü ~z âäîëü ñòåðæíÿ, à îñü ~x ðàñïîëîæèì â ïëîñêîñòèèçãèáà (ïðè ñëàáîì èçãèáå ðàçëè÷èåì íàïðàâëåíèé ~x è ~z â ðàçíûõ ñå÷åíèÿõ ñòåðæíÿ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü). Ðàññóæäåíèÿìè, àíàëîãè÷íûìè ïðîâåäåííûì â ðàçäåëå 3.7, ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî äåôîðìàöèÿ èçîãíóòîãîñòåðæíÿ áóäåò ïðîñòîé (òîëüêî σzz 6= 0).
Áîëåå ñòðîãî ýòî óòâåðæäåíèå123авбгÐèñ. 3.4: Ãåîìåòðèÿ çàäà÷è îá èçãèáå ñòåðæíÿ (a) ; ê îöåíêå σxz (á) ;ê âû÷èñëåíèþ äåôîðìàöèè ñòåðæíÿ (â) ; ïîëîæåíèå íåéòðàëüíîé ïîâåðõíîñòè ïðè ðàçëè÷íîé îðèåíòàöèè ñòåðæíÿ (ã)ïîëó÷àåòñÿ èç óñëîâèé ðàâíîâåñèÿ ñòåðæíÿ. Íàïðèìåð, äëÿ çàøòðèõîâàííîãî ó÷àñòêà íà ðèñ. 3.4,à,á èìååìZFLy -ìîìåíò:F L + σzz x dS = 0 ⇒ σzz ∼ 3 ,(8.1)aZFx-ñèëà:−F + σxz dS = 0 ⇒ σxz ∼ 2 ,(8.2)aãäå èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî ñå÷åíèþ ñòåðæíÿ, îòêóäàσxz ∼aσzz σzz .L(8.3)Ïðè ðàññìàòðèâàåìîì èçãèáå âåðõíÿÿ ÷àñòü ñòåðæíÿ ðàñòÿãèâàåòñÿ, à íèæíÿÿ ñæèìàåòñÿ. Îáëàñòè ðàñòÿæåíèÿ è ñæàòèÿ ðàçäåëÿåò íåéòðàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü; áóäåì îòñ÷èòûâàòü ðàññòîÿíèå x îò íåå124(ðèñ.
3.4,â ). Ó÷àñòîê ñòåðæíÿ, îòñòîÿùèé íà ðàññòîÿíèå x îò íåéòðàëüíîé ïîâåðõíîñòè è èìåâøèé äî èçãèáà äëèíó ∆l, âñëåäñòâèå èçãèáà óäëèíèòñÿ íà âåëè÷èíóx(8.4)dl = ∆l,Rãäå R ëîêàëüíûé ðàäèóñ êðèâèçíû íåéòðàëüíîé ïîâåðõíîñòè. Îòñþäàíàõîäèì íåíóëåâûå êîìïîíåíòû òåíçîðîâ äåôîðìàöèè è íàïðÿæåíèé:uzz =dl∆l=x,Ruxx = uyy = −σuzz ,σzz = Ex.R(8.5)Ïîëîæåíèå íåéòðàëüíîé ïëîñêîñòè íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿñòåðæíÿ:ZZz -ñèëà:σzz dS = 0 ⇒x dS = 0,(8.6)ò. å. íåéòðàëüíàÿ ïëîñêîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð òÿæåñòè ñå÷åíèÿ(ðèñ. 3.4,ã ).Èçãèá ñòåðæíÿ êàê öåëîãî óäîáíî îïèñûâàòü êîîðäèíàòîé X(Z)åãî íåéòðàëüíîé ïîâåðõíîñòè â íåêîòîðîé ¾âíåøíåé¿ ñèñòåìå (X, Y, Z)~ , íàïðàâëåííîé âäîëü ñòåðæíÿ (ðèñ.
3.4,â ). Îáîçíà÷àÿ äèôôåñ îñüþ Zðåíöèðîâàíèå ïî Z øòðèõîì, äëÿ ñëàáîãî èçãèáà èìååì1= −X 00 (Z),Ruzz = −xX 00 ,σzz = −ExX 00 .(8.7)Ôîðìóëû (8.7) ëåãêî îáîáùàþòñÿ íà ñëó÷àé òðåõìåðíîãî èçãèáà:uzz = −xX 00 − yY 00 ,σzz = −ExX 00 − EyY 00 ,(8.8)ãäå êîîðäèíàòû x è y îòñ÷èòûâàþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, â íàïðàâëåíèÿõ~ èY~ îò ëèíèè, ïðîõîäÿùåé ïî öåíòðó òÿæåñòè ñå÷åíèÿ (íåéòðàëüíîéXëèíèè).Êàê âèäíî èç (8.1), ñïîñîáíîñòü ñòåðæíÿ ñîïðîòèâëÿòüñÿ èçãèáó õàðàêòåðèçóåòñÿ ìîìåíòîì óïðóãèõ ñèë. Íàéäåì ýòó âåëè÷èíó. Ïî îïðåäåëåíèþ ìîìåíòà ñèëû,ZMx = yσzz dS = −EIxy X 00 − EIyy Y 00 ,(8.9)ZMy = − xσzz dS = EIxx X 00 + EIxy Y 00 ,(8.10)ãäåZIαβ =rα rβ dS125(8.11)~ è Y~ òåíçîð ¾ìîìåíòà èíåðöèè¿ ñå÷åíèÿ. Åñëè íàïðàâëåíèå îñåé Xñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ãëàâíûõ îñåé ñå÷åíèÿ, òî âûðàæåíèÿ äëÿ ìîìåíòîâ óïðîùàþòñÿ:Mx = −EIyy Y 00 ,My = EIxx X 00 .(8.12)Èç ôîðìóë (8.98.12) ÿñíî, ïî÷åìó äëÿ óïðî÷íåíèÿ ñòåðæíåé èõ ïðîôèëü äåëàåòñÿ ñëîæíûì (ðèñ.
3.4,ã ): ÷òîáû ïðè çàäàííîé ïëîùàäè ñå÷åíèÿ ïîëó÷èòü áîëüøèé ìîìåíò èíåðöèè.3.9 Ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ ñòåðæíåéÏóñòü òåïåðü ñòåðæåíü íå íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè è ìîæåò êîëåáàòüñÿâ ïîïåðå÷íîì íàïðàâëåíèè. Íàéäåì çàêîí ìàëûõ ïîïåðå÷íûõ êîëåáàíèé~ , Z)~ (ðèñ. 3.5,à ). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà ñòåðæåíü ñ áîêîââ ïëîñêîñòè (Yíå äåéñòâóåò âíåøíÿÿ ñèëà. Òîãäà óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìàëîãî ýëåìåíòàñòåðæíÿ ïðèìåò âèäρS ∆l∂ 2 ~u= F~ (l + ∆l) − F~ (l),∂t2(9.1)ãäå S ïëîùàäü ñå÷åíèÿ, ρ ïëîòíîñòü ñòåðæíÿ, ∆l äëèíà ðàññìàòðèâàåìîãî êóñî÷êà, l êîîðäèíàòà, îòñ÷èòûâàåìàÿ âäîëü ñòåðæíÿ,F~ ïîëíàÿ óïðóãàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè ¾ñïðàâàíàëåâî¿ (ðèñ. 3.5,à ). Ïåðåõîäÿ ê áåñêîíå÷íî ìàëûì ∆l, ïîëó÷àåì∂ F~∂ 2 ~u= ρS 2 .∂l∂tòû:(9.2)Ñèëó F~ ìîæíî ðàçëîæèòü íà ïðîäîëüíóþ è ïîïåðå÷íóþ êîìïîíåí(9.3)F~ = F~k + F~⊥ ,ãäåF~⊥ = ~nZσyz dS,F~k = ~τZσzz dS ≡ T ~τ ,(9.4)à ~n è ~τ åäèíè÷íûå âåêòîðû â íàïðàâëåíèÿõ íåéòðàëüíîé ëèíèè è íîðìàëè ê íåé ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ.
3.5, á). Âåëè÷èíà T (íàòÿæåíèå ñòåðæíÿ) íå çàâèñèò îò l, ïîñêîëüêó â ïðîòèâíîì ñëó÷àå íåñêîìïåíñèðîâàííàÿ ïðîäîëüíàÿ ñèëà âûçâàëà áû ïðîäîëüíîå äâèæåíèå ñòåðæíÿ. Áóäåìñ÷èòàòü íàòÿæåíèå ñòåðæíÿ çàäàííûì.126аOбвÐèñ. 3.5: Ãåîìåòðèÿ çàäà÷è î ïîïåðå÷íûõ êîëåáàíèÿõ ñòåðæíÿ (a) ; äåéñòâóþùèå â ñå÷åíèå ñòåðæíÿ ñèëû (á) ; ê íàõîæäåíèþ ïðîèçâîäíîéd~τ /dl (â)Çàìåòèì, ÷òî ñèëà F~ ïîÿâëÿåòñÿ âñëåäñòâèå îòëè÷èÿ äåôîðìàöèè îòïðîñòîé è íàëè÷èÿ íåíóëåâîé òÿíóùåé ñèëû. Îáà ýòè ýôôåêòà ÿâëÿþòñÿ â êàêîì-òî ñìûñëå ìàëûìè ïî ñðàâíåíèþ ñ äåéñòâèåì ïðîäîëüíûõíàïðÿæåíèé, ñîçäàþùèõ ìîìåíò óïðóãèõ ñèë: ~ |T | |σzz |a2 .(9.5)F⊥ |σzz |a2 ,Ïîýòîìó â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ìû ïðåíåáðåãàëè ñèëîé F~ è ñ÷èòàëèäåôîðìàöèþ ïðîñòîé. Ñåé÷àñ æå íàøåé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ àíàëèç áîëååòîíêèõ ýôôåêòîâ, ïîýòîìó ìû ó÷èòûâàåì ìàëóþ ñèëó F~ è ìàëîå îòëè~.÷èå íàïðàâëåíèé âåêòîðà ~τ è îñè Z~Îáîçíà÷èì M (l) ìîìåíò óïðóãèõ ñèë (8.9), (8.10), äåéñòâóþùèõ¾ñïðàâà íàëåâî¿ â çàäàííîì ñå÷åíèè ñòåðæíÿ (ðèñ.
3.5,á ). Ïîñêîëüêóïðè ìàëûõ ïîïåðå÷íûõ êîëåáàíèÿõ äâèæåíèå ýëåìåíòà ñòåðæíÿ ñ áîëüøîé òî÷íîñòüþ ÿâëÿåòñÿ ïîñòóïàòåëüíûì, ïîëíûé ìîìåíò ñèë (íàïðèìåð, îòíîñèòåëüíî òî÷êè ¾O¿), ïðèëîæåííûõ ê ðàññìàòðèâàåìîìó êó-127ñî÷êó, äîëæåí ðàâíÿòüñÿ íóëþ:hi~ (l + ∆l) − M~ (l) + ~τ ∆l × F~ (l + ∆l) = 0,Mhi~∂M+ ~τ × F~ = 0,∂l# "~∂~τ∂2M∂ F~~+× F + ~τ ×= 0.∂l2∂l∂lîòêóäà(9.6)(9.7)Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíîé ∂~τ /∂l çàìå÷àåì, ÷òî ïðè ñìåùåíèè âäîëüñòåðæíÿ íà âåëè÷èíó dl âåêòîð ~τ èçìåíÿåòñÿ íà âåëè÷èíó d~τ k ~n(ðèñ.
3.5,â ). Èç ãåîìåòðèè ñëåäóåò, ÷òîdldτ=R|τ |⇒dτ1=dlR∂~τ~n= .∂lR⇒(9.8)Ïîäñòàâëÿÿ (8.9), (9.8) è (9.2) â x-êîìïîíåíòó (9.8) è çàìå÷àÿ, ÷òî1= Y 00 ,Ruy = Y,ïîëó÷àåì(9.9)i2∂2Y h∂4Y~k + ρS ∂ Y [~τ × ~n] = 0,+~n×Fx42∂Z∂Z∂t2x2∂ Y(9.10)ρS 2 = T Y 00 − EIyy Y 0000 .∂t ñëó÷àå áåñêîíå÷íîãî ñòåðæíÿ óðàâíåíèåì (9.10) äîïóñêàåòñÿíåïðåðûâíûé ñïåêòð âîëí ñ äèñïåðñèîííûì ñîîòíîøåíèåì−EIyy(9.11)ρSω 2 = T k 2 + EIyy k 4 . ñëó÷àå ñòåðæíÿ êîíå÷íîé äëèíû ñïåêòð êîëåáàíèé áóäåò äèñêðåòíûì è çàâèñÿùèì îò ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íà êîíöàõ.
Òàê êàê óðàâíåíèå(9.10) ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ïî Z , òî íóæíî ÷åòûðå ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿ(ïî äâà íà êàæäîì êîíöå), íàïðèìåðçàäåëàííûé êîíåö (ðèñ. 3.6,a ):øàðíèð (ðèñ. 3.6,á ):Y = 0,Y = 0,ñâîáîäíûé êîíåö (ðèñ. 3.6,â ):Y00= 0,Y 0 = 0;= 0;(9.13)000= 0.(9.14)YY(9.12)00Óñëîâèÿ íà âòîðûå ïðîèçâîäíûå â (9.13) è (9.14) ïîëó÷àþòñÿ èç ðàâåíñòâà íóëþ ìîìåíòà óïðóãèõ ñèë (8.9) íà êîíöå.
Óñëîâèå íà òðåòüþ ïðîèçâîäíóþ ñëåäóåò, â ñîîòâåòñòâèè ñ (9.6), èç îòñóòñòâèÿ óïðóãîé ñèëûF~ íà ñâîáîäíîì êîíöå.128абвÐèñ. 3.6: Êðåïëåíèÿ ñòåðæíåé: çàäåëàííûé êîíåö (à), øàðíèð (á), ñâîáîäíûé êîíåö (â)3.10 Óñòîé÷èâîñòü ñòåðæíåé (ïî Ýéëåðó)Íàéäåì, êàêóþ ñæèìàþùóþ íàãðóçêó ìîæåò âûäåðæàòü òîíêèé ñòåðæåíü, íå èçãèáàÿñü â ïîïåðå÷íîì íàïðàâëåíèè Y è íå ëîìàÿñü (ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
