1625915574-ba679e180264e0f82c994c8dd0b7c5fc (843950), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Èçëîæåííûé ìåõàíèçì âîçáóæäåíèÿ âîëí, îäíàêî, ðåäêî ðåàëèçóåòñÿ â ïðèðîäå.×àùå ñêîðîñòü âåòðà ïðè ïðèáëèæåíèè ê ïîâåðõíîñòè âîäû ïëàâíî îáðàùàåòñÿ â íîëü è ðàáîòàþò áîëåå ñëîæíûå ìåõàíèçìû âîçáóæäåíèÿ.2.11 Âÿçêàÿ æèäêîñòü âÿçêîé æèäêîñòè òåíçîð íàïðÿæåíèé èìååò âèäπαβ = −pδαβ + σαβ .(11.1) íåì ïîÿâëÿåòñÿ äîáàâî÷íîå ñëàãàåìîå σαβ , íàçûâàåìîå òåíçîðîì âÿçêèõ íàïðÿæåíèé è îáóñëîâëåííîå ñèëàìè âíóòðåííåãî òðåíèÿ ìåæäóñëîÿìè æèäêîñòè. Ñîîòâåòñòâåííî, êîìïîíåíòû ïîëíîé ñèëû, äåéñòâóþùåé â æèäêîñòè íà åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó dS , ðàâíûFα = −παβ nβ = pnα − σαβ nβ ,(11.2)ãäå ~n âíóòðåííÿÿ íîðìàëü ê ïëîùàäêå (ðèñ.
2.11).Ñèëà âíóòðåííåãî òðåíèÿ ïîÿâëÿåòñÿ ïðè íåîäíîðîäíîì äâèæåíèèæèäêîñòè. Âåëè÷èíà ýòîé ñèëû ëèíåéíî çàâèñèò îò ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõêîìïîíåíò ñêîðîñòè ïî êîîðäèíàòàì, òàê ÷òîσαβ = A∂vβ∂vγ∂vα+B+ Cδαβ,∂xβ∂xα∂xγ(11.3)ãäå A, B è C íå çàâèñÿùèå îò ñêîðîñòè êîýôôèöèåíòû.  ðàìêàõãèäðîäèíàìèêè ýòî óòâåðæäåíèå ïðèíèìàåòñÿ êàê ïîñòóëàò.83Ðèñ. 2.11: Íàïðàâëåíèå íîðìàëèÂíóòðåííåãî òðåíèÿ íå âîçíèêàåò ïðè âðàùåíèè æèäêîñòè êàê öå~ . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ñêîðîñòèëîãî ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ωhi~ ,~v = ~r × Ωvα = eαik xi Ωk(11.4)òåíçîð σαβ äîëæåí òîæäåñòâåííî çàíóëÿòüñÿ.
Èìååìσαβ = Aeαik∂xi∂xi∂xiΩk + BeβikΩk + Cδαβ eγikΩk =∂xβ∂xα∂xγ= Aeαβk Ωk + Beβαk Ωk = (A − B)eαβk Ωk = 0, (11.5)îòêóäà A = B .Òðàäèöèîííî òåíçîð âÿçêèõ íàïðÿæåíèé çàïèñûâàþò â ôîðìå∂vα∂vβ2∂vγ∂vγσαβ = η+− δαβ+ ζδαβ.(11.6)∂xβ∂xα3∂xγ∂xγÊîìáèíàöèÿ òåíçîðîâ â êðóãëûõ ñêîáêàõ óäîáíà òåì, ÷òî èìååò íóëåâîé ñëåä. Êîýôôèöèåíò η íàçûâàþò äèíàìè÷åñêîé âÿçêîñòüþ èëè ïðîñòî âÿçêîñòüþ. Êîýôôèöèåíò ζ íàçûâàþò âòîðîé âÿçêîñòüþ. Ìîæíîïîêàçàòü, ÷òî η è ζ ïîëîæèòåëüíû (ýòî ñëåäóåò èç çàêîíà âîçðàñòàíèÿýíòðîïèè).Ñ ó÷åòîì âÿçêîñòè óðàâíåíèå äâèæåíèÿ æèäêîñòè (1.3) ïðèíèìàåòâèäρ∂παβ∂pdvα=+ ρgα = −+ ρgα +dt∂xβ∂xα ∂∂vα∂vβ2∂vγ∂vγ+η+− δαβ+ ζδαβ.
(11.7)∂xβ∂xβ∂xα3∂xγ∂xγÊîýôôèöèåíòû η è ζ , âîîáùå ãîâîðÿ, çàâèñÿò îò p è ρ. Íî çà÷àñòóþèçìåíåíèå ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ íåçíà÷èòåëüíî, è èõ ìîæíî âûíåñòè èç84ïîä çíàêà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ:ρηd~v= −∇p + ρ~g + η4~v ++ ζ ∇div ~v .dt3(11.8)Óðàâíåíèå (11.8) ñ ~g = 0 íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Íàâüå Ñòîêñà. íåñæèìàåìîé æèäêîñòè îíî ïðèíèìàåò âèä∇pd~v=−+ ν4~v ,dtρ(11.9)ãäå êîýôôèöèåíò ν = η/ρ íàçûâàþò êèíåìàòè÷åñêîé âÿçêîñòüþ.2.12 Çàêîí ïîäîáèÿÏóñòü u è L õàðàêòåðíûå ñêîðîñòü è ïðîñòðàíñòâåííûé ìàñøòàá íåêîòîðîãî ñòàöèîíàðíîãî òå÷åíèÿ (ðèñ. 2.12). Åñëè æèäêîñòü íåñæèìàåìàÿ,à êèíåìàòè÷åñêàÿ âÿçêîñòü ν = const, òî äâèæåíèå æèäêîñòè îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè (1.12) è (11.9).
 áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ~r 0 =~r,L~v 0 =~v,ut0 =ut,Lp0 =pρu2(12.1)ýòè óðàâíåíèÿ ïðèíèìàþò âèädiv0~v 0 = 0,∂~v 0ν 0 04 ~v+ (~v 0 ∇0 )~v 0 = −∇0 p0 +0∂tLu(12.2)(øòðèõè ó îïåðàòîðîâ îçíà÷àþò äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî áåçðàçìåðíûìêîîðäèíàòàì). Ðåøåíèå ñèñòåìû (12.2) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ãåîìåòðèåé çàäà÷è è áåçðàçìåðíûì ïàðàìåòðîì<=Lu,ν(12.3)íàçûâàåìûì ÷èñëîì Ðåéíîëüäñà.
Òàêèì îáðàçîì, òå÷åíèÿ îäèíàêîâîãîòèïà ñ îäèíàêîâûì ÷èñëîì Ðåéíîëüäñà ïîäîáíû (çàêîí ïîäîáèÿ). ñëó÷àå áîëåå ñëîæíîãî äâèæåíèÿ æèäêîñòè (íåñòàöèîíàðíîãî,â ïîëå òÿæåñòè è ò. ï.) òèï ðåøåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ áîëüøèì ÷èñëîì áåçðàçìåðíûõ ïàðàìåòðîâ, òîæå èìåþùèõ ñâîè íàçâàíèÿ.Çàêîíû ïîäîáèÿ ïîëåçíû òåì, ÷òî ïîçâîëÿþò ïðèìåíÿòü ðåçóëüòàòûýêñïåðèìåíòîâ íàä ìàëåíüêèìè ìîäåëÿìè ê íàñòîÿùèì îáúåêòàì ïðèóñëîâèè îäèíàêîâîñòè áåçðàçìåðíûõ ïàðàìåòðîâ.85Ðèñ. 2.12: Ïðèìåðû õàðàêòåðíûõ ïàðàìåòðîâ òå÷åíèÿ2.13 Óðàâíåíèå òåïëîïåðåíîñàÏóñòü íà æèäêîñòü íå äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû (~g = 0) è æèäêîñòüíå íàãðåâàåòñÿ âíåøíèìè èñòî÷íèêàìè òåïëà.
Òîãäà, ïðè íàëè÷èè äèññèïàòèâíûõ ïðîöåññîâ, óðàâíåíèå áàëàíñà ýíåðãèè ïðèíèìàåò âèä∂ ρv 2+ ρε =∂t2 2∂∂Tv=−+ ε + vα p − σαβ vβ − æρvα. (13.1)∂xα2∂xαÇäåñü ε âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ åäèíèöû ìàññû, T òåìïåðàòóðà, æ òåïëîïðîâîäíîñòü æèäêîñòè. Ñëàãàåìûå â êðóãëûõ ñêîáêàõ (â ëåâîé÷àñòè óðàâíåíèÿ) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïîëíóþ ýíåðãèþ (êèíåòè÷åñêóþè âíóòðåííþþ) åäèíèöû îáúåìà. Ñëàãàåìûå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ ñóòüïîòîê ýíåðãèè, êîòîðûé ñêëàäûâàåòñÿ èç êîíâåêòèâíîãî ïåðåíîñà ýíåðãèè âìåñòå ñ æèäêîñòüþ (ïåðâîå ñëàãàåìîå), ðàáîòû âíóòðåííèõ ñèë(âòîðîå è òðåòüå ñëàãàåìûå) è òåïëîïðîâîäíîñòè (÷åòâåðòîå ñëàãàåìîå).Âûðàæåíèå äëÿ ðàáîòû âíóòðåííèõ ñèë òðåáóåò ïîÿñíåíèé.
Ïóñòü~ äåéñòâóåò ñèëà dF~ .  åäèíà îáúåì dV ÷åðåç ýëåìåíò åãî ïîâåðõíîñòè dSíèöó âðåìåíè âíóòðåííèå ñèëû ñîâåðøàþò íàä îáúåìîì ðàáîòóZZZ~A = ~v dF = vβ dFβ = − vβ πβα dSα =ZZ= vβ (pδαβ − σαβ ) dSα = (vα p − σαβ vβ ) dSα , (13.2)îòêóäà è ñëåäóåò âûïèñàííîå âûøå âûðàæåíèå.Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé íåïðåðûâíîñòè (1.1) è äâèæåíèÿ (1.3) ìîæíî èç (13.1) èñêëþ÷èòü êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ è ïîëó÷èòü óðàâíåíèå86òåïëîïåðåíîñà:ρTds∂vα= σαβ+ div (æ∇T ).dt∂xβ(13.3)Çäåñü â ëåâîé ÷àñòè ñòîèò êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîëó÷åííîé åäèíèöåéîáúåìà â åäèíèöó âðåìåíè, à ñïðàâà òåïëîòà, âûäåëèâøàÿñÿ âñëåäñòâèå âÿçêîé äèññèïàöèè èëè ïðèøåäøàÿ èç ñîñåäíèõ ñëîåâ æèäêîñòèâ ðåçóëüòàòå òåïëîïåðåíîñà.Ñòðîãèé âûâîä (13.3) äîâîëüíî ãðîìîçäîê, íî åãî îñíîâíûå ìîìåíòûìîæíî ïîíÿòü èç ñëåäóþùèõ ñîîáðàæåèé.
Âñå ñëàãàåìûå, íå ñîäåðæàùèå σαβ è æ, ïóòåì ñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ãðóïïèðóþòñÿ â ëåâóþ÷àñòü (13.3), òàê ÷òî â èäåàëüíîé æèäêîñòè óðàâíåíèå (13.1) ïåðåõîäèòâ óðàâíåíèå àäèàáàòè÷íîñòèρTds= 0.dt(13.4)Ñëàãàåìûå, ñîäåðæàùèå σαβ è æ, ïðîñòî ïåðåïèñûâàþòñÿ èç ïðàâîé ÷àñòè (13.1) â ïðàâóþ ÷àñòü (13.3). Êðîìå òîãî, â ïðîöåññå èñêëþ÷åíèÿ èç(13.1) ïðîèçâîäíîé ∂(ρv 2 )/∂t èñïîëüçóåòñÿ óðàâíåíèå äâèæåíèÿvα∂∂ρvα= −vα(ρvα vβ + pδαβ − σαβ ) ,∂t∂xβ(13.5)âñëåäñòâèå ÷åãî â ïðàâîé ÷àñòè (13.3) äîïîëíèòåëüíî ïîÿâëÿåòñÿ ñëàãàåìîå −vα ∂σαβ /∂xβ , êîòîðîå äàåò−vα∂σαβ∂σαβ vβ∂vα+= σαβ.∂xβ∂xα∂xβ(13.6)Åñëè æèäêîñòü ìîæíî ñ÷èòàòü íåñæèìàåìîé, à êîýôôèöèåíòû η è æ êîíñòàíòàìè, òî óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ.
Ïîñêîëüêó∂vγ= div ~v = 0,(13.7)∂xγèìååì2∂vα∂vα∂vβ ∂vαη ∂vα∂vβσαβ=η+=+.(13.8)∂xβ∂xβ∂xα ∂xβ2 ∂xβ∂xαËåâóþ ÷àñòü (13.3) ìîæíî çàïèñàòü â âèäåρTdQdTds=ρ= ρcp,dtdtdt(13.9)ãäå Q êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîëó÷åííîé åäèíèöåé ìàññû, à cp òåïëîåìêîñòü åäèíèöû ìàññû. Ïîñêîëüêó ïðè íàãðåâàíèè æèäêîñòè îáû÷íî87íè÷òî íå ïðåïÿòñòâóåò åå ðàñøèðåíèþ, òåïëîåìêîñòü áåðåòñÿ ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè. Èòàê, óðàâíåíèå òåïëîïåðåíîñà ïðèíèìàåò âèä2dTν∂vα∂vβæ= χ4T ++,χ=.(13.10)dt2cp ∂xβ∂xαρcpÂåëè÷èíà χ íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè.2.14 Ïîâåðõíîñòè ðàçðûâà ïðèíöèïå, ãèäðîäèíàìèêîé äîïóñêàþòñÿ ðàçðûâíûå ðåøåíèÿ, ïðè êîòîðûõ õàðàêòåðèçóþùèå æèäêîñòü âåëè÷èíû (ïëîòíîñòü, äàâëåíèå èëèñêîðîñòü) ìåíÿþòñÿ ñêà÷êîì. Îäíàêî ïîòîêè âåùåñòâà, èìïóëüñà è ýíåðãèè ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ðàçðûâà äîëæíû áûòü íåïðåðûâíûìè.
 èäåàëüíîé ãèäðîäèíàìèêå ýòè óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè ïðèíèìàþò âèävx(14.1){ρvx } = 0,p + ρvx2 = 0,(14.2){ρvx~vt } = 0, 2ρvv+ ρε + pvx = ρvx+w= 0,222(14.3)(14.4)ãäå îñü ~x ïåðïåíäèêóëÿðíà ïîâåðõíîñòè ðàçðûâà, v~t òàíãåíöèàëüíàÿêîìïîíåíòà ñêîðîñòè, w ýíòàëüïèÿ åäèíèöû ìàññû; ôèãóðíûå ñêîáêèîçíà÷àþò ñêà÷îê âåëè÷èíû ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ðàçðûâ.
Èç óðàâíåíèé(14.114.4) èìååì:åñëè ρvx = 0,òî {p} = 0;(14.5)åñëè ρvx 6= 0,òî {~vt } = 0.(14.6)Ïîâåðõíîñòè ðàçðûâà êëàññèôèöèðóþòñÿ â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêàÿâåëè÷èíà òåðïèò ðàçðûâ:òàíãåíöèàëüíûé ðàçðûâ:ρvx = 0,{p} = 0,{~vt } =6 0,êîíòàêòíûé ðàçðûâ:ρvx = 0,{p} = 0,{ρ} =6 0,óäàðíàÿ âîëíà:ρvx 6= 0,{p} =6 0,{~vt } = 0.2.15 Óäàðíàÿ àäèàáàòàÍàéäåì, êàê ñîîòíîñÿòñÿ ìåæäó ñîáîé äàâëåíèÿ è ïëîòíîñòè ñ ðàçíûõñòîðîí óäàðíîé âîëíû. Áóäåì ðàáîòàòü â ñèñòåìå îòñ÷åòà, â êîòîðîé ðàçðûâ ïîêîèòñÿ, ~vt = 0 è vx > 0 (ðèñ. 2.13,à ). Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè88ïîâåðõíîñòü ðàçðûâà ìîæíî ñ÷èòàòü ïëîñêîé.
Èç óðàâíåíèé (14.114.4)â íàøåì ñëó÷àå ñëåäóåò:ρ 1 v1 = ρ 2 v2p1 +v122ρ1 v12(v ≡ vx ),(15.1)ρ2 v22 ,(15.2)= p2 ++ w1 =v222+ w2 .(15.3)Ââåäåì îáúåì åäèíèöû ìàññû V = 1/ρ è ïîòîê âåùåñòâà ÷åðåç ðàçðûâj = ρv . Èç (15.2) èìååìp1 − p2 = ρ2 v22 − ρ1 v12 = j 2 (V2 − V1 ),p2 − p1= −j 2 < 0.V2 − V1(15.4)Èç ýòîãî íåðàâåíñòâà è òðåáîâàíèÿ âîçðàñòàíèÿ ýíòðîïèè (ôîðìóëà(15.13)) ñëåäóåò, ÷òî â óäàðíîé âîëíåp2 > p1 ,V2 < V1 ,(15.5)ò. å. âåùåñòâî âñåãäà ïåðåõîäèò èç îáëàñòè ìåíüøåãî äàâëåíèÿ â îáëàñòüáîëüøåãî è ñæèìàåòñÿ ïðè ýòîì.
Ïîäñòàâëÿÿ (15.4) â (15.3), ïîëó÷àåìj2v12 − v22= (V12 − V22 ),22(p2 − p1 )(V1 + V2 )w2 − w1 =.2w2 − w1 =а(15.6)бÐèñ. 2.13: Ãåîìåòðèÿ çàäà÷è (à) ; óäàðíàÿ àäèàáàòà äëÿ äâóõàòîìíîãîãàçà (á)89Óðàâíåíèå (15.6) íàçûâàåòñÿ óäàðíîé àäèàáàòîé, èëè àäèàáàòîé Ãþãîíèî. Âìåñòå ñ óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ âåùåñòâà îíî ïîçâîëÿåò ïðè çàäàííûõ ïàðàìåòðàõ ãàçà â îäíîé îáëàñòè íàéòè çàâèñèìîñòü p(V ) â äðóãîé.Äëÿ äàëüíåéøåãî ïðîäâèæåíèÿ íóæíî êîíêðåòèçèðîâàòü óðàâíåíèåñîñòîÿíèÿ âåùåñòâà. Íàèáîëåå ïðàêòè÷åñêè âàæíûì ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéèäåàëüíîãî ãàçà ñ ýíòàëüïèåéw=γpV + const.γ−1(15.7)Ïîñëå àðèôìåòè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé óðàâíåíèÿ (15.6)2γ(p2 V2 − p1 V1 ) = (γ − 1)(p2 − p1 )(V1 + V2 ),V2 (2γp2 + (γ − 1)(p1 − p2 )) = V1 (2γp1 + (γ − 1)(p2 − p1 ))óäàðíàÿ àäèàáàòà äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà ïðèíèìàåò âèäV2(γ − 1)p2 + (γ + 1)p1A1==,V1(γ + 1)p2 + (γ − 1)p1A2(15.8)A1 = (γ − 1)p2 + (γ + 1)p1 ,(15.9)A2 = (γ + 1)p2 + (γ − 1)p1 .(15.10)ãäåÏðè çàäàííûõ p1 è V1 çàâèñèìîñòü p2 (V2 ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãèïåðáîëóñî ñìåùåííûìè îòíîñèòåëüíî îñåé àñèìïòîòèêàìè (ðèñ.
2.13,á ).Èíòåðåñíî íàéòè èçìåíåíèå ýíòðîïèè ãàçà ïðè åãî ïðîõîæäåíèè ÷åðåç ôðîíò óäàðíîé âîëíû (ýíòðîïèÿ íå ñîõðàíÿåòñÿ äàæå â ìîäåëè èäåàëüíîãî ãàçà). Äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà èìååìs = cv ln(pV γ ) + const,(15.11)ãäå cv òåïëîåìêîñòü åäèíèöû ìàññû ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå. Ïîñêîëüêó1∂ ln V21∂ ln A1∂ ln A21 ds2=+γ=+γ−γ,(15.12)cv dp2p2∂p2p2∂p2∂p2ïîëó÷àåì1 ds21γ(γ − 1) γ(γ + 1)(γ 2 − 1)(p2 − p1 )2=+−=> 0.cv dp2p2A1A2p2 A1 A2(15.13)Èòàê, âòîðûì çàêîíîì òåðìîäèíàìèêè ðàçðåøåíû òîëüêî óäàðíûå âîëíû ñ p2 > p1 , ïðè÷åì óâåëè÷åíèå ýíòðîïèè òåì áîëüøå, ÷åì áîëüøåðàçíîñòü äàâëåíèé íà ðàçðûâå.90Âàæíîé õàðàêòåðèñòèêîé óäàðíîé âîëíû ÿâëÿåòñÿ ñêîðîñòü åå äâèæåíèÿ â íåïîäâèæíîì ãàçå, ò.
å. â íàøåé ñèñòåìå îòñ÷åòà ñêîðîñòü v1 .Íàéäåì åå. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ (15.8) è (15.4):V2 − V1A1 − A22(p1 − p2 )==,V1A2(γ + 1)p2 + (γ − 1)p1(γ + 1)p2 + (γ − 1)p1p1 − p2=,j2 =V2 − V12V1îòêóäà(γ + 1)(p2 − p1 ).v12 = j 2 V12 = γp1 V1 1 +2γp1(15.14)(15.15)(15.16)Ñóììà, ñòîÿùàÿ â ñêîáêå, âñåãäà áîëüøå åäèíèöû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
