1625915574-ba679e180264e0f82c994c8dd0b7c5fc (843950), страница 16
Текст из файла (страница 16)
 ÷àñòíîñòè, ïðè âîçíèêíîâåíèè òóðáóëåíòíîñòè òàêæå âîçìîæíû ìÿãêèé è æåñòêèé ðåæèìû.1132.24 Êîíâåêòèâíûé ïåðåíîñ òåïëà îòñóòñòâèå êîíâåêöèè òåïëîïåðåíîñ â æèäêîñòè îïðåäåëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî òåïëîïðîâîäíîñòüþ, è äëÿ ïîòîêà ýíåðãèè ìîæíî çàïèñàòüq = −æ∂T∝ T0 − T1 ∝ R.∂z(24.1)Ñ ïîÿâëåíèåì êîíâåêöèè ê ýòîìó âûðàæåíèþ äîáàâëÿåòñÿ ñëàãàåìîå∆q= hρcp T 0 vz i ,(24.2)ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé äîïîëíèòåëüíóþ òåïëîâóþ ýíåðãèþ (ρcp T 0 â ðàñ÷åòå íà åäèíèöó îáúåìà), ïîòîê êîòîðîé óñðåäíÿåòñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîìó ñå÷åíèþ æèäêîñòè. Ôîðìóëó (24.2) ìîæíî òàêæå ñòðîãî ïîëó÷èòüèç âûðàæåíèÿ äëÿ ïîëíîãî ïîòîêà ýíåðãèè (13.1). Ïîñêîëüêó∆q∝ T 0 v ∝ v 2 ∝ W,(24.3)êîíâåêòèâíàÿ äîáàâêà ê ïîòîêó òåïëà îêàçûâàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíîéêèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè æèäêîñòè (ðèñ.
2.26).Ðèñ. 2.26: Óâåëè÷åíèå òåïëîïåðåíîñà ñ ðîñòîì òåìïåðàòóðû ïðè ìÿãêîìè æåñòêîì âîçáóæäåíèè êîíâåêöèè114Ãëàâà 3Òåîðèÿ óïðóãîñòè3.1 Òåíçîð äåôîðìàöèèÇíà÷èòåëüíóþ ÷àñòü òåîðèè óïðóãîñòè ñîñòàâëÿåò ìåõàíèêà òâåðäûõòåë è, â ÷àñòíîñòè, èçó÷åíèå äåôîðìàöèé è âîçíèêàþùèõ ïðè ýòîì ìåõàíè÷åñêèõ íàïðÿæåíèé.Ïóñòü â ðåçóëüòàòå äåôîðìàöèè ýëåìåíò òåëà, èñõîäíî èìåâøèé êîîðäèíàòû ~r, ñìåñòèëñÿ íà ðàññòîÿíèå ~u (âåêòîð ñìåùåíèÿ) è îêàçàëñÿâ òî÷êå~r 0 = ~r + ~u(~r).(1.1)Åñëè äî äåôîðìèðîâàíèÿ ðàäèóñ-âåêòîð ìåæäó êàêèìè-ëèáî áëèçêèìè√ òî÷êàìè òåëà áûë d~x, à ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè ðàâíÿëîñü dl =dxα dxα (ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ èíäåêñàì ïðîèçâîäèòñÿ ñóììèðîâàíèå),òî ïîñëå äåôîðìèðîâàíèÿ îíî ñòàëî dl0 , ïðè÷åì2∂uα(dl ) == dxα +dxβ=∂xβ∂uα ∂uα∂uαdxα dxβ +dxβ dxγ = dl2 + 2uαβ dxα dxβ , (1.2)= dxα dxα + 2∂xβ∂xβ ∂xγ0 2dx0α dx0αãäåuαβ1=2∂uα∂uβ∂uγ ∂uγ++∂xβ∂xα∂xα ∂xβ(1.3) òåíçîð äåôîðìàöèè.
Âñþäó äàëåå áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ òîëüêî ìàëûå äåôîðìàöèè, äëÿ êîòîðûõ ∂uα 1 ∂uα∂uβ 1,u=+.(1.4)αβ ∂xβ 2 ∂xβ∂xα115Ïî îïðåäåëåíèþ òåíçîð äåôîðìàöèè ñèììåòðè÷åí. Ñëåäîâàòåëüíî,åãî ìîæíî ïðèâåñòè ê ãëàâíûì îñÿì, ïðè÷åì â ðàçíûõ òî÷êàõ òåëà íàïðàâëåíèå ãëàâíûõ îñåé ìîæåò áûòü ðàçëè÷íûì. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ëþáóþäåôîðìàöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñæàòèå èëè ðàñòÿæåíèå ïî òðåìâçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûì íàïðàâëåíèÿì (ðèñ.
3.1,à ).абÐèñ. 3.1: Äåôîðìàöèÿ ñäâèãà êàê ñæàòèå è ðàñòÿæåíèå ïî ãëàâíûìîñÿì (à) ; ê îïðåäåëåíèþ òåíçîðà íàïðÿæåíèé (á)Îáîçíà÷èì ãëàâíûå îñè ξ1 , ξ2 è ξ3 . Åñëè äâå áëèçêèå òî÷êè ëåæàòíà ãëàâíîé îñè, òî√i = 1, 2, 3.(1.5)dξi0 = 1 + 2uii dξi ,Ïðè äåôîðìàöèÿ èçìåíÿåòñÿ îáúåì òåëà:dV 0 = dξ10 dξ20 dξ30 =p(1 + 2u11 )(1 + 2u22 )(1 + 2u33 ) dξ1 dξ2 dξ3 ≈≈ (1 + u11 + u22 + u33 ) dV, (1.6)ïðè÷åì îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå îáúåìà ðàâíî ñëåäó òåíçîðà äåôîðìàöèè:dV 0 − dV= uαα = div ~u.(1.7)dVÒåíçîð äåôîðìàöèè ìîæíî òîæäåñòâåííî ïåðåïèñàòü â âèäå11uαβ = uαβ − uγγ δαβ + uγγ δαβ .(1.8)33Èç òàêîé çàïèñè âèäíî, ÷òî ëþáóþ äåôîðìàöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàêñîâîêóïíîñòü íå èçìåíÿþùåé îáúåì äåôîðìàöèè ñäâèãà (ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (1.8)) è âñåñòîðîííåãî ñæàòèÿ (âòîðîå ñëàãàåìîå).1163.2 Òåíçîð íàïðÿæåíèéÒåíçîð íàïðÿæåíèé õàðàêòåðèçóåò âíóòðåííèå ñèëû, âîçíèêàþùèåìåæäó ÷àñòÿìè äåôîðìèðîâàííîãî òåëà.Âûäåëèì âíóòðè òåëà íåêîòîðûé îáúåì.
Íà ýòîò îáúåì ÷åðåç åäèíè÷~ äåéñòâóåò óïðóãàÿ ñèëà dF~ (ðèñ. 3.1,á ).íûé ýëåìåíò åãî ïîâåðõíîñòè dSÏî îïðåäåëåíèþdFα = σαβ dSβ ,(2.1)ãäå σαβ òåíçîð íàïðÿæåíèé. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îí ñèììåòðè÷åí.Êàê âèäíî, â òåîðèè óïðóãîñòè îïðåäåëåíèå òåíçîðà íàïðÿæåíèé òàêîå æå, êàê è â ãèäðîäèíàìèêå ýòî ¾ñèëîâàÿ¿ ñîñòàâëÿþùàÿ òåíçîðàïëîòíîñòè ïîòîêà èìïóëüñà, âçÿòàÿ ñ îáðàòíûì çíàêîì.  ÷àñòíîñòè,ïðè âñåñòîðîííåì ñæàòèè òåëà äàâëåíèåì pσαβ = −pδαβ .(2.2)Óïðóãèå ñèëû ïî ñâîåé ïðèðîäå ñóòü ñèëû ïîâåðõíîñòíûå, ò. å. íàâûäåëåííûé îáúåì îíè äåéñòâóþò òîëüêî ÷åðåç ãðàíèöó ýòîãî îáúåìà.Îäíàêî ìîæíî ïðåäñòàâèòü èõ è â ôîðìå îáúåìíîé ñèëû. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ïîëíîé ñèëû, äåéñòâóþùåé íà îáúåì V , èìååìZZ∂σαβFα = σαβ dSβ =dV.(2.3)∂xβSVÑëåäîâàòåëüíî, äåéñòâèå óïðóãèõ ñèë ýêâèâàëåíòíî äåéñòâèþ ñèëûfα =∂σαβ∂xβ(2.4)íà åäèíèöó îáúåìà òåëà.Óðàâíåíèå ðàâíîâåñèÿ äåôîðìèðîâàííîãî òåëà èìååò âèä∂σαβ+ ρgα = 0,∂xβ(2.5)ãäå ρ~g âíåøíÿÿ îáúåìíàÿ ñèëà.
Ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè äëÿ óðàâíåíèÿ (2.5) áóäóòPα = σαβ nβ ,(2.6)ãäå ~n âíåøíÿÿ íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè òåëà, à P~ âíåøíÿÿ ñèëà,äåéñòâóþùàÿ íà åäèíèöó ïîâåðõíîñòè.1173.3 Çàêîí Ãóêà ñëó÷àå ìàëûõ äåôîðìàöèé ñâÿçü ìåæäó òåíçîðîì íàïðÿæåíèé è òåíçîðîì äåôîðìàöèè ìîæíî ñ÷èòàòü ëèíåéíîé. Îáùèé âèä ëèíåéíîé ñâÿçè ìåæäó äâóìÿ òåíçîðàìè 2-ãî ðàíãà òàêîé:σαβ = λαβγδ uγδ ,(3.1)ãäå λαβγδ íåêèé òåíçîð 4-ãî ðàíãà, çàâèñÿùèé òîëüêî îò ñâîéñòâ ñðåäû.  ñëó÷àå èçîòðîïíîé ñðåäû îáùèé âèä ýòîãî òåíçîðà ìîæíî ïîñòðîèòü èç ñîîáðàæåíèé òåíçîðíîé ðàçìåðíîñòè:λαβγδ = aδαβ δγδ + bδαγ δβδ + cδαδ δβγ(3.2)(a, b è c çäåñü ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû), îòêóäàσαβ = aδαβ uγγ + (b + c)uαβ .(3.3)Òàêèì îáðàçîì, óïðóãèå ñâîéñòâà èçîòðîïíîé ñðåäû õàðàêòåðèçóþòñÿäâóìÿ íåçàâèñèìûìè êîýôôèöèåíòàìè.Ñâÿçü ìåæäó σαβ è uαβ îáû÷íî çàïèñûâàþò â ôîðìå1σαβ = 2µ uαβ − uγγ δαβ + Kuγγ δαβ(3.4)3(çàêîí Ãóêà).
Êîýôôèöèåíò µ íàçûâàþò ìîäóëåì ñäâèãà, êîýôôèöèåíòK ìîäóëåì âñåñòîðîííåãî ñæàòèÿ. Ôîðìóëó (3.4) ëåãêî îáðàòèòü. Ïîñêîëüêóσγγ = 3Kuγγ ,(3.5)èìååìuαβ11σγγ δαβ +=9K2µσαβ1− σγγ δαβ .3(3.6)3.4 Ïðîñòûå äåôîðìàöèèÏðîñòûìè íàçûâàþòñÿ äåôîðìàöèè, ïðè êîòîðûõ â òåíçîðå íàïðÿæåíèéîòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî îäíà êîìïîíåíòà. Ïðèìåðîì ïðîñòîé äåôîðìàöèè ìîæåò ñëóæèòü ñæàòèå ïðÿìîóãîëüíîãî áðóñêà äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè (ðèñ. 3.2).118Ðèñ.
3.2: Ïðèìåð ïðîñòîé äåôîðìàöèèÏóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî êîìïîíåíòà σzz .Òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ (3.6)σzzσzzσzz+≡,9K3µEσzzσzzuxx = uyy =−≡ −σuzz ,9K6µuxy = uyx = uxz = uzx = uyz = uzy = 0,uzz =ãäå, ïî îïðåäåëåíèþ,E=9Kµµ + 3K(4.1)(4.2)(4.3)(4.4) ìîäóëü Þíãà,σ=−2µ − 3K3K − 2µE=18Kµ2(µ + 3K)(4.5) êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà.
Äëÿ îïèñàíèÿ ïðîñòûõ äåôîðìàöèé ïàðà êîýôôèöèåíòîâ E è σ îêàçûâàåòñÿ áîëåå óäîáíîé. Ñëîæåíèåì èëè âû÷èòàíèåì (4.1) è (4.2) ëåãêî ïîëó÷àþòñÿ îáðàòíûå ôîðìóëû:11σ=+2µEE112σ=−3KEE⇒⇒E,2(1 + σ)EK=.3(1 − 2σ)µ=(4.6)(4.7)Îòìåòèì, ÷òî äëÿ æèäêîñòè, åñëè åå ðàññìàòðèâàòü êàê óïðóãóþñðåäó,µ = 0, K > 0, E = 0, σ = 1/2.(4.8)3.5 Ýíåðãèÿ äåôîðìàöèè îòëè÷èå îò æèäêîñòåé è ãàçîâ, ñòåïåíü ñæàòèÿ óïðóãîé ñðåäû íåëüçÿõàðàêòåðèçîâàòü ñêàëÿðíûì äàâëåíèåì. Âìåñòî äàâëåíèÿ ïîÿâëÿåòñÿ119òåíçîðíàÿ âåëè÷èíà σαβ . Ñîîòâåòñòâåííî, èçìåíÿþòñÿ âûðàæåíèÿ äëÿòåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ.Íàéäåì èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ýëåìåíòà ñðåäû ïðè åãî äåôîðìàöèè.
Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì ðàáîòó äåôîðìèðóþùåé âíåøíåé ñèëû F~ :II~δA = δ~u dF = δuα σαβ dSβ ,(5.1)ãäå δ~u èçìåíåíèå âåêòîðà ñìåùåíèÿ, à èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî ïîâåðõíîñòè ðàññìàòðèâàåìîãî îáúåìà ñðåäû. Ïåðåéäåì ê èíòåãðèðîâàíèþ ïî îáúåìó è áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äåôîðìàöèÿ ïðîèñõîäèò ìåäëåííî,è â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ëþáàÿ ÷àñòü ñðåäû íàõîäèòñÿ ïî÷òè â ðàâíîâåñèè. ÒîãäàZδA =ZZ∂ σαβ δuα∂σαβ∂δuαdV =δuα dV + σαβdV =∂xβ∂xβ∂xβZZσαβ ∂δuα∂δuβ∂δuαdV =+= σαβdV =∂xβ2∂xβ∂xαZ= σαβ δuαβ dV.
(5.2)Òàêèì îáðàçîì, èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè åäèíèöû îáúåìà ðàâíîδε = T δs + δA = T δs + σαβ δuαβ .(5.3)Èçìåíåíèå ýíòðîïèè âåùåñòâà ïðè åãî äåôîðìàöèè (δs) îïðåäåëèòüñëîæíî, ïîýòîìó â êà÷åñòâå ýíåðãåòè÷åñêîé õàðàêòåðèñòèêè äåôîðìàöèè óäîáíåå ïîëüçîâàòüñÿ ñâîáîäíîé ýíåðãèåéF = ε − T s,δF = −s δT + σαβ δuαβ .(5.4)Ïðè ïîìîùè çàêîíà Ãóêà óïðóãóþ äîáàâêó ê ýíåðãèè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà:ih uγγδαβ + Kuγγ δαβ δuαβ =σαβ δuαβ = 2µ uαβ −3 2 Kuγγ= δ µ uαβ −δαβ + u2γγ .
(5.5)32Òàêèì îáðàçîì, ýíåðãèÿ äåôîðìàöèè ðàâíà2 KuγγFäåô = µ uαβ −δαβ + u2γγ .32120(5.6)Åñëè äåôîðìàöèÿ ïðîèñõîäèò ïðè ïîñòîÿííîé òåìïåðàòóðå (÷òî äëÿìåäëåííûõ äåôîðìàöèé ÷àñòî èìååò ìåñòî), òî èçìåíåíèå ñâîáîäíîéýíåðãèè ñðåäû ðàâíî ýíåðãèè äåôîðìàöèè. îòñóòñòâèå äåôîðìàöèè ýíåðãèÿ äîëæíà áûòü ìèíèìàëüíîé. Ñëåäîâàòåëüíî,µ ≥ 0,K≥0⇒E ≥ 0,σ ≤ 1/2.(5.7)Çàìåòèì òàêæå, ÷òî îáû÷íî σ > 0, ò. å. ïîäàâëÿþùåå áîëüøèíñòâî âåùåñòâ ïðè ðàñòÿæåíèè â îäíîì íàïðàâëåíèè ñæèìàåòñÿ â äâóõ äðóãèõ.3.6 Çâóê â òâåðäîì òåëåÅñëè íà íåêîòîðûé ìàëûé îáúåì ñðåäû äåéñòâóþò íåñêîìïåíñèðîâàííûå óïðóãèå ñèëû, òî ýòîò îáúåì áóäåò óñêîðÿòüñÿ ïî çàêîíóρi∂ 2 uα∂σαβ∂ h uγγ=δ=2µu−+Kuδ.αβαβγγαβ∂t2∂xβ∂xβ3(6.1)Ïîñêîëüêó1 ∂∂uαβ=∂xβ2 ∂xβ∂uα∂uβ+∂xβ∂xα=114uα + ∇α div ~u,22(6.2)èìååìρ∂ 2 ~u2µ= µ4~u + µ∇div ~u −∇div ~u + K∇div ~u =∂t23µ= µ4~u ++ K ∇div ~u.
(6.3)3Âåêòîð ñìåùåíèÿ âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå~u = ~ut + ~ul ,div ~ut = 0,rot ~ul = 0.(6.4)Âçÿâ äèâåðãåíöèþ óðàâíåíèÿ (6.3), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå íà ~ul :ρµ∂ 2 div ~ul= µ4div ~ul ++ K 4div ~ul ,2∂t 3∂ 2 ~ul4µdiv ρ 2 −+ K 4~ul = 0.∂t3(6.5)Ïîñêîëüêó ðîòîð âûðàæåíèÿ â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ òàêæå ðàâåí íóëþ,ýòî âûðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèåé êîîðäèíàò.
Òàê êàê121â îòñóòñòâèå äåôîðìàöèé (ïðè ~ul ≡ 0) ñðåäà íàõîäèòñÿ â ïîêîå, ýòàôóíêöèÿ ðàâíà íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî,1 4µ∂ 2 ~ul22= cl 4~ul ,cl =+K .(6.6)∂t2ρ 3Ìû ïîëó÷èëè âîëíîâîå óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå ðàñïðîñòðàíåíèå ïðîäîëüíîãî çâóêà â óïðóãîé ñðåäå. Âåëè÷èíà cl íàçûâàåòñÿ ïðîäîëüíîéñêîðîñòüþ çâóêà.  ñëó÷àå ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíûhirot ~ul = i~k × ~ul = 0 ⇒ ~ul k ~k,(6.7)îòñþäà è íàçâàíèå.Àíàëîãè÷íî, âçÿâ ðîòîð (6.3), ïîëó÷àåì âîëíîâîå óðàâíåíèå äëÿ ïîïåðå÷íîãî çâóêà:ρ∂ 2 rot ~ut= µ4rot ~ut ,∂t2∂ 2 ~ut= c2t 4~ut ,∂t2c2t =(6.8)µ,ρ(6.9)ãäå ct ïîïåðå÷íàÿ ñêîðîñòü çâóêà.  ïëîñêîé ïîïåðå÷íîé âîëíå ~ut ⊥ ~k .Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó (5.7) âñåãäàcl > ct .(6.10)3.7 Ïðîäîëüíûå êîëåáàíèÿ ñòåðæíåéÑêîðîñòü çâóêîâîé âîëíû â îãðàíè÷åííîì òâåðäîì òåëå ìîæåò îêàçàòüñÿ èíîé, íåæåëè â íåîãðàíè÷åííîì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
