1625915574-ba679e180264e0f82c994c8dd0b7c5fc (843950), страница 11
Текст из файла (страница 11)
2.8,á ).  òîì æå íàïðàâëåíèè è ñ òîé æåñêîðîñòüþ áóäåò äâèãàòüñÿ è âèõðü ¾2¿. Ýòà ìîäåëü òàêæå îïèñûâàåòïîâåäåíèå îòäåëüíîãî âèõðÿ îêîëî ïëîñêîé ñòåíêè. Âèõðü âçàèìîäåéñòâóåò ñ âèõðåì-èçîáðàæåíèåì è äâèãàåòñÿ âäîëü ñòåíêè ñî ñêîðîñòüþ(7.9).Äâà îäèíàêîâûõ âèõðÿ, î÷åâèäíî, áóäóò êðóòèòüñÿ äðóã âîêðóã äðóãà (ðèñ. 2.8,â ) ñî ñêîðîñòüþ (7.9).Çíàÿ, êàê âåäóò ñåáÿ îòäåëüíûå ïðÿìîëèíåéíûå âèõðè, ìîæíî ïîíÿòü êà÷åñòâåííóþ êàðòèíó äâèæåíèÿ âèõðåâîãî êîëüöà (ðèñ. 2.8,ã ).Ïðîòèâîïîëîæíûå ó÷àñòêè êîëüöà â äàííîì ñëó÷àå âûñòóïàþò ïîäîáíî75ðàçíîèìåííûì ïðÿìîëèíåéíûì âèõðÿì è ñîçäàþò ïîëå ñêîðîñòåé, â êîòîðîì êîëüöî äâèæåòñÿ êàê öåëîå ïåðïåíäèêóëÿðíî ñâîåé ïëîñêîñòè.2.8 ÇâóêÏóñòü â îäíîðîäíîé èäåàëüíîé æèäêîñòè åñòü ìàëîå âîçìóùåíèå.
Áóäåìîáîçíà÷àòü íåâîçìóùåííûå âåëè÷èíû èíäåêñîì ¾0¿, à èõ âîçìóùåíèÿ áóêâîé δ :p = p0 + δp,ρ = ρ0 + δρ,p0 = const,s = s0 + δs,ρ0 = const,~v = δ~v ,(8.1)s0 = const.Óðàâíåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè (1.1), (1.8) è (1.9) ïîñëå ëèíåàðèçàöèè(ò. å. âûáðàñûâàíèÿ êâàäðàòè÷íûõ ïî àìïëèòóäå âîçìóùåíèÿ ñëàãàåìûõ) ïðèíèìàþò âèä∂δρ+ ρ0 div ~v = 0,∂t∂~v∇δp=−,∂tρ0∂δs= 0.∂t(8.2)(8.3)(8.4) ñèëó (8.4) èìååìδp = ∂p∂pδρ +δs = c2s δρ,∂ρ s∂s ρ(8.5)òàê ÷òî ñèñòåìà (8.2), (8.3) ñâîäèòñÿ ê âîëíîâîìó óðàâíåíèþ:∂ 2 δρ∂~vδp= −ρ0 div= ρ0 div ∇ ,∂t2∂tρ0∂ 2 δρ− c2s 4δρ = 0.∂t2(8.6)Î÷åâèäíî, òàêèå æå óðàâíåíèÿ ïîëó÷àþòñÿ äëÿ δp è ~v .Ðåøåíèåì (8.6) ÿâëÿåòñÿ ñîâîêóïíîñòü ïëîñêèõ âîëí ñ ðàçëè÷íûìè~k è ÷àñòîòàìèω = ±kcs .(8.7)Èç (8.3) è (8.5) íàõîäèì, ÷òî â ïëîñêîé âîëíå~v = ±cs76~k δρ.kρ(8.8)2.9 Ýíåðãèÿ è èìïóëüñ ïëîñêîé çâóêîâîéâîëíûÍàéäåì ýíåðãåòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîéçâóêîâîé âîëíû ñ çàäàííûì âîëíîâûì âåêòîðîì ~k .
Ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, â ïðèñóòñòâèè âîëíû ýíåðãèÿ åäèíèöûîáúåìà æèäêîñòè èçìåíÿåòñÿ íà âåëè÷èíó 2 2∂ ρε δρ2ρvρ0 v 2∂ρεδρ +δ+ ρε =+.(9.1)22∂ρ s∂ρ2 s 2Èç òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ñîîòíîøåíèÿdε = T ds − p dV = T ds +íàõîäèìpdρρ2∂ρεp= ε + = w,∂ρ sρãäå w ýíòàëüïèÿ åäèíèöû ìàññû.
Åå äèôôåðåíöèàëdw = T ds + V dp = T ds +îòêóäàc2sdρ,ρ∂ 2 ρεc2s∂w==.∂ρ2 s∂ρ sρÈòàê, ïëîòíîñòü ýíåðãèè çâóêîâîé âîëíû ðàâíàρ0 v 2c2s δρ2ρ0 hv 2 i c2s hδρi2W =+ w0 δρ +=+,22ρ022ρ0(9.2)(9.3)(9.4)(9.5)(9.6)ãäå óãëîâûå ñêîáêè îçíà÷àþò óñðåäíåíèå ïî ïåðèîäó âîëíû; ëèíåéíîåïî àìïëèòóäå âîçìóùåíèÿ ñëàãàåìîå ïðè òàêîì óñðåäíåíèè çàíóëÿåòñÿ.Èç óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè∂W=∂tρ0 v 2c2s δρ2+=22ρ0∇δpc2s= ρ0~v −+ δρ (−ρ0 div ~v ) = − hdiv (~v δp)i (9.7)ρ0ρ0∂∂tïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ïëîòíîñòè ïîòîêà ýíåðãèè çâóêîâîé âîëíû:~ = h~v δpi .S77(9.8) ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíå ïðè ω = kcs~~ = cs W k .SkW = ρ0 v 2 ,(9.9)Êàê è ìîæíî áûëî îæèäàòü, ýíåðãèÿ áåæèò ñî ñêîðîñòüþ çâóêà â íàïðàâëåíèè âåêòîðà ~k .Äëÿ èìïóëüñà âîëíû èìååì*+ *+~kc2 δρ2~k~ks2~ = δ hρ~v i = hδρ ~v i =P=ρ0 v= W.(9.10)ωρ0ωωÑîîòíîøåíèå ìåæäó ýíåðãèåé è èìïóëüñîì âîëíû îêàçûâàåòñÿ òàêèìæå, êàê è â ýëåêòðîäèíàìèêå ñïëîøíûõ ñðåä. Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî çâóêîâóþ âîëíó ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü êàê ñîâîêóïíîñòü êâàíòîâ ñ ýíåðãèåé ~ω è èìïóëüñîì ~~k .Êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ìåæäó ïîòîêàìè ýíåðãèè è èìïóëüñà, î÷åâèäíî, áóäåò òàêèì æå, ÷òî ïîçâîëÿåò ïî àíàëîãèè ñ (9.10)âûïèñàòü ïëîòíîñòü ïîòîêà èìïóëüñà çâóêîâîé âîëíû:Πik =kiki kkki kkSk =· cs W = 2 W.ωω kk(9.11)2.10 Âîëíû íà ðàçäåëå ñðåäÐàññìîòðèì çàäà÷ó î âîëíàõ íà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè â ïîëå òÿæåñòè.Ïóñòü â íåâîçìóùåííîì ñîñòîÿíèè îäíà æèäêîñòü ðàñïîëàãàåòñÿ â îáëàñòè z < 0, èìååò ïëîòíîñòü ρ2 è ïîêîèòñÿ.
Äðóãàÿ æèäêîñòü çàïîëíÿåòïîëóïðîñòðàíñòâî z > 0, èìååò ïëîòíîñòü ρ1 è äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ~u ⊥ ~z (ðèñ. 2.9). Ãðàíèöà ðàçäåëà äâóõ æèäêîñòåé õàðàêòåðèçóåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ α.zgZr1, uZ1=uZax(x,t)xlr2, uZ2=0Ðèñ. 2.9: Ãåîìåòðèÿ çàäà÷è î âîëíàõ íà ðàçäåëå ñðåä78Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ãðàíèöà èñêàçèëàñü, è ïî íåé ïîáåæàëèâîëíû ñ äëèíîé λ è àìïëèòóäîé a λ. Îáû÷íî ïîâåðõíîñòíûå âîëíûáåãóò íàìíîãî ìåäëåííåå çâóêîâûõ, ïîýòîìó ìû ìîæåì ïîëüçîâàòüñÿïðèáëèæåíèåì íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ρi = const (i = 1, 2). Òàêæå áóäåì ñ÷èòàòü äâèæåíèå æèäêîñòè ïîòåíöèàëüíûì.Ñâåðõó è ñíèçó îò ãðàíèöû ðàçäåëà äâèæåíèå æèäêîñòè îïðåäåëÿåòñÿ öåïî÷êîé óðàâíåíèé∆ϕ = 0,∂ϕ v 2p++ + gz = const.∂t2ρ~v = ∇ϕ,(10.1) íåâîçìóùåííîì ñîñòîÿíèèϕi = ~ui~r + const,~vi = ~ui ,pi = p0 − ρi gz,i = 1, 2,(10.2)ãäå p0 äàâëåíèå íà íåâîçìóùåííîé ãðàíèöå, à êîíñòàíòó â âûðàæåíèèäëÿ ϕi ìîæíî áåç ïîòåðè îáùíîñòè ïîëîæèòü ðàâíîé íóëþ.Âîçìóùåíèÿ âåëè÷èí áóäåì îáîçíà÷àòü çíà÷êîì δ .
Ïîñêîëüêó íåâîçìóùåííàÿ ñèñòåìà îäíîðîäíà â íàïðàâëåíèÿõ x è y è ñòàöèîíàðíà,òî ëþáîå ìàëîå âîçìóùåíèå ìîæíî ðàçëîæèòü íà îòäåëüíûå ôóðüåãàðìîíèêè è ðàññìàòðèâàòü êàæäóþ ãàðìîíèêó ïî îòäåëüíîñòè. Êðîìåòîãî, âûáîðîì îñåé ìîæíî çàíóëèòü y -êîìïîíåíòó âîëíîâîãî âåêòîðàè èñêàòü âîçìóùåíèå ïîòåíöèàëà â âèäåδϕi = fi (z)eikx−iωt .(10.3)Ôóíêöèè fi (z) íàõîäèì èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ (10.1):∆ϕ =∂2ϕ ∂2ϕ+= 0,∂x2∂z 2d2 fi− k 2 fi = 0,dz 2(10.4)(10.5)f1,2 = A1,2 e∓kz .Ïðè âûáîðå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (10.4) ìû ó÷ëè, ÷òî âîçìóùåíèå äîëæíîñïàäàòü ïðè óäàëåíèè îò ãðàíèöû ðàçäåëà. Âòîðîå óðàâíåíèå (10.1) äàåòíàì âîçìóùåíèå ñêîðîñòè:δvi,x = ik δϕi ,δvi,y = 0,δvi,z = ∓k δϕi .(10.6)Òîò ôàêò, ÷òî x- è z -êîìïîíåíòû ñêîðîñòè îêàçàëèñü îäèíàêîâûìè ïîìîäóëþ è ñäâèíóòûìè íà ÷åòâåðòü ïåðèîäà (ìíîæèòåëåì ±i), îçíà÷àåò,÷òî äâèæåíèå ýëåìåíòîâ æèäêîñòè ïðîèñõîäèò ïî îêðóæíîñòè.
Òðåòüåóðàâíåíèå (10.1) ïðèíèìàåò âèä−iωδϕi +~ i + δv 2u2i + 2u~i δvp0 − ρi gz + δpii++ gz = p0 .2ρi79(10.7)Ñîêðàùàåì â íåì íåâîçìóùåííûå âåëè÷èíû, ïðåíåáðåãàåì ìàëîñòüþâòîðîãî ïîðÿäêà è íàõîäèì âîçìóùåíèå äàâëåíèÿ:(10.8)δpi = iρi (ω − kui,x )δϕi .Òàêèì îáðàçîì, âîçìóùåíèå æèäêîñòè ñâåðõó è ñíèçó âûðàçèëîñü ÷åðåç äâå êîíñòàíòû A1 è A2 , êîòîðûå íóæíî ñâÿçàòü äðóã ñ äðóãîì íàãðàíèöå.Ìåæäó äâóìÿ æèäêîñòÿìè íå âîçíèêàåò ïóñòîãî ïðîñòðàíñòâà, ïîýòîìó íîðìàëüíûå êîìïîíåíòû ñêîðîñòè æèäêîñòåé íà ãðàíèöå äîëæíûáûòü îäèíàêîâûìè:~n~v1 = ~n~v2 ,(10.9)ãäå ~n âåêòîð íîðìàëè ê ãðàíèöå ðàçäåëà (ðèñ.
2.10,à ). Åãî êîìïîíåíòûâûðàæàþòñÿ ÷åðåç óãîë íàêëîíà ãðàíèöû γ , à îí, â ñâîþ î÷åðåäü, ÷åðåçñìåùåíèå ãðàíèöû ξ :∂ξ= ikξ.(10.10)∂xÈç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî óãîë γ ìàë, ïîðÿäêà a/λ. Ïîýòîìóñ òî÷íîñòüþ äî ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî ýòîé ìàëîñòè~n = (− sin γ, 0, cos γ),γ ≈ tg γ =(10.11)~n ≈ (−γ, 0, 1) ≈ (−ikξ, 0, 1). íîðìàëüíîé êîìïîíåíòå ñêîðîñòè òàêæå ïðåíåáðåãàåì ìàëîñòÿìè âòîðîãî ïîðÿäêà:(10.12)vn = ~n~vi = −ikξ(ui,x + δvi,x ) + δvi,z ≈ −ikξui,x + δvi,z .Êðîìå òîãî, íîðìàëüíàÿ êîìïîíåíòà ñêîðîñòè æèäêîñòè ïðèìåðíî ðàâíà âåðòèêàëüíîé ñêîðîñòè ãðàíèöû (ðèñ. 2.10,á ):∂ξvn=≈ vn .∂tcos γnZgvnx(x,t)(10.13)aRgаS=2bRa∂x∂txxбв2baaF=2abÐèñ. 2.10: Ê ôîðìóëèðîâêå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé: îðèåíòàöèÿ íîðìàëè(à), âû÷èñëåíèå ñêîðîñòè ãðàíèöû (á) è âëèÿíèå ñèëû ïîâåðõíîñòíîãîíàòÿæåíèÿ (ñ)80Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì ïåðâîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå:−ikξux − kδϕ1 = kδϕ2 = −iωξ.(10.14)Ïðè èñêðèâëåíèè ãðàíèöû ñ ðàäèóñîì êðèâèçíû R ñèëà ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ îáåñïå÷èâàåò ðàçíîñòü äàâëåíèé F/S = α/R(ðèñ.
2.10,â ). Ðàäèóñ êðèâèçíû, îòëîæåííûé ñíèçó, îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìîé ãðàíèöû:1∂2ξ≈ − 2 = k 2 ξ.(10.15)R∂xÈòàê, âòîðîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå(10.16)p1 (ξ) = p2 (ξ) + αk 2 ξ,èëè−ρ1 gξ + iρ1 (ω − kux )δϕ1 = −ρ2 gξ + iρ2 ωδϕ2 + αk 2 ξ.(10.17)Óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé(10.14), (10.17) îïðåäåëÿåò èñêîìîå äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå ω(k)äëÿ ïîâåðõíîñòíûõ âîëí. Äëÿ åãî ïîëó÷åíèÿ âûðàçèì δϕi èç (10.14)è ïîäñòàâèì â (10.17):δϕ1 =i(ω − kux )ξ,kδϕ2 = −iωξ,k(ρ1 + ρ2 )ω 2 − 2ρ1 kux ω − (ρ2 − ρ1 )kg + ρ1 k 2 u2x − αk 3 = 0,sρ1 ρ2 k 2 u2xρ1 kux(ρ2 − ρ1 )kg + αk 3±−.ω=ρ1 + ρ2ρ1 + ρ2(ρ1 + ρ2 )2(10.18)(10.19)(10.20)Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ ðåøåííîé çàäà÷è. Åñëè ïðåíåáðå÷ü ïëîòíîñòüþ âåðõíåé ñðåäû è åå äâèæåíèåì, ïîëó÷èì ñâîáîäíûåâîëíû íà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè:sαk 3.(10.21)~u = 0, ρ1 → 0 :ω = ± kg +ρ2 ïðåäåëå áîëüøîé äëèíû ýòè âîëíû íàçûâàþò ãðàâèòàöèîííûìè:pk → 0, λ → ∞ :ω = ± kg.(10.22)Èìåííî òàêèå âîëíû ìû îáû÷íî íàáëþäàåì íà ïîâåðõíîñòè âîäîåìîâ.Êîðîòêèå âîëíû íàçûâàþò êàïèëëÿðíûìè:pk → ∞, λ → 0 :ω = ± αk 3 /ρ2 .(10.23)81Âîçâðàùàþùàÿ ñèëà â ýòîì ñëó÷àå ñîçäàåòñÿ ñèëîé ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ.
Ãðàíèöà ìåæäó äâóìÿ ïðåäåëüíûìè ñëó÷àÿìè îïðåäåëÿåòñÿðàâåíñòâîì ñëàãàåìûõ ïîä êîðíåì â (10.21):pk = k0 ≡ ρ2 g/α.(10.24)Äëÿ ÷èñòîé âîäû îíà ñîîòâåòñòâóåò äëèíå âîëíû îêîëî 2 ñì.Ñëó÷àé ~u = 0, ρ1 6= 0 èíòåðåñåí âîçìîæíîñòüþ òàê íàçûâàåìîéíåóñòîé÷èâîñòè Ðýëåÿ Òåéëîðà, êîòîðàÿ ìåøàåò ðàçìåñòèòü òÿæåëóþæèäêîñòü ïîâåðõ ëåãêîé. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè óñëîâèè ρ1 > ρ2 âûðàæåíèå ïîä êîðíåì â (10.20) ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíûì ïðè ìàëûõ k :~u = 0, ρ1 > ρ2 :Im ω > 0 ïðè k 2 <(ρ1 − ρ2 )g.α(10.25) ñëó÷àå íåîãðàíè÷åííîé ïîâåðõíîñòè äëèíà âîëíû âîçìóùåíèÿ λ ìîæåò áûòü ñêîëü óãîäíî áîëüøîé, à çíà÷åíèå k ñêîëü óãîäíî ìàëûì,ïîýòîìó òÿæåëàÿ æèäêîñòü íå ìîæåò óñòîé÷èâî ïîêîèòüñÿ íàä ëåãêîé.Åñëè æå ðàçìåð ïîâåðõíîñòè îãðàíè÷åí (íàïðèìåð, ñòåíêàìè ñîñóäà)è èìååò õàðàêòåðíûé ìàñøòàá L, òî èìååòñÿ ìèíèìàëüíî âîçìîæíîåk ∼ L−1 , è òÿæåëàÿ æèäêîñòü áóäåò ïîêîèòüñÿ íàä ëåãêîé ïðè óñëîâèèL2 .α.(ρ1 − ρ2 )g(10.26)Ýòó ñèòóàöèþ ìîæíî íàáëþäàòü â òîíêèõ êàïèëëÿðàõ.
Ñèëà ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ ïðåïÿòñòâóåò èñêàæåíèþ ãðàíèöû, è äâå æèäêîñòèíå ìîãóò ïîìåíÿòüñÿ ìåñòàìè.Åñëè æèäêîñòü ïî îáå ñòîðîíû ãðàíèöû îäèíàêîâàÿ, íî ðàçëè÷àåòñÿñêîðîñòüþ äâèæåíèÿ, òî ó ÷àñòîòû ω âñåãäà åñòü íåíóëåâàÿ ìíèìàÿ÷àñòü, è ìû èìååì äåëî ñ íåóñòîé÷èâîñòüþ òàíãåíöèàëüíîãî ðàçðûâà,÷àñòíûì ñëó÷àåì íåóñòîé÷èâîñòè Êåëüâèíà Ãåëüìãîëüöà:ρ1 = ρ2 , α = 0, ~u 6= 0 :Im ω = ±kux /2.(10.27)Ïîýòîìó ðåçêèé ïåðåïàä ñêîðîñòè íå ìîæåò äîëãî ñîõðàíÿòüñÿ â èäåàëüíîé æèäêîñòè. Èíêðåìåíò íåóñòîé÷èâîñòè ôîðìàëüíî ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè óâåëè÷åíèè k , ÷òî åñòü ñëåäñòâèå âûáðàííîé èäåàëèçèðîâàííîé ìîäåëè.  äåéñòâèòåëüíîñòè îáëàñòü, â êîòîðîé ñêîðîñòüèçìåíÿåòñÿ îò 0 äî u, âñåãäà èìååò êîíå÷íóþ òîëùèíó ∆z . Íàøåé ìîäåëüþ ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ òîëüêî ïðè óñëîâèè, ÷òî ïîïåðå÷íûé ìàñøòàáâîçìóùåíèÿ (ðàâíûé k −1 ) âåëèê ïî ñðàâíåíèþ ñ ∆z .
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå èçìåíåíèå ñêîðîñòè íåëüçÿ ñ÷èòàòü ðåçêèì, è âûðàæåíèå (10.27)äëÿ èíêðåìåíòà íå ïðèìåíèìî.82Ïðè ρ1 ρ2 èç âûðàæåíèÿ (10.20) ìîæíî ïîëó÷èòü óñëîâèå âîçáóæäåíèÿ âîëí âåòðîì:αk 3ρ1 k 2 u2xkg +−< 0,(10.28)ρ2ρ2èëèIm ω > 0 ïðè u2x >~u 6= 0, ρ1 ρ2 :ρ2 gαk+.kρ1ρ1(10.29)Ïðàâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà (10.29) êàê ôóíêöèÿ îò k èìååò ìèíèìóì ïðèk = k0 , êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò ñêîðîñòüux = ux0 ≡ (4ρ2 αg/ρ1 )1/4 .(10.30)Èòàê, íà ïîâåðõíîñòè ÷èñòîé âîäû ëåã÷å âñåãî âîçáóäèòü âîëíû ñ äëèíîéîêîëî 2 ñì, è äëÿ ýòîãî íóæíà ñêîðîñòü âåòðà îêîëî 10 ì/ñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
