1625915574-ba679e180264e0f82c994c8dd0b7c5fc (843950), страница 7
Текст из файла (страница 7)
À. ×åðåíêîâ, 1934).Ìåõàíèçì âîçíèêíîâåíèÿ ÷åðåíêîâñêîãî èçëó÷åíèÿ âèäåí íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå. Ïóñòü â ñðåäå åñòü ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà ñ ýëåêòðè45÷åñêèì ïîëåì~ r, t) = E~ 0 ei~k~r−iωtE(~è ÷àñòèöà ñ çàðÿäîì q , äâèæóùàÿñÿ ïî çàêîíó ~r = ~v t (ðèñ. 1.14,à ). Ñîñòîðîíû âîëíû íà ÷àñòèöó áóäåò áóäåò äåéñòâîâàòü ñèëàÏðè óñëîâèè~ v t, t) = q E~ 0 ei(~k~v−ω)t .F~ = q E(~(23.1)ω = ~k~v(23.2)ýòà ñèëà íå áóäåò ìåíÿòüñÿ ñî âðåìåíåì è îáåñïå÷èò ýôôåêòèâíûé îáìåí ýíåðãèåé ìåæäó âîëíîé è ÷àñòèöåé: ÷àñòèöà áóäåò òîðìîçèòüñÿ èëèóñêîðÿòüñÿ â çàâèñèìîñòè îò ôàçû ïîëÿ.
Åñëè äî ïðèëåòà ÷àñòèöû âîëíâ ñðåäå íå áûëî, òî îíè ïîÿâÿòñÿ, ïðè÷åì òîëüêî òàêèå, äëÿ êîòîðûõâûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ÷åðåíêîâñêîãî ðåçîíàíñà (23.2).Êàê ñëåäóåò èç èçëîæåííîãî âûøå, ÷åðåíêîâñêèé ìåõàíèçì èçëó÷åíèÿ ìîæåò ðàáîòàòü äëÿ ëþáûõ âîëí, âîçìîæíûõ â ñðåäå, à íå òîëüêîäëÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ. ×åðåíêîâñêîå èçëó÷åíèå âûçûâàåòñÿ íå óñêîðåíèåì ÷àñòèöû, ïîòîìó îíî íå çàâèñèò îò ìàññû. Ïîñêîëüêó ÷åðåíêîâñêîå èçëó÷åíèå íå ñâÿçàíî ñ äèññèïàöèåé, òî îíî îáðàòèìî: ÷àñòèöàìîæåò êàê èçëó÷àòü âîëíó, òàê è ïîãëîùàòü åå (åñëè âîëíà áûëà â ñðåäåäî ïðèëåòà ÷àñòèöû).
×åðåíêîâñêîå èçëó÷åíèå íåâîçìîæíî â ñâîáîäíîìïðîñòðàíñòâå, ïîñêîëüêó â âàêóóìå âîëíà âñåãäà áåæèò ñî ñêîðîñòüþñâåòà, à ÷àñòèöà ìåäëåííåå ñêîðîñòè ñâåòà.Äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â èçîòðîïíîì äèýëåêòðèêå ñ ïðîíèöàåìîñòüþ ε(ω) óñëîâèå (23.2) ïðèíèìàåò âèäkckv cos θ = p.ε(ω)а(23.3)бÐèñ. 1.14: Ãåîìåòðèÿ çàäà÷è î ÷åðåíêîâñêîì èçëó÷åíèè (à) ; âûáîð ïåðåìåííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ ïî d~k (á)46Ñëåäîâàòåëüíî,âîëíû ñ ÷àñòîòîé ω áóäóò èçëó÷àòüñÿ òîëüêî ïðè óñëîpâèè v > c/ ε(ω) è ïîä óãëîì θ(ω), òàêèì ÷òîccos θ(ω) = p.v ε(ω)(23.4)Íàéäåì ñïåêòðàëüíóþ èíòåíñèâíîñòü ÷åðåíêîâñêîãî èçëó÷åíèÿâ èçîòðîïíîé ñðåäå ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ ε(ω).
Äëÿ ýòîãî ÷åðåç ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå íàéäåì ïîëå, ñîçäàâàåìîå çàðÿæåííîé÷àñòèöåé â ìåñòå åå ðàñïîëîæåíèÿ, è âû÷èñëèì ðàáîòó ýòîãî ïîëÿ íàä÷àñòèöåé.Îäèíî÷íàÿ çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà ñîçäàåò â ñðåäå òîê~j(~r, t) = q~v δ(~r − ~v t);(23.5)åãî ôóðüå-îáðàç~j(~k, ω)==Z1~q~v δ(~r − ~v t) e−ik~r+iωt d~r dt =(2π)2Zq~vq~v~ei(ω−k~v)t dt =δ(ω − ~k~v ).(2π)22π(23.6)Ñîçäàâàåìîå ÷àñòèöåé ïîëå óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì Ìàêñâåëëàâ ôóðüå-ïðåäñòàâëåíèè, êîòîðûå â äàííîì ñëó÷àå ïðèíèìàþò âèähi~~ = iω B,(23.7)i~k × Echi~ = − iω εE~ + 4π ~j(~k, ω).i~k × B(23.8)cc~ èç (23.7) â (23.8) äàåòÏîäñòàíîâêà Bhhii2~k × ~k × E~ + 4πω ~j(~k, ω),~ = − ω εEc2ic2 2~k ~k E~ − k2 E~ = − ω εE~ + 2qω~v δ(ω − ~k~v ).2cic2(23.9)(23.10)Ñêàëÿðíî óìíîæàÿ (23.10) íà ~k , íàõîäèì~~~k E~ = 2q k~v δ(ω − k~v ) ,iεωïîäñòàâëÿåì ýòî âûðàæåíèå â (23.10) ~k ~k~v c22εω2qω~ =−k 2 + 2 Eδ(ω − ~k~v ) ~v −cic2εω 247(23.11)è ïîëó÷àåì êîìïëåêñíóþ àìïëèòóäó îòäåëüíîé ïëîñêîé ãàðìîíèêè ~k ~k~v c2~~ ~k, ω) = 2iqω δ(ω − k~v ) ~v −.E((23.12)c2 (k 2 − ω 2 ε/c2 )εω 2Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå äàåò íàì ïîëå ÷àñòèöû:Z1~~ ~k, ω) ei~k~r−iωt d~k dω.E(~r, t) =E((2π)2(23.13)Ïîëíàÿ ìîùíîñòü èçëó÷åíèÿ I ðàâíà ðàáîòå, ñîâåðøàåìîé ïîëåì â åäèíèöó âðåìåíè, âçÿòîé ñ îáðàòíûì çíàêîì:(23.14)~ v t, t),I = −q~v E(~èëè2iq 2I=− 2 24π cZω δ(ω − ~k~v )k 2 − ω 2 ε/c2(~k~v )2 c2v −εω 22!~ei(k~v−ω)t d~k dω.(23.15)×òîáû íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ìîùíîñòè èçëó÷åíèÿ ïî ñïåêòðó, íóæíî â âûðàæåíèè (23.15) ïðîâåñòè èíòåãðèðîâàíèå ïî âñåì âîçìîæíûìçíà÷åíèÿì âîëíîâîãî âåêòîðà.
Äëÿ ýòîãî ïðåäñòàâèì d~k â âèäådk 2 d(~k~v )d~k = k⊥ dk⊥ dkk dϕ = ⊥dϕ2v(23.16)(ðèñ. 1.14,á ). Èíòåãðèðîâàíèå ïî dϕ è d(~k~v ) áëàãîäàðÿ ñèììåòðèè çàäà÷è è íàëè÷èþ δ -ôóíêöèè ïðîèçâîäèòñÿ òðèâèàëüíî:Zω (v 2 − c2 /ε)iq 22I=−(23.17)2 + ω 2 /v 2 − ω 2 ε/c2 dk⊥ dω.2πc2 vk⊥Èíòåãðàë (23.17) äàåò íàì ïîëíóþ ïîòåðþ ýíåðãèè ÷àñòèöåé. Ýòàïîòåðÿ ýíåðãèè ìîæåò èäòè ïî äâóì êàíàëàì. Âî-ïåðâûõ, ýíåðãèÿ òðàòèòñÿ íà ÷åðåíêîâñêîå èçëó÷åíèå.
Âî-âòîðûõ, ýíåðãèÿ èäåò íà íàãðåâ,âîçáóæäåíèå èëè èîíèçàöèþ ÷àñòèö ñðåäû. Ýòè ïîòåðè íàçûâàþò èîíèçàöèîííûìè äàæå åñëè èîíèçàöèè êàê òàêîâîé íå ïðîèñõîäèò. Èîíèçàöèîííûå ïîòåðè ñîïðîâîæäàþòñÿ äèññèïàöèåé ýíåðãèè ïîëÿ, ïîòîìóâ ôîðìóëàõ îíè ó÷èòûâàþòñÿ ÷åðåç íåíóëåâóþ ìíèìóþ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè.
Òàê êàê Im ε 6= 0 ïðè ω > 0 (ðàçäåë 1.13), òîäèññèïàöèÿ â ñðåäå åñòü âñåãäà è ÷åðåíêîâñêîå èçëó÷åíèå âñåãäà ñîïðîâîæäàåòñÿ èîíèçàöèîííûìè ïîòåðÿìè.48Ìîæíî, îäíàêî, ðàçäåëèòü äâà êàíàëà ïîòåðü, ôîðìàëüíî óñòðåìèâIm ε ê íóëþ â ôîðìóëå (23.17). Ïîëó÷èâøèéñÿ èíòåãðàë áóäåò îïèñûâàòü òîëüêî ÷åðåíêîâñêîå èçëó÷åíèå, íå ñâÿçàííîå ñ äèññèïàöèåé. Ñðàçóïîëîæèòü Im ε = 0 íåëüçÿ, ïîñêîëüêó òîãäà â âûðàæåíèè (23.17) ïîÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ íåîïðåäåëåííîñòü èç-çà íåèíòåãðèðóåìîé îñîáåííîñòè â çíàìåíàòåëå è ÷åòíîñòè ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ êàêôóíêöèè ω . Îáîçíà÷èìRe ε(ω) = ε0 ,Im ε(ω) = ε00(23.18)è ïåðåéäåì â (23.17) ê èíòåãðèðîâàíèþ ïî ïîëîæèòåëüíûì ÷àñòîòàì,èñïîëüçóÿ ÷åòíîñòü ε0 è íå÷åòíîñòü ε00 :iq 2I=−2πc2 vZ∞Z∞dω02dk⊥X±0±ω (v 2 − c2 /(ε0 ± iε00 ))2 + ω 2 /v 2 − ω 2 (ε0 ± iε00 )/c2 .k⊥(23.19)Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ε0 (ω) 6= 0 âî âñåì èíòåðâàëå ÷àñòîò (òåì ñàìûìèç ðàññìîòðåíèÿ èñêëþ÷àåòñÿ ÷åðåíêîâñêîå âîçáóæäåíèå ïðîäîëüíûõâîëí, âîçìîæíîå â íåêîòîðûõ ñðåäàõ).
Òîãäà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ε00 â ÷èñëèòåëå áîëüøîé äðîáè â (23.19) è ïðèâåñòè ñëàãàåìûå ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ:AA2iAC−= 2,B − iCB + iCB + C2òàê ÷òî âûðàæåíèå (23.19) ïðèìåò âèäiq 2I=−2πc2 vZ∞Z∞dω0 ñèëó òîæäåñòâà02(k⊥22iω (v 2 − c2 /ε0 )(ω 2 ε00 /c2 ) dk⊥.222022200+ ω /v − ω ε /c ) + (ω ε /c2 )2γ−−−→ πδ(x)x2 + γ 2 γ→0ïðè ε00 → 0 èìååìZ∞ Z∞ c2q2ω2ω 2 ε0222ω v − 0 dω δ k⊥ + 2 − 2I= 2dk⊥.c vεvc0(23.20)(23.21)(23.22)0Ïðè èíòåãðèðîâàíèè δ -ôóíêöèè ïîëó÷àåòñÿ ëèáî 0, ëèáî 1 â çàâèñèìîñòè îò çíàêà âûðàæåíèÿ ω 2 /v 2 − ω 2 ε0 /c2 . Ïîýòîìó äëÿ ñïåêòðàëüíîãîðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè ÷åðåíêîâñêîãî èçëó÷åíèÿ ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùàÿ ôîðìóëà:p (1,v > c/ ε(ω),dIq2 ωc22= 2 v −·(23.23)pdωvcε(ω)0,v ≤ c/ ε(ω),49èëèdIq 2 ωv= 2 sin2 θ,dωcccos θ = p.(23.24)v ε(ω)Âñÿ èçëó÷åííàÿ ýíåðãèÿ ñîñðåäîòî÷åíà â êîíóñå, ðàñòâîð êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîìccos θmax = √(23.25)v εmax(ðèñ. 1.15,a ), ãäå εmax ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè äàííîé ñðåäû.
Âäîëü íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ÷åðåíêîâñêîãî èçëó÷åíèÿ íåò, ÷òî èìååò ïðîñòîå îáúÿñíåíèå. Ó ïîïåðå÷íîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû, áåãóùåé ñòðîãî ïî îñè ñèñòåìû, íåò ïðîäîëüíîé êîìïîíåíòû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, êîòîðàÿ áû òîðìîçèëà ÷àñòèöó è çàáèðàëà ó íåå ýíåðãèþ.абÐèñ. 1.15: ×åðåíêîâñêèé êîíóñ (à), èçëó÷åíèå êâàíòà îòäåëüíîé ÷àñòèöåé (á)×åðåíêîâñêîå èçëó÷åíèå ìîæíî òàêæå ïðåäñòàâèòü êàê èçëó÷åíèåêâàíòîâ âîëíû îòäåëüíûìè ÷àñòèöàìè (ðèñ. 1.15,á ). Óñëîâèå ÷åðåíêîâñêîãî ðåçîíàíñà â ýòîì ñëó÷àå ïîÿâëÿåòñÿ êàê ñëåäñòâèå ñîõðàíåíèÿýíåðãèè-èìïóëüñà â åäèíè÷íîì àêòå âçàèìîäåéñòâèÿ.
Äåéñòâèòåëüíî,ýíåðãèÿ è èìïóëüñ p~ ÷àñòèöû ñâÿçàíû êàê2 = p2 c2 + m2 c4 ,îòêóäàω=∆~=∂ ~~kc2 p~ ~ ~=k = k~v .∂~p ~(23.26)(23.27)1.24 Íåëèíåéíàÿ ïðîíèöàåìîñòü~ E)~ , äàæå áóäó÷è ìàëûìè ïîÍåëèíåéíûå ïîïðàâêè â çàâèñèìîñòè D(ñðàâíåíèþ ñ ëèíåéíûìè ÷ëåíàìè, ìîãóò ñóùåñòâåííî âëèÿòü íà ïîâåäå50íèå âîëí, ïîñêîëüêó ýòî âëèÿíèå íàêàïëèâàåòñÿ ñî âðåìåíåì è ïðèâîäèòê êà÷åñòâåííî íîâûì ýôôåêòàì. Ñ ó÷åòîì ýòèõ ïîïðàâîê ñâÿçü ìåæäó~ èE~ â îäíîðîäíîé ñòàöèîíàðíîé ñðåäå áóäåò òàêîé:D~ =D~ (1) + D~ (2) + D~ (3) + . . . ,DZ(1)(1)Dα (ξ) = εαβ (ξ − ξ1 ) Eβ (ξ1 ) dξ1 ,ξ = (~r, t),Dα(n) (ξ) =Z(24.1)(24.2)(n)εαβ1 ...βn (ξ − ξ1 , . .
. , ξ − ξn )×× Eβ1 (ξ1 ) . . . Eβn (ξn ) dξ1 . . . dξn . (24.3)Ïî àíàëîãèè ñ ëèíåéíîé äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ (3.5)Z(1)εαβ (q) = εαβ (∆ξ) e−iq∆ξ d∆ξ,q = (~k, −ω)(24.4)ìîæíî ââåñòè íåëèíåéíûå ïðîíèöàåìîñòè âòîðîãî ïîðÿäêàZ(2)εαβγ (q1 , q2 ) = εαβγ (∆ξ1 , ∆ξ2 ) e−iq1 ∆ξ1 −iq2 ∆ξ2 d∆ξ1 d∆ξ2(24.5)è ïîðÿäêà nZεαβ1 ...βn (q1 , . . . , qn ) =(n)εαβ1 ...βn (∆ξ1 , . . . , ∆ξn )×× e−iq1 ∆ξ1 −···−iqn ∆ξn d∆ξ1 . .
. d∆ξn . (24.6)Ýòèìè íåëèíåéíûìè ïðîíèöàåìîñòÿìè îïðåäåëÿåòñÿ õàðàêòåð âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó âîëíàìè.1.25 Òðåõâîëíîâîå âçàèìîäåéñòâèåÒðåõâîëíîâîå âçàèìîäåéñòâèå ýôôåêò âòîðîãî ïîðÿäêà ïî àìïëèòóäå ïîëÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷òîáû òðåõâîëíîâîå âçàèìîäåéñòâèå áûëî âîçìîæíûì, ñðåäà äîëæíà îáëàäàòü ëèáî ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèåé,ëèáî çåðêàëüíîé èçîìåðèåé (çà ñ÷åò ñëîæíûõ ìîëåêóë, ñëîæíîé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè èëè âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ).Ïóñòü â ñðåäå åñòü âîëíà ñ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì~ =E~ 0 eiqξ + E~ 0∗ e−iqξ .E51(25.1)Íåëèíåéíàÿ äîáàâêà ê ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè áóäåò èìåòü âèäZ(2)Dα(2) = εαβγ (ξ − ξ1 , ξ − ξ2 )×∗ −iqξ1∗ −iqξ2× E0β eiqξ1 + E0βeE0γ eiqξ2 + E0γedξ1 dξ2 =Z=(2)εαβγ (ξ − ξ1 , ξ − ξ2 ) E0β E0γ eiq(ξ1 −ξ)+iq(ξ2 −ξ)+2iqξ +∗ iq(ξ1 −ξ)+iq(ξ−ξ2 )+E0β E0γe+ ê.ñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
