1625915574-ba679e180264e0f82c994c8dd0b7c5fc (843950), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Âòîðîåñëàãàåìîå òàêæå îðòîãîíàëüíî ~v â ñèëó (1.9):ds= ~v ∇s = 0.dt66(3.5)Òàêèì îáðàçîì, âäîëü ëèíèè òîêà îñòàåòñÿ íåèçìåííîé âåëè÷èíàv2+ w − ~g~r = const.2(3.6)Ýòî óòâåðæäåíèå è ñîñòàâëÿåò çàêîí Áåðíóëëè. Çàìåòèì, ÷òî ïðè åãîâûâîäå íå ïðåäïîëàãàëàñü èçýíòðîïè÷íîñòü æèäêîñòè âî âñåì îáúåìå,à òîëüêî âäîëü ëèíèè òîêà.×òîáû ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (3.6), íóæíî âûðàçèòü w ÷åðåç p è ρ.Çäåñü ïîëåçíî ïðåäïîëîæåíèå îá èçýíòðîïè÷íîñòè (s = const, ∇s = 0).Äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè èìååì ppds = 0,dw = d(3.7),w = + const.ρρÄëÿ èäåàëüíîãî ãàçà ñ ïîêàçàòåëåì àäèàáàòû γ èç óðàâíåíèép = Aργ ,íàõîäèìw=dw =dpAγργ−1=dρρρAγργ−1γ p+ const =+ const.γ−1γ−1 ρ(3.8)(3.9)Ñ ïîìîùüþ çàêîíà Áåðíóëëè ìîæíî ëåãêî íàéòè ñêîðîñòü vvac èñòå÷åíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà â âàêóóì èç îáúåìà ñ äàâëåíèåì p è ïëîòíîñòüþ ρ:sr2γ pvvac2γp2=,vvac == cs,(3.10)γ−1 ρ2(γ − 1)ργ−1ãäårcs =γpρ(3.11) ñêîðîñòü çâóêà â ãàçå.2.4 Òåîðåìà ÒîìñîíàÂâåäåì öèðêóëÿöèþ ñêîðîñòè Γ ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó γ ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþI~Γ = ~v dl.(4.1)γ67Ðèñ.
2.4: Ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû ÒîìñîíàÒåîðåìà Òîìñîíà ãëàñèò, ÷òî öèðêóëÿöèÿ ñêîðîñòè ïî æèäêîìó êîíòóðó(ò. å. ïî êîíòóðó, äâèæóùåìóñÿ âìåñòå ñ æèäêîñòüþ) ïðè èçýíòðîïè÷åñêîì òå÷åíèè íå ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì. Äîêàæåì ýòî óòâåðæäåíèå.~ êàê ðàçíîñòü êîîðäèíàò òî÷åê êîíÏðåäñòàâèì ýëåìåíò êîíòóðà dlòóðà δ~r (ðèñ. 2.4) è âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþIIIdΓdd~vdδ~r=~v δ~r =δ~r + ~v.(4.2)dtdtdtdtγγγÏåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (4.2) õàðàêòåðèçóåò èçìåíåíèå ïîòîêàñî âðåìåíåì, à âòîðîå èçìåíåíèå ñàìîãî êîíòóðà. Ïî àíàëîãèè ñ (3.3)íàõîäèìd~v∇s ≡ 0,= −∇w + ∇(~g~r).(4.3)dtÏîñêîëüêó äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî âðåìåíè è ïî ïðîñòðàíñòâåííîé êîîðäèíàòå ìîæíî ïåðåñòàâëÿòü, èìååì~vδd~rδv 2dδ~r= ~v= ~v δ~v =,dtdt2îòêóäàdΓ=dtI~ +∇(−w + ~g~r) dlγIδv22(4.4)= 0.(4.5)γÒåîðåìà äîêàçàíà.2.5 Ïîòåíöèàëüíîå òå÷åíèåÏîòåíöèàëüíûì (èëè áåçâèõðåâûì) íàçûâàåòñÿ òå÷åíèå, â êîòîðîìrot ~v ≡ 0.
Åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè òå÷åíèå áûëî ïîòåíöèàëüíûì, òî è â äàëüíåéøåì îíî îñòàíåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì. Ýòî ñëåäóåò68èç òåîðåìû Òîìñîíà, ïðèìåíåííîé ê êîíòóðó, îãðàíè÷èâàþùåìó áåñêî~:íå÷íî ìàëóþ ïëîùàäêó dSI~ = rot ~v dS~ = const.~v dl(5.1)Ïîòåíöèàëüíîñòü òå÷åíèÿ, îäíàêî, íàðóøàåòñÿ íà ëèíèÿõ òîêà, ïðîõîäÿùèõ âáëèçè òâåðäûõ òåë (ðèñ. 2.5). Òåîðåìà Òîìñîíà äëÿ òàêèõ ëèíèéòîêà íå ðàáîòàåò, ïîñêîëüêó èõ íåëüçÿ îõâàòèòü æèäêèì êîíòóðîì.Ðèñ.
2.5: ßâëåíèå îòðûâà ñòðóé è ëèíèè òîêà, íà êîòîðûõ íàðóøàåòñÿïîòåíöèàëüíîñòü òå÷åíèÿÑêîðîñòü ïîòåíöèàëüíî äâèæóùåéñÿ æèäêîñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòüâ âèäå~v = ∇ϕ,(5.2)ãäå ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà ϕ íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèàëîì ñêîðîñòè.×àñòî ïîòåíöèàëüíîå òå÷åíèå ìîæíî ñ÷èòàòü òàêæå è íåñæèìàåìûì. ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ èäåàëüíîé ãèäðîäèíàìèêè ïîëó÷àþòñÿ îñîáåííî ïðîñòûìè. Óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè ïåðåõîäèò â óðàâíåíèådiv ∇ϕ = 4ϕ = 0,(5.3)à óðàâíåíèå Ýéëåðà ïî àíàëîãèè ñ (3.3) ïðèíèìàåò âèäd~v∂∇ϕv2p=+ ∇ = −∇ + ∇(~g~r),dt∂t2ρ(5.4)îòêóäà∂ϕ v 2p++ − ~g~r = f (t),∂t2ρãäå f (t) íåêàÿ ôóíêöèÿ âðåìåíè. Ïîñêîëüêó çàìåíàZϕ → ϕ + f (t) dt69(5.5)(5.6)íå âëèÿåò íà ñêîðîñòü òå÷åíèÿ, áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü f (t) êîíñòàíòîé.2.6 Ïîòåíöèàëüíîå îáòåêàíèå òåëàÐàññìîòðèì çàäà÷ó î ïîòåíöèàëüíîì îáòåêàíèè íåñæèìàåìîé æèäêîñòüþ òâåðäîãî òåëà.
 îáùåì ñëó÷àå îáòåêàíèå òåëà íå ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì èç-çà ÿâëåíèÿ îòðûâà ñòðóé (ðèñ. 2.5), êîãäà ëèíèè òîêàîòäåëÿþòñÿ îò ïîâåðõíîñòè òåëà è óõîäÿò âãëóáü æèäêîñòè. Íî â ñëó÷àåòåë îñîáîé ¾îáòåêàåìîé¿ ôîðìû êàðòèíà òå÷åíèÿ ìàëî îòëè÷àåòñÿ îòïîòåíöèàëüíîé.Ðèñ. 2.6: Ãåîìåòðèÿ çàäà÷è î ïîòåíöèàëüíîì îáòåêàíèè òåëàÏóñòü æèäêîñòü âäàëè îò òåëà ïîêîèòñÿ, à ñàìî òåëî äâèæåòñÿ ïîñòóïàòåëüíî ñî ñêîðîñòüþ ~u (ðèñ. 2.6). Äâèæåíèå æèäêîñòè îïðåäåëÿåòñÿóðàâíåíèåì Ëàïëàñà 4ϕ = 0 ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìèϕ −−−→ 0,r→∞~u~n0 = ~v~n0 =∂ϕ∂n0íà ïîâåðõíîñòè òåëà,(6.1)(6.2)ãäå âåêòîð ~r îòñ÷èòûâàåòñÿ îò êàêîé-ëèáî òî÷êè âíóòðè òåëà, à ~n0 íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè òåëà. Îáùåå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà, îáðàùàþùååñÿ â íóëü íà áåñêîíå÷íîñòè, èìååò âèäϕ=2a1~ 1 + bik ∂+ A∇+ ...
.rr∂xi ∂xj r70(6.3)~ , bik , . . . çäåñü äîñòàòî÷íî, ÷òîÁåñêîíå÷íîãî ðÿäà êîýôôèöèåíòîâ a, Aáû óäîâëåòâîðèòü óñëîâèþ (6.2) íà ïîâåðõíîñòè ëþáîãî ¾îáòåêàåìîãî¿òåëà.Õàðàêòåð äâèæåíèÿ æèäêîñòè âáëèçè òåëà ñóùåñòâåííî çàâèñèò îòåãî ôîðìû. Íà áîëüøèõ æå ðàññòîÿíèÿõ âñå îïðåäåëÿåòñÿ ïåðâûìè ÷ëåíàìè ðÿäà (6.3), êîòîðûå ìåäëåííåå âñåãî óáûâàþò ñ ðîñòîì r:~v = ∇ϕ = −~r~ n)~n − A~A~a~n 3(A~a~r−∇ 3 =− 2 +,33rrrr~r~n = .r(6.4)Åñëè îáúåì òåëà V0 íåèçìåíåí, òî a = 0, ïîñêîëüêó ñóììàðíûé ïîòîêæèäêîñòè ÷åðåç ñôåðó áîëüøîãî ðàäèóñà äîëæåí ðàâíÿòüñÿ íóëþ. Òà~.êèì îáðàçîì, ïîëå ñêîðîñòåé âäàëè îò òåëà îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì AÈç ëèíåéíîñòè óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà è ãðàíóñëîâèé ê íåìó ñëåäóåò, ÷òî~v ∝ ~u. ÏîýòîìóAi = αik uk ,(6.5)ãäå αik ïîñòîÿííûé òåíçîð, çàâèñÿùèé îò ôîðìû è îðèåíòàöèè òåëà.Íàéäåì ïîëíóþ êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ æèäêîñòè E .
Äëÿ ýòîãî, ÷òîáû èçáåæàòü ìàòåìàòè÷åñêèõ òðóäíîñòåé, íàéäåì ýíåðãèþ æèäêîñòèâíóòðè ñôåðû ðàäèóñà R è óñòðåìèì R ê áåñêîíå÷íîñòè.  ñèëó òîæäåñòâàdiv (ϕ + ~u~r)(~v − ~u) == (~v − ~u)∇(ϕ + ~u~r) + (ϕ + ~u~r) div (~v − ~u) = (~v + ~u)(~v − ~u)èìååìE=ρ2Zv 2 dV =V −V0Zu2 + (~v + ~u)(~v − ~u) dV =V −V02=ρ2ρuρ(V − V0 ) +22Zdiv (ϕ + ~u~r)(~v − ~u) dV =V −V0ρρu2(V − V0 ) +=22Z~ (6.6)(ϕ + ~u~r)(~v − ~u) dS,S,S0ãäå â ïîñëåäíåì ñëàãàåìîì èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî ïîâåðõíîñòÿìñôåðû S è òåëà S0 . Èíòåãðàë ïî ïîâåðõíîñòè òåëà çàíóëÿåòñÿ â ñèëóóñëîâèÿ (6.2):~ = (~u~n0 − ~v~n0 ) dS = 0,(~v − ~u) dS(6.7)71à â èíòåãðàëå ïî áîëüøîé ñôåðå äîñòàòî÷íî îñòàâèòü òîëüêî ïåðâûåíåíóëåâûå ÷ëåíû â âûðàæåíèÿõ äëÿ ñêîðîñòè è ïîòåíöèàëà.
Ââîäÿ ýëåìåíò òåëåñíîãî óãëà dΩ, ïðåîáðàçóåì ýòîò èíòåãðàë:ZZ=S!~ n)~n − A~3(A~− ~u r2~n dΩ =r3!!Z~n~ n)A~2(A~=− 2 + R(~u~n)− ~u~n R2 dΩ ≈RR3Z ~ n)(~u~n) dΩ =≈−R3 (~u~n)2 + 3(A~Z= −R3 ui uk + 3Ai ukni nk dΩ. (6.8)~rA~− 3 + ~u~rr!Èíòåãðèðîâàíèå ïî dΩ ýêâèâàëåíòíî óñðåäíåíèþ ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì âåêòîðà ~n è óìíîæåíèþ çàòåì íà 4π :Z4πδikni nk dΩ =,(6.9)3îòêóäà2πρ ρu2~ u) .(V − V0 ) +−R3 u2 + 3(A~23Áîëüøèå ñëàãàåìûå â (6.10) ñîêðàùàþòñÿ, è ìû ïîëó÷àåìρ~ − V0 u2 = mik ui uk ,4π~uAE=22ãäå òåíçîð mik íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì ïðèñîåäèíåííûõ ìàññ:E=mik = 4πραik − ρV0 δik .(6.10)(6.11)(6.12)Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îí ñèììåòðè÷åí (äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòàìîæíî íàéòè â ó÷åáíèêàõ ïî êëàññè÷åñêîé ãèäðîäèíàìèêå).×òîáû îïðåäåëèòü èìïóëüñ P~ äâèæóùåéñÿ æèäêîñòè, çàìåòèì, ÷òîèçìåíåíèå ýíåðãèè dE è èìïóëüñà dP~ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì~ = F~ ~u dt = ~u dP~ ,dE = F~ dl(6.13)~ãäå F~ ïîëíàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà æèäêîñòü ñî ñòîðîíû òåëà, à dl ñìåùåíèå òåëà çà âðåìÿ dt.
Ñëåäîâàòåëüíî,ui dPi = dE =mik dui ukmik ui duk+= mik ui duk .2272(6.14)Ðàâåíñòâà (6.14) âåðíû ïðè ëþáîì íàïðàâëåíèè ñêîðîñòè ~u, ïîýòîìó~P~ = −ρV0 ~u + 4πρA.Pi = mik uk ,(6.15)Ñî ñòîðîíû æèäêîñòè íà òåëî äåéñòâóåò ñèëà F~T :FT i = −Fi = −dPiduk= −mik.dtdt(6.16)Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî ïðè ïîòåíöèàëüíîì òå÷åíèè ïîëíàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ðàâíîìåðíî äâèæóùååñÿ òåëî, ðàâíà íóëþ (òàê íàçûâàåìûé ïàðàäîêñ Äàëàìáåðà). Ýòî åñòü ñëåäñòâèå óïðîùåííîé ìîäåëè îáòåêàíèÿ.  äåéñòâèòåëüíîñòè íåáîëüøàÿ ñèëà ïîÿâëÿåòñÿ èç-çà íåïîòåíöèàëüíîñòè òå÷åíèÿ è íåèäåàëüíîñòè æèäêîñòè.Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ òåëà â æèäêîñòè ïðèíèìàåò âèäMd~u= f~ + F~T ,dt(6.17)ãäå M ìàññà òåëà, à f~ âíåøíÿÿ ñèëà. Ýòî óðàâíåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â ôîðìåduidduk+ (mik uk ) = (M δik + mik ),(6.18)dtdtdtîòêóäà ïîíÿòíî ïðîèñõîæäåíèå òåðìèíà ¾ïðèñîåäèíåííàÿ ìàññà¿: ïðèäâèæåíèè â æèäêîñòè ìàññà òåëà êàê áóäòî áû óâåëè÷èâàåòñÿ íà ýòóâåëè÷èíó.fi = M2.7 Âèõðåâîå äâèæåíèå æèäêîñòèÏóñòü òåïåðü rot ~v 6= 0.
Ââåäåì çàâèõðåííîñòü æèäêîñòè ω~ ñîãëàñíîîïðåäåëåíèþω~ = rot ~v(7.1)è íàéäåì çàêîí åå èçìåíåíèÿ â íåñæèìàåìîé æèäêîñòè. Âçÿâ ðîòîðóðàâíåíèÿ Ýéëåðà â ôîðìåïîëó÷àåìèëè∂~vv2p+ ∇ − [~v × rot ~v ] = −∇ + ∇(~g~r),∂t2ρ(7.2)∂~ω= rot [~v × ω~ ] = (~ω ∇)~v − (~v ∇)~ω,∂t(7.3)d~ω= (~ω ∇)~v .dt73(7.4)Ðèñ. 2.7: Îïðåäåëåíèå δ~rÓðàâíåíèå âèäà (7.3) èëè (7.4) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì âìîðîæåííîñòè (âåëè÷èíû ω~ â æèäêîñòü). ×òîáû âûÿñíèòü ñâîéñòâà ýòîãî óðàâíåíèÿ, íàéäåì çàêîí èçìåíåíèÿ ðàññòîÿíèÿ δ~r ìåæäó äâóìÿ áëèçêèìèòî÷êàìè æèäêîñòè (ðèñ.
2.7). Èìååìdδ~rd= (~r2 − ~r1 ) = ~v2 − ~v1 = (δ~r∇)~v .dtdt(7.5)Èòàê, çàêîí èçìåíåíèÿ çàâèõðåííîñòè ω~ è ýëåìåíòà æèäêîé ëèíèè δ~rîäèíàêîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ìû âûáåðåì δ~r k ω~ , òî è â äàëüíåéøåì áóäåò δ~r k ω~ , ïðè÷åì |~ω | ∝ |δ~r|. Èíûìèñëîâàìè, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò ïîêðàñèòü âèõðåâóþ ëèíèþ (ò. å. ëèíèþ, âñþäó ïàðàëëåëüíóþ ω~ ), òî è â äàëüíåéøåì âèõðåâàÿ ëèíèÿ áóäåòñîâïàäàòü ñ ïîêðàøåííîé êðèâîé, ïðè÷åì çàâèõðåííîñòü áóäåò ïðîïîðöèîíàëüíî óâåëè÷èâàòüñÿ ïðè óäëèíåíèè ýòîé êðèâîé.Ïðîèëëþñòðèðóåì äåéñòâèå óðàâíåíèÿ âìîðîæåííîñòè íà íåñêîëüêèõ ïðèìåðàõ. Äëÿ íà÷àëà ðàññìîòðèì îòäåëüíûé ïðÿìîëèíåéíûéâèõðü, ò.
å. òàêîå òå÷åíèå æèäêîñòè, ïðè êîòîðîì ω~ = const â íåêîòîðîéöèëèíäðè÷åñêîé îáëàñòè:ω~ = (0, 0, ω0 ),r < a,ω0 = const(7.6)ω~ = 0,r ≥ a,(ðèñ. 2.8,à ).  ñèëó ñèììåòðèè çàäà÷è èç (7.1) íàõîäèì ñêîðîñòü òå÷åíèÿ: ω r0,r < a,2~v = (0, vϕ , 0),vϕ =(7.7)2 ω0 a ,r ≥ a.2rÏîñêîëüêó ∇vϕ ⊥ ω~ , òî(~ω ∇)~v = 0,(7.8)è ñêîðîñòü òå÷åíèÿ íå ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì. Òàêèì îáðàçîì, ñîáñòâåííîå ïîëå ñêîðîñòåé íå âëèÿåò íà ïðÿìîëèíåéíûé âèõðü.Åñëè íà ðàññòîÿíèè R a äðóã îò äðóãà îêàæóòñÿ äâà ïàðàëëåëüíûõ äðóã äðóãó ïðÿìîëèíåéíûõ âèõðÿ, ðàçëè÷àþùèõñÿ òîëüêî çíàêîì,74абвгÐèñ. 2.8: Ïðÿìîëèíåéíûé âèõðü (à), äâà âèõðÿ ïðîòèâîïîëîæíûõ çíàêîâäâà îäèíàêîâûõ âèõðÿ (â), âèõðåâîå êîëüöî (ã)(á),òî âèõðü ¾1¿ áóäåò êðóòèòüñÿ êàê öåëîå â ñîáñòâåííîì ïîëå ñêîðîñòåéè ñìåùàòüñÿ ïî ~y ñî ñêîðîñòüþvy =ω0 a22R(7.9)â ïîëå ñêîðîñòåé âèõðÿ ¾2¿ (ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
