1625915574-ba679e180264e0f82c994c8dd0b7c5fc (843950), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ïåðâûé ÷ëåí â ëåâîé ÷àñòè (18.1) ýòî èçìåíåíèå ýíåðãèè ïîëÿ â åäèíèöå îáúåìà, âòîðîé ÷ëåí îáóñëîâëåí ïîòîêîì ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè. ×ëåíû â ïðàâîé ÷àñòè ñîîòâåòñòâóþò ïîãëîùåíèþ ýíåðãèè âîëíûâñëåäñòâèå äèññèïàöèè è ðàáîòå ïîëÿ ïðè èçìåíåíèè ïîëÿðèçàöèè ñðåäû (ïåðâûé) è ðàáîòå ïîëÿ ïðîòèâ ñòîðîííåãî òîêà (âòîðîé).Âûâåäåì óíèâåðñàëüíóþ ôîðìóëó äëÿ ñðåäíåé ìîùíîñòè Q, âûäåëÿþùåéñÿ â ñðåäå âñëåäñòâèå äèññèïàöèè âîëíû. Áóäåì ñ÷èòàòü ÷àñòîòó ωäåéñòâèòåëüíîé, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ãðàíè÷íîé çàäà÷å è äåëàåò óñðåäíåíèå ïî ïåðèîäó âîëíû ñòðîãî îïðåäåëåííûì ìàòåìàòè÷åñêèì äåéñòâèåì.Ïðè ýòîì ñðåäíÿÿ ðàáîòà ïî èçìåíåíèþ ïîëÿðèçàöèè ñðåäû îáðàùàåòñÿâ íîëü, è~Q = h~j Ei,(18.2)ãäå óãëîâûå ñêîáêè îçíà÷àþò óñðåäíåíèå ïî ïåðèîäó.
 ïëîñêîé ãàðìîíè÷åñêîé âîëíå1 ~~~ ∗ (ω) eiωt ,E(t)=E(ω) e−iωt + E(18.3)2~j(t) = 1 ~j(ω) e−iωt + ê.ñ. ,(18.4)2ãäå èíäåêñ ¾∗¿ îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå, à áóêâû ¾ê.ñ.¿ êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå ñëàãàåìûå. ÎòñþäàE1 D~~~j ∗ (ω) + ê.ñ. =Q =E(ω) ~j(ω) e−2iωt + E(ω)41 ~~ ∗ (ω) ~j(ω) ==E(ω) ~j ∗ (ω) + E4 1 ∗1∗∗=Eα σαβEβ∗ + Eα∗ σαβ Eβ =σαβ + σβαEα Eβ .(18.5)44Ïðè âûâîäå ôîðìóëû (18.5) ìû îïóñòèëè áûñòðîîñöèëëèðóþùèå ñëàãàåìûå è ïåðåîáîçíà÷èëè íåêîòîðûå èíäåêñû.38Áóäåì îáîçíà÷àòü ýðìèòîâû è àíòèýðìèòîâû ÷àñòè òåíçîðîâ èíäåêñàìè ¾H ¿ è ¾A¿:aHαβ =aαβ + a∗βα,2aAαβ =aαβ − a∗βα,2Aaαβ = aHαβ + aαβ .(18.6)Èç (18.5) ñëåäóåò, ÷òî ìîùíîñòü äèññèïàöèè âîëíû îïðåäåëÿåòñÿ ýðìèòîâîé ÷àñòüþ òåíçîðà ïðîâîäèìîñòè:Q=1 H ∗σ E Eβ .2 αβ α(18.7) ñèëó (3.9) ωεAωαβεαβ − ε∗βα =,(18.8)8πi4πiè ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ìîùíîñòü äèññèïàöèè òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ àíòèýðìèòîâîé ÷àñòüþ òåíçîðà äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè:Hσαβ=Q=−iω A ∗ε E Eβ .8π αβ α(18.9)Ôîðìóëàìè (18.7) è (18.9) ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ è äëÿ ñëàáî çàòóõàþùåéâîëíû, îäíàêî îíè, êàê è îïðåäåëåíèå ñðåäíåé ìîùíîñòè äèññèïàöèè,â ýòîì ñëó÷àå òåðÿþò ñâîé ñòðîãèé ñìûñë.1.19 Ýíåðãèÿ âîëíûÏî îïðåäåëåíèþ, ýíåðãèåé âîëíû W ñ÷èòàåòñÿ ðàçíîñòü ìåæäó ýíåðãèåé âîçìóùåííîé ñðåäû (ñ âîëíîé) è ýíåðãèåé íåâîçìóùåííîé ñðåäû (áåçâîëíû).
Ýíåðãèÿ âîëíû ìîæåò áûòü êàê ïîëîæèòåëüíîé, òàê è îòðèöàòåëüíîé (÷òî ñëó÷àåòñÿ, åñëè ñðåäà íå íàõîäèòñÿ â òåðìîäèíàìè÷åñêîìðàâíîâåñèè). Ýòî îïðåäåëåíèå, êàê è ñàìî ïîíÿòèå ýíåðãèè âîëíû, èìååòñìûñë òîëüêî äëÿ ìåäëåííî íàðàñòàþùèõ èëè çàòóõàþùèõ âîëí, êîãäààìïëèòóäà âîçìóùåíèÿ ìàëî ìåíÿåòñÿ â òå÷åíèå ïåðèîäà âîëíû.Ýíåðãèÿ âîëíû ñâÿçàíà ñ ìîùíîñòüþ äèññèïàöèè. Äåéñòâèòåëüíî,ðàññìîòðèì áåñêîíå÷íóþ ïëîñêóþ âîëíó, çàòóõàþùóþ ñ äåêðåìåíòîì γ :~ ∝ e−γt .|E|(19.1)Ìîùíîñòü äèññèïàöèè, êâàäðàòè÷íàÿ ïî ýëåêòðè÷åñêîìó ïîëþ, óáûâàåòñ óäâîåííûì äåêðåìåíòîì:~ 2,Q = Q0 e−2γt ∝ |E|39(19.2)îòêóäà ñëåäóåò áàëàíñ ýíåðãèè â âîëíå:dW= −Q = −Q0 e−2γt .dt(19.3)Èíòåãðèðóÿ (19.3), íàõîäèì íà÷àëüíóþ ýíåðãèþ âîëíû:Z∞W0 =Q dt =Q0.2γ(19.4)0Çíà÷èò, â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíèW =Q.2γ(19.5)×òîáû âîñïîëüçîâàòüñÿ ýòîé ôîðìóëîé, íóæíî çíàòü äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ âîëíû.
Íàéäåì åãî èç óðàâíåíèÿ (4.5), ïîëàãàÿ â ïîñëåäíåìω = ω0 − iγ,γ ω0 .(19.6)Îáîçíà÷èìω2 Hε .(19.7)c2 αβÏîñêîëüêó ìû ñ÷èòàåì âîëíó ñëàáîçàòóõàþùåé, à çà çàòóõàíèå âîëíûîòâå÷àåò àíòèýðìèòîâà ÷àñòü εαβ , òî â óðàâíåíèèω2 A0Lαβ (ω) + 2 εαβ (ω) Eβ = 0(19.8)cL0αβ (ω) = kα kβ − k 2 δαβ +ìîæíî âòîðîå ñëàãàåìîå â ñêîáêàõ ñ÷èòàòü ìàëûì è ïðîèçâåñòè ðàçëîæåíèå ïî ìàëûì ïàðàìåòðàì.  íóëåâîì ïîðÿäêå ïî ìàëîñòÿì γ è εAαβèìååìL0αβ (ω0 )E0β = 0,(19.9)îòêóäà ñòàíäàðòíûì ñïîñîáîì (ï. 1.4) íàõîäèì â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè~ 0 . Óäåðæèìäèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå ω0 (~k) è ïîëÿðèçàöèþ âîëíû Eòåïåðü â óðàâíåíèè (19.8) òàêæå ñëàãàåìûå, ñîäåðæàùèå ìàëûå ïàðàìåòðû â ïåðâîé ñòåïåíè:!∂L0αβ (ω0 ) ω02 A0Lαβ (ω0 ) − iγ+ 2 εαβ (ω0 ) Eβ = 0.(19.10)∂ω0c∗Ñâåðíåì ðàâåíñòâî (19.10) ñ âåêòîðîì E0α.
 ñèëó ýðìèòîâîñòè L0αβ (ω0 )èìååì∗∗E0αL0αβ (ω0 )Eβ = Eβ · LH∗(19.11)βα (ω0 )E0α = 0,40÷òî ïîçâîëÿåò íàéòè γ èç (19.10):!!ω02 εH∂ω02 Aαβ (ω0 )∗−iγ+ 2 εαβ (ω0 ) E0αEβ = 0,∂ω0c2cγ = −∗iω 2 εAαβ (ω)Eα Eβ;∂∗ω 2 εH(ω)EEαβα β∂ω(19.12)~â óðàâíåíèè (19.12) ìû ïðåíåáðåãëè ìàëûì îòëè÷èåì ìåæäó ω è ω0 , E~è E0 .Ïîäñòàâëÿÿ (19.12) è (18.9) â (19.5), ïîëó÷àåì óäîáíóþ è âåñüìà óíèâåðñàëüíóþ ôîðìóëó äëÿ íàõîæäåíèÿ ýíåðãèè âîëíû ïî äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè:1∂2 HW =ω εαβ (ω) Eα∗ Eβ .(19.13)16πω ∂ω ýòîé ôîðìóëå ñíà÷àëà ïðîèçâîäèòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî ω , à çàòåì, åñëè íóæíî, ïîäñòàâëÿþòñÿ äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå ω(~k) è ïîëÿðèçàöèÿ äëÿ êîíêðåòíîé âîëíû. êà÷åñòâå ïðèìåðà íàéäåì ýíåðãèþ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â äèýëåêòðèêå ñ ε = const:εαβ = εδαβ = εH(19.14)αβ .Èìååì~ 21 ∂ ω 2 εδαβ ∗2ωε ∗ε|E|W =Eα Eβ =Eα Eα =.16πω∂ω16πω8π(19.15)1.20 Èìïóëüñ âîëíûÂîëíà õàðàêòåðèçóåòñÿ íå òîëüêî ýíåðãèåé, íî è èìïóëüñîì.
Êîãäà âîëíà çàòóõàåò, åå èìïóëüñ ïåðåäàåòñÿ ñðåäå. Èçìåíåíèå ñðåäíåãî èìïóëüñàñðåäû p~ ïîä äåéñòâèåì ýëåêòðîìàãíèòíûõ ñèë îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåìd~p1 h~ ~ i~= ρE +j×B .(20.1)dtc ñëó÷àå ïëîñêîé ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû óðàâíåíèå (20.1) ïðèíèìàåò âèäd~p1 h~ h~ ~ ii~=ρE +j× k×E=dtω!+*~k~j~ ~k~ + k ~j E~=ρ−E= Q,(20.2)ωωω41ãäå ðàçíîñòü â êðóãëûõ ñêîáêàõ ðàâíà íóëþ â ñèëó óðàâíåíèÿ íåïðåðûâíîñòè. Ïîñêîëüêó èìïóëüñ, îòäàâàåìûé çàòóõàþùåé âîëíîé ñðåäå,~ïðîïîðöèîíàëåí îòäàâàåìîé ýíåðãèè, òî è ïîëíûé èìïóëüñ âîëíû Pïðîïîðöèîíàëåí åå ïîëíîé ýíåðãèè ñ òåì æå êîýôôèöèåíòîì:~~ = k W.Pω(20.3) ôîðìóëå (20.3) ýíåðãèÿ è èìïóëüñ âîëíû áåðóòñÿ â ðàñ÷åòå íà åäèíèöó~ è W ïëîòíîñòè èìïóëüñà è ýíåðãèè âîëíû.îáúåìà, ò. å.
PÑîîòíîøåíèå (20.3) ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü ëþáóþ âîëíó (íå òîëüêî ýëåêòðîìàãíèòíóþ) êàê ñîâîêóïíîñòü îòäåëüíûõ êâàíòîâ, êàæäûé èçêîòîðûõ èìååò ýíåðãèþ ~ω è èìïóëüñ ~~k , ãäå ~ ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà.1.21 Ïîòîê ýíåðãèè âîëíûÏëîòíîñòü ýíåðãèè W õàðàêòåðèçóåò ñïîñîáíîñòü âîëíû çàïàñàòüýíåðãèþ. Ñïîñîáíîñòü æå âîëíû ïåðåíîñèòü ýíåðãèþ õàðàêòåðèçóåò~ . ×òîáû íàéñÿ âåêòîðíîé âåëè÷èíîé ïëîòíîñòüþ ïîòîêà ýíåðãèè S~ , ðàññìîòðèì ñòàöèîíàðíóþ ñëàáîçàòóõàþùóþ ïðîñòðàíñòâåííîòè Síåîäíîðîäíóþ âîëíó (ò. å.
âîëíó, â êîòîðîé ïîòîê ýíåðãèè íå çàíóëÿåòñÿïî ãåîìåòðè÷åñêèì ñîîáðàæåíèÿì è íåñëîæíî âû÷èñëÿåòñÿ):~∂|E|= 0,∂t~ ∝ e−æx eik0 x−iωt ,Eæ k0 ,ω ∈ R.(21.1)Ïîñòóïàåì ïî àíàëîãèè ñ ðàçäåëîì 1.19. Çàïèøåì áàëàíñ ýíåðãèèâ âîëíå:∂Sx= −Q = −Q0 e−2æx ,(21.2)∂xîòêóäà ïîëó÷àåìQSx =.(21.3)2æÄåêðåìåíò ïðîñòðàíñòâåííîãî çàòóõàíèÿ æ íàõîäèì, ðàçëàãàÿ (4.5) ïîìàëûì ïàðàìåòðàì.  íóëåâîì ïðèáëèæåíèè èç óðàâíåíèÿL0αβ (k0 ) E0β = 042(21.4)ïîëó÷àåì äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå â ôîðìå k0 = k0 (ω) è íåâîçìó~ 0 .  ïåðâîì ïîðÿäêå ïî ìàëîñòÿì èìååìùåííóþ ïîëÿðèçàöèþ âîëíû Eω2 A0Lαβ (k0 + iæ) + 2 εαβ (k0 ) Eβ = 0,c!0∂Lαβω2 A∗0Eβ = 0,Lαβ (k0 ) + iæ+ 2 εαβ (k0 ) E0α∂kxc∗iω 2 εAαβ Eα Eβ,∂L0αβ ∗2cE Eβ∂kx α!∂L0αβc2Sx = −Eα∗ Eβ .16πω∂kxæ=(21.5)(21.6)Îáîáùàÿ (21.6) íà äâå äðóãèå êîîðäèíàòû (y è z ), îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ âåêòîðà ïëîòíîñòè ïîòîêà ýíåðãèè:!∂L0αβc2~Eα∗ Eβ .(21.7)S=−16πω∂~kÊàê ñëåäóåò èç âûâîäà, ïðè âû÷èñëåíèè ïðîèçâîäíîé â (21.7) ÷àñòîòóω ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê íå çàâèñÿùèé îò ~k ïàðàìåòð.Èçâåñòíî, ÷òî ëîêàëèçîâàííûå âîëíîâûå ïàêåòû äâèæóòñÿ ñ ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ ~vg , ãäå∂ω(~k).(21.8)~vg =∂~kÈíûìè ñëîâàìè, ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü îïðåäåëÿåò ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿýíåðãèè âîëíû.
Ïîëó÷èì ýòîò ôàêò ñòðîãî èç óðàâíåíèé (19.13) è (21.7).Ïóñòü çàòóõàíèå ìàëî, è ω è ~k ìîæíî ñ÷èòàòü äåéñòâèòåëüíûìè. Èç (4.5)èìååìL0αβ Eα∗ Eβ = 0.(21.9)Ðàâåíñòâî (21.9) âåðíî íå äëÿ ëþáûõ ω è ~k , à òîëüêî äëÿ ñâÿçàííûõäèñïåðñèîííûì ñîîòíîøåíèåì ω = ω(~k). Ïðè óñëîâèèdω =∂ω(~k) ~dk∂~k(21.10)â ïîëíîì äèôôåðåíöèàëå (21.9)!∂L0αβ∂L0αβ∂Eα∗∗0∗ ∂Eβ~dk +dω Eα Eβ +LαβEβ + Eαd~k = 0 (21.11)∂ω∂~k∂~k∂~k43âòîðàÿ ñêîáêà îáðàùàåòñÿ â íîëü â ñèëó ýðìèòîâîñòè îïåðàòîðà L0αβ ,à ïåðâàÿ, ïîñëå äîìíîæåíèÿ íà c2 /(16πω), äàåò óðàâíåíèå~~ d~k − W ∂ω(k) d~k = 0,S∂~k(21.12)êîòîðîå âåðíî äëÿ ëþáûõ d~k . Ñëåäîâàòåëüíî,~ = ~vg W.S(21.13)1.22 Ïåðåõîäíîå èçëó÷åíèåÇàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà, ïðîëåòàÿ ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ ñðåä, èçëó÷àåò.Ýòî èçëó÷åíèå íàçûâàåòñÿ ïåðåõîäíûì.
Ïåðåõîäíîå èçëó÷åíèå ïîÿâëÿåòñÿ âñëåäñòâèå èçìåíåíèÿ ïîëÿðèçàöèè ñðåäû, à íå óñêîðåíèÿ èëè çàìåäëåíèÿ ÷àñòèöû. Ïîýòîìó ïåðåõîäíîå èçëó÷åíèå íå çàâèñèò îò ìàññûïðîëåòàþùåé ÷àñòèöû.Ñòðîãàÿ òåîðèÿ ïåðåõîäíîãî èçëó÷åíèÿ äîâîëüíî ãðîìîçäêà, ïîýòîìó ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé ïåðïåíäèêóëÿðíîãî âëåòà íåðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû èç âàêóóìà â èäåàëüíûé ïðîâîäíèê (ðèñ.
1.13,à ). Âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì èçîáðàæåíèé. Ñóììàðíûé äèïîëüíûé ìîìåíò ÷àñòèöû è åå èçîáðàæåíèÿ2q~v t, t < 0,~d(t) =(22.1)0,t > 0,ãäå q çàðÿä ÷àñòèöû, ~v åå ñêîðîñòü, à âðåìÿ îòñ÷èòûâàåòñÿ îòìîìåíòà âõîäà ÷àñòèöû â ñðåäó. Ïðîèçâîäíûå îò äèïîëüíîãî ìîìåíòàïî âðåìåíè ðàâíû2q~v , t < 0,~˙ =d(t)(22.2)0,t > 0;~¨ = −2q~v δ(t)d(t)(22.3)(ðèñ. 1.13,á ). Ñïåêòðàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ïîëíîé ýíåðãèè äèïîëüíîãî¨èçëó÷åíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ôóðüå-îáðàçîì d~:1~¨d(ω)=√2πZ∞−∞2q~v~¨ e−iωt dt = − √d(t).2π44(22.4)абÐèñ.
1.13: Ãåîìåòðèÿ çàäà÷è î ïåðåõîäíîì èçëó÷åíèè (à) ; äèïîëüíûéìîìåíò ñèñòåìû è åãî ïðîèçâîäíûå (á)Îíî äàåòñÿ ôóíêöèåédI=dω2~¨2 d(ω)3c3·4q 2 v 21·2=.23πc3(22.5)Ìíîæèòåëü 1/2 â ôîðìóëå (22.5) ïîÿâëÿåòñÿ, ïîñêîëüêó èçëó÷åíèå èäåòòîëüêî â ëåâóþ ïîëîâèíó ïðîñòðàíñòâà, à ìíîæèòåëü 2 èç-çà âêëàäàîòðèöàòåëüíûõ ÷àñòîò (ïðè çàïèñè ñïåêòðàëüíîé èíòåíñèâíîñòè ÷àñòîòà îáû÷íî ïîäðàçóìåâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé).Òàêèì îáðàçîì, ïðè âõîäå â ïðîâîäíèê ÷àñòèöà ðàâíîìåðíî èçëó÷àåò â øèðîêîì ÷àñòîòíîì äèàïàçîíå. Ïðîáëåì ñ ðàñõîäèìîñòüþ ïîëíîéèçëó÷åííîé ýíåðãèè ïðè ýòîì íå âîçíèêàåò, ïîñêîëüêó ïðè áîëüøèõ ÷àñòîòàõdIε(ω) → 1,→ 0.(22.6)dω1.23 ×åðåíêîâñêîå èçëó÷åíèå×àñòèöà, êîòîðàÿ äâèæåòñÿ â ñðåäå ñî ñêîðîñòüþ, ïðåâûøàþùåé ôàçîâóþ ñêîðîñòü ñâåòà â ýòîé ñðåäå, èçëó÷àåò ñâåò. Ýòî èçëó÷åíèå íàçûâàåòñÿ ÷åðåíêîâñêèì (Ï.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
