1625915574-ba679e180264e0f82c994c8dd0b7c5fc (843950), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Áóêâû ¾î¿ è ¾í¿ îáîçíà÷àþò îáûêíîâåííóþ è íåîáûêíîâåííóþ âîëíû1.11 Ýôôåêò Êåððà~ 0 ) èñòèííî èçîòðîïíàÿ îäíîðîäíîì âíåøíåì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå (Eñðåäà ïðèîáðåòàåò ñâîéñòâà îäíîîñíîãî êðèñòàëëà. Ýòî ÿâëåíèå íàçû~ 0 çàäàåòâàåòñÿ ýôôåêòîì Êåððà (J. Kerr, 1875). Äåéñòâèòåëüíî, ïîëå E~0 â ñðåäå âûäåëåííîå íàïðàâëåíèå, ò. å. îïòè÷åñêóþ îñü.
Ïîñêîëüêó Eèñòèííûé âåêòîð, äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû ñ ïîëåì ïðèíèìàåò âèäεαβ = A(ω, E0 ) δαβ + B(ω, E0 ) E0α E0β ,(11.1)èëèεαβE0α E0βE0α E0β= ε⊥ δαβ −+ εk,2E0E02ε⊥ = A,εk = A + BE02 ,(11.2)(11.3)ãäå A è B íåêèå ôóíêöèè.  îáùåì ñëó÷àå B 6= 0, ïîýòîìó ε⊥ 6= εk ,÷òî è ñîîòâåòñòâóåò îäíîîñíîìó êðèñòàëëó.Íà ýôôåêòå Êåððà îñíîâàíî äåéñòâèå ÿ÷åéêè Êåððà (ðèñ. 1.4) óñòðîéñòâà, ïðèìåíÿåìîãî â êà÷åñòâå îïòè÷åñêîãî çàòâîðà èëè ìîäóëÿòîðà ñâåòà. Ñõåìàòè÷åñêè äåéñòâèå òàêîãî çàòâîðà ïîêàçàíî íà ðèñ. 1.4.Èñïîëüçóåòñÿ ñïîñîáíîñòü îäíîîñíîãî êðèñòàëëà èçìåíÿòü ïîëÿðèçàöèþ ñâåòà ñ ëèíåéíîé íà êðóãîâóþ è îáðàòíî. Ïîëÿðèçàöèîííûå ôèëüòðû (¾ïîëÿðèçàòîð¿ è ¾àíàëèçàòîð¿) íàõîäÿòñÿ â ñêðåùåííîì ïîëîæåíèè, ïîòîìó â îòñóòñòâèå ïîëÿ â êîíäåíñàòîðå ñâåò ÷åðåç ñèñòåìó23ïîëÿðèçàòîðêîíäåíñàòîðñ ïðîçðà÷íûìäèýëåêòðèêîìàíàëèçàòîðÐèñ.
1.4: Äåéñòâèå ÿ÷åéêè Êåððà. Ñíèçó ñõåìàòè÷åñêè ïîêàçàíà ïîëÿ~)ðèçàöèÿ ñâåòà (íàïðàâëåíèå âåêòîðà Eíå ïðîõîäèò. Ïðè âêëþ÷åíèè ïîëÿ íàïðàâëåíèå ïîëÿðèçàöèè ìåíÿåòñÿíà ïåðïåíäèêóëÿðíîå, è àíàëèçàòîð ïðîïóñêàåò ñâåò.1.12 Ìàãíèòîîïòè÷åñêèå ýôôåêòûÐàññìîòðèì èñòèííî èçîòðîïíóþ ñðåäó áåç ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåð~ 0 .
Âíåøíååñèè, ïîìåùåííóþ âî âíåøíåå îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå Bïîëå çàäàåò âûäåëåííîå íàïðàâëåíèå, ïîýòîìó òåíçîð äèýëåêòðè÷åñêîéïðîíèöàåìîñòè ñðåäû ïðèíèìàåò âèäB0α B0βB0α B0βB0γ+ εk+ igeαβγ,(12.1)εαβ = ε⊥ δαβ −B02B02B0ïðè÷åì êîýôôèöèåíò g íå çàíóëÿåòñÿ èç ñîîáðàæåíèé çåðêàëüíîé ñèì~ 0 ïñåâäîâåêòîð (íå ìåíÿåò çíàêà ïðè òðîéíîì îòìåòðèè, òàê êàê Bðàæåíèè).абÐèñ.
1.5: Ïîâîðîò ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè âî âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå(à) è â ñðåäå ñ åñòåñòâåííîé îïòè÷åñêîé àêòèâíîñòüþ (á).  êðóæêàõïîêàçàíà îðèåíòàöèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âîëíû â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ~k24~ 0 ),Åñëè âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïàðàëëåëüíî âíåøíåìó ïîëþ (~k k Bòî íàøà çàäà÷à ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å î åñòåñòâåííîé îïòè÷åñêîé àêòèâíîñòè (òåíçîð (12.1) ïðèíèìàåò òîò æå âèä). Ñëåäîâàòåëüíî, ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû èìåþò â ñðåäå êðóãîâóþ ïîëÿðèçàöèþ ñ íåñêîëüêîðàçëè÷íûìè ôàçîâûìè ñêîðîñòÿìè, ÷òî è ïðèâîäèò ê âðàùåíèþ ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà. Ýòîò ýôôåêò (âðàùåíèå ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè ïðè íàëîæåíèè ïðîäîëüíîãî ìàãíèòíîãîïîëÿ) íàçûâàåòñÿ ýôôåêòîì Ôàðàäåÿ (M.
Faraday, 1845). Íàïðàâëåíèå~ 0 , ïîýòîìóôàðàäååâñêîãî âðàùåíèÿ çàâèñèò îò çíàêà ïðîèçâåäåíèÿ ~k Bïðè ïðîõîæäåíèè ñðåäû ¾òóäà è îáðàòíî¿ óãëû ïîâîðîòà ñêëàäûâàþòñÿ(ðèñ. 1.5,à ). Èíàÿ ñèòóàöèÿ áóäåò â ñëó÷àå åñòåñòâåííîé îïòè÷åñêîé àêòèâíîñòè.
Ïîñêîëüêó íàïðàâëåíèå âðàùåíèÿ ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè íåçàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, òî ïîñëå ïðîõîæäåíèèñðåäû ¾òóäà è îáðàòíî¿ ïîëÿðèçàöèÿ ñâåòà áóäåò ïðåæíåé (ðèñ. 1.5,á ).Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè âîëíû ïîïåðåê âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñðåäà âåäåò ñåáÿ ïî÷òè êàê îäíîîñíûé êðèñòàëë. Ýòîò ýôôåêò íàçûâàåòñÿýôôåêòîì Êîòòîíà Ìóòîíà (A. Cotton, H. Mouton, 1907). Äåéñòâèòåëüíî, â ñëó÷àå~k k ~x~ 0,~z k B(12.2)èìååìω2ε⊥c2ω2−i 2 gcω2ε⊥ − k 2c200iω2gc20 Ex Ey0ω22Ezε−kkc2 = 0,(12.3)îòêóäà íàõîäèì âîëíû:k 2 c2= εk ,ω2k 2 c2g2= ε⊥ −,2ωε⊥~ kB~ 0;Ez 6= 0, E(12.4)~ ⊥B~ 0.Ex , Ey 6= 0, E(12.5) ñëó÷àå ñëàáîãî âíåøíåãî ïîëÿ âîëíà (12.5) ÿâëÿåòñÿ ïî÷òè ïîïåðå÷íîé~ ⊥ ~k ):(E|g| ε⊥ ∼ 1 ⇒ |Ex | |Ey |.(12.6)Íàëè÷èå â ñðåäå äâóõ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûõ ïîïåðå÷íûõ âîëí ñ ðàçíûìè ôàçîâûìè ñêîðîñòÿìè ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ ïîëÿðèçàöèè ñâåòà25(ñì.
ðèñ. 1.3,á ). Ìîæíî òàêæå ïîêàçàòü, ÷òî åñëè âåêòîð âåêòîð ~k ïî~ 0 , òî íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíå÷òè (íî íå ñòðîãî) ïåðïåíäèêóëÿðåí Bíèÿ âîëí (12.4) è (12.5) íåìíîãî ðàçëè÷àþòñÿ, ÷òî ïðèâîäèò ê ýôôåêòóäâîéíîãî ëó÷åïðåëîìëåíèÿ.1.13 Àíàëèòè÷åñêèå ñâîéñòâàäèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòèÎáëàñòü àíàëèòè÷íîñòè. Ðàññìîòðèì ñðåäó ñ ÷àñòîòíîé äèñïåðñèåéè äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ(13.1)εαβ = ε(ω) δαβ .~ (1.12) è îïåðà ñèëó îïðåäåëåíèé âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè Dòîðà ε̂ (3.4) èìååì~E(t)+Zt~4π~j(t ) dt = D(t)=00−∞Zt~ 0 ) dt0 ,ε(t − t0 ) E(t(13.2)−∞îòêóäà âèäíî, ÷òî ÿäðî îïåðàòîðà äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòèäîëæíî ñîäåðæàòü â ñåáå δ -ôóíêöèþ.
Ââåäåì, ïî îïðåäåëåíèþ, ôóíêöèþ îòêëèêà ñðåäûτ = t − t0 .(13.3)~ 0 ) dt0 .f (t − t0 ) E(t(13.4)f (τ ) = ε(τ ) − δ(τ ),Òîãäà~~D(t)= E(t)+Zt−∞Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ f (τ ) äåéñòâèòåëüíà (ñâÿçûâàåò äåéñòâèòåëüíûå~ èE~ ) è ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè áîëüøèõ çíà÷åôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû D~ èç äàëåêîãî ïðîøëîãî ñëàáî âëèÿåò íà òåêóùååíèÿõ àðãóìåíòà (ïîëå Eñîñòîÿíèå ñèñòåìû). ôóðüå-ïðåäñòàâëåíèè èç (13.3) ïîëó÷àåìZ∞ε(ω) = 1 +f (τ ) eiωτ dτ.(13.5)0Èíòåãðàë â (13.5) çàâåäîìî ñõîäèòñÿ ïðè Im ω > 0, ïðè÷åì â ñèëóñâîéñòâ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà ε(ω) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé â îáëàñòè ñõîäèìîñòè.
Òàêèì îáðàçîì, àíàëèòè÷íîñòü â âåðõíåé26ïîëóïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ïðèíöèïà ïðè÷èííîñòè (f (τ ) ≡ 0ïðè τ < 0) è âûáðàííîãî îïðåäåëåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå (3.1), (3.2).×åòíîñòü. Èç ôîðìóëû (13.5) ñ î÷åâèäíîñòüþ ñëåäóåò(13.6)ε(−ω) = ε∗ (ω ∗ ). ÷àñòíîñòè, íà ìíèìîé ïîëóîñè Im ω > 0 ôóíêöèÿ ε(ω) ïðèíèìàåòäåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Íà äåéñòâèòåëüíîé îñèRe ε(−ω) = Re ε(ω),Im ε(−ω) = −Im ε(ω).(13.7)Âåùåñòâåííûå çíà÷åíèÿ.
Ôóíêöèÿ ε(ω) â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòèïðèíèìàåò êàæäîå âåùåñòâåííîå çíà÷åíèå íå áîëåå îäíîãî ðàçà. Äëÿäîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ôàêòà âû÷èñëèì èíòåãðàëZ1dε dωI=,a∈R(13.8)2πidω ε − aCïî êîíòóðó C (ðèñ. 1.6,à ), ïðîõîäÿùåìó íàä âåùåñòâåííîé îñüþ ω è çàìûêàþùåìóñÿ ÷åðåç êîìïëåêñíóþ áåñêîíå÷íîñòü.  ñèëó ïðèíöèïà àðãóìåíòà èíòåãðàë I ðàâåí ðàçíîñòè ìåæäó ÷èñëîì íóëåé è ÷èñëîì ïîëþñîâ çíàìåíàòåëÿ ε(ω) − a âíóòðè êîíòóðà C . Ïîñêîëüêó âíóòðè Côóíêöèÿ ε(ω) àíàëèòè÷íà è íå èìååò ïîëþñîâ, òî ÷èñëî I ïîêàçûâàåò,ñêîëüêî ðàç ε(ω) ïðèíèìàåò çíà÷åíèå a.Äëÿ âû÷èñëåíèÿ I ïåðåéäåì ê ïåðåìåííîé ε:Z1dεI=.(13.9)2πiε−aC01абÐèñ. 1.6: Ñîîòâåòñòâèå êîíòóðîâ èíòåãðèðîâàíèÿ íà ïëîñêîñòè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé ω (à) è ε (á)27Êîíòóð C 0 íà ïëîñêîñòè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé ε (ðèñ.
1.6,á ) ïðîõîäèò÷åðåç åäèíèöó ïðè ω = ∞ è ÷åðåç ε(0) ïðè ω = 0. Ó÷àñòîê C 0 , ñîîòâåòñòâóþùèé ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè äåéñòâèòåëüíîé îñè ω è îáîçíà÷åííûé ¾+¿, áóäåò ëåæàòü â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè, ïîñêîëüêó â ñðåäåâñåãäà åñòü äèññèïàöèÿ (ïóñòü äàæå î÷åíü ìàëåíüêàÿ), à äëÿ ïîëîæèòåëüíîñòè Q ïðè ω > 0 â ñèëó (18.9) íóæíî Im ε > 0. Îòðèöàòåëüíàÿïîëóîñü ω â ñèëó (13.7) ïåðåéäåò â ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî äåéñòâèòåëüíîé îñè ε ó÷àñòîê êîíòóðà C 0 (îáîçíà÷åííûé ''). Íàïðàâëåíèåîáõîäà C 0 áóäåò òàêèì, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 1.6,á.Êîíòóð C 0 ïåðåñåêàåò äåéñòâèòåëüíóþ îñü òîëüêî â äâóõ òî÷êàõ.Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè a ∈ (1, ε(0)), òî âíóòðè C 0 ïîÿâëÿåòñÿ îäèí ïðîñòîé ïîëþñ I = 1 è äåéñòâèòåëüíîå çíà÷åíèå a ïðèíèìàåòñÿ îäèí ðàç. ïðîòèâíîì ñëó÷àå ε(ω) íå ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ a â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè ïåðåìåííîé ω .Èç äîêàçàííîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ε(ω) ïðèíèìàåò äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ òîëüêî íà ìíèìîé ïîëóîñè Im ω > 0, ïðè÷åì ìîíîòîííîóáûâàåò íà íåé îò ε(0) äî 1.1.14 Òåîðåìà Êðàìåðñà ÊðîíèãàÀíàëèòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ìîæíî ïîëíîñòüþ âîññòàíîâèòü ïî åå äåéñòâèòåëüíîé èëè ìíèìîé ÷àñòè.
Ïðèìåíèòåëüíî ê äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïî äèñïåðñèè âîëíû (îïðåäåëÿåìîé Re ε)ìîæíî íàéòè äåêðåìåíò åå çàòóõàíèÿ (âûðàæàþùèéñÿ ÷åðåç Im ε) è íàîáîðîò.Ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâóþùèå ôîðìóëû äëÿ ñðåäû ñ äèýëåêòðè÷åñêîéïðîíèöàåìîñòüþ (13.1), ïðè÷åì áóäåì ñ÷èòàòü ε(ω) àíàëèòè÷åñêîé òàêæå è íà äåéñòâèòåëüíîé îñè (ïðè Im ω ≥ 0). Âûáåðåì ω0 ∈ R è âû÷èñëèìèíòåãðàëZε(ω) − 1dω(14.1)ω − ω0Cïî êîíòóðó C (ðèñ. 1.7). Ïîñêîëüêó âíóòðè êîíòóðà ïîäûíòåãðàëüíîåâûðàæåíèå àíàëèòè÷íî, ýòîò èíòåãðàë ðàâåí íóëþ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,Z=CωZ0 −ρZ++xR−RZRZ+yρ,(14.2)ω0 +ρïðè÷åì èíòåãðàë ïî áîëüøîé ïîëóîêðóæíîñòè â ñèëó àñèìïòîòèêè (6.5)28Ðèñ. 1.7: Ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû Êðàìåðñà Êðîíèãà (êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ)çàíóëÿåòñÿ:Zε(ω) − 1dω = −ω − ω0xZωp2dω −−−−→ 0,R→∞ω3(14.3)xRRèíòåãðàë ïî ìàëîé ïîëóîêðóæíîñòè ñâîäèòñÿ ê ïîëóâû÷åòó:Zε(ω) − 1ε(ω) − 1dω = −πi Res= −πi ε(ω0 ) − 1 ,ω − ω0ω − ω0(14.4)yρà èíòåãðàëû ïî ó÷àñòêàì äåéñòâèòåëüíîé îñè îáúåäèíÿþòñÿ â îäèí èíòåãðàë â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ.
Òàêèì îáðàçîì,Z∞−∞ε(ω) − 1dω = πi ε(ω0 ) − 1 ,ω − ω0(14.5)îòêóäà, âçÿâ îòäåëüíî äåéñòâèòåëüíóþ è ìíèìóþ ÷àñòè, ïîëó÷àåì ôîðìóëûZ∞−∞Z∞−∞Re ε(ω) − 1dω = −π Im ε(ω0 ),ω − ω0(14.6)Im ε(ω)dω = π Re ε(ω0 ) − 1 ,ω − ω0(14.7)èçâåñòíûå êàê ôîðìóëû Êðàìåðñà Êðîíèãà (H. A. Kramers,R. L. Kronig, 1927).
Ôîðìóëû (14.6) è (14.7) ïîçâîëÿþò ïî èçâåñòíîé29ìíèìîé ÷àñòè äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè íàéòè âåùåñòâåííóþè íàîáîðîò.Ìíèìàÿ ÷àñòü ε(ω) íå òîëüêî ïîëîæèòåëüíà ïðè ω > 0, íî è íå ìîæåòáûòü ïðåíåáðåæèìî ìàëîé âî âñåì èíòåðâàëå ÷àñòîò. Äåéñòâèòåëüíî,ïåðåïèøåì ëåâóþ ÷àñòü (14.7) â âèäåZ∞−∞Z∞Z0Im ε(ω)Im ε(ω)Im ε(ω)dω = dω + dω =ω − ω0ω − ω0ω − ω0−∞0Z∞=0Z∞Z∞Im ε(ω)2ω Im ε(ω)Im ε(ω)dω + dω = dω, (14.8)ω − ω0ω + ω0ω 2 − ω0200ãäå â îäíîì èç èíòåãðàëîâ ìû ñäåëàëè çàìåíó ω → −ω è âîñïîëüçîâàëèñü íå÷åòíîñòüþ Im ε(ω).
Ïðè ω0 → ∞ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ω 2 â çíàìåíàòåëå (14.8) è âîñïîëüçîâàòüñÿ àñèìïòîòèêîé (6.5):Z∞−0ωp22ω Im ε(ω)dω=−π,ω02ω02îòêóäà ïîëó÷àåì ïðàâèëî ñóìì:Z∞ω Im ε(ω) dω =πωp2.2(14.9)0Àíàëîãè÷íî ïðè ω0 → 0 èç (14.8) èìååìZ∞Im ε(ω)πdω =ε(0) − 1 .ω2(14.10)0Ôîðìóëû Êðàìåðñà Êðîíèãà è èõ ñëåäñòâèÿ ëåãêî îáîáùèòü íàñðåäû, äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü êîòîðûõ èìååò ïîëþñ â íóëå(ïðîâîäÿùèå ñðåäû). êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ ôîðìóë Êðàìåðñà Êðîíèãà íàéäåì ìíèìóþ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ãàçà îñöèëëÿòîðîâïî åå äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè (5.8). Èç (14.6) èìååìZ∞(−ωp2 )1Im ε(ω∗ ) = − dω.π(ω 2 − ω02 )(ω − ω∗ )−∞30(14.11)Åñëè ω∗ 6= ±ω0 , òî ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå â (14.11) ìîæíî ðàçëîæèòü íà ýëåìåíòàðíûå äðîáè,(ω 2−ωp22ω0 )(ω− ω∗ )=ABC++,ω − ω0ω + ω0ω − ω∗A, B, C ∈ R, (14.12)êàæäàÿ èç êîòîðûõ ïðè èíòåãðèðîâàíèè â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿîáðàùàåòñÿ â íîëü.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
