1625915574-ba679e180264e0f82c994c8dd0b7c5fc (843950), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Óñëîâèå ïîëíîãî ïîäàâëåíèÿ äèôðàêöèè ìîæíî ïîëó÷èòü,ñðàâíèâ ñëàãàåìûå â ïðàâîé ÷àñòè (26.15):Aω 2 ηE03E0<,2kRkc2(26.16)ãäå R õàðàêòåðíûé ðàäèóñ ïó÷êà, à A êîýôôèöèåíò ïîðÿäêà åäèíèöû, çàâèñÿùèé îò ðàñïðåäåëåíèÿ ýíåðãèè ïó÷êà ïî ðàäèóñó. Ïåðåïèñàâíåðàâåíñòâî (26.16) â ôîðìåE02 2c3R c>,8π8πAω 2 ηëåãêî âèäåòü, ÷òî íåëèíåéíàÿ ôîêóñèðîâêà äîìèíèðóåò, êîãäà ìîùíîñòüïó÷êà ïðåâûøàåò íåêîå êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå:P > Pcrit .(26.17)Ýòî ÿâëåíèå è íàçûâàåòñÿ ñàìîôîêóñèðîâêîé.Ðèñ. 1.18: Íåëèíåéíàÿ ñàìîôîêóñèðîâêà ïó÷êà. Ñòðåëêàìè ïîêàçàíî íàïðàâëåíèå ïîòîêà ýíåðãèè59Ãëàâà 2Ãèäðîäèíàìèêà2.1 Óðàâíåíèÿ èäåàëüíîé ãèäðîäèíàìèêèÃèäðîäèíàìèêà ýòî íàóêà î äâèæåíèè æèäêîñòåé è ãàçîâ.
Çàêîíûäâèæåíèÿ ýòèõ äâóõ ñðåä îêàçûâàþòñÿ îäèíàêîâûìè, ïîòîìó äàëåå ìûáóäåì ãîâîðèòü î æèäêîñòÿõ, èìåÿ â âèäó òàêæå è ãàçû. ãèäðîäèíàìèêå æèäêîñòü âñåãäà ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ñïëîøíàÿñðåäà. Ýòî çíà÷èò, ÷òî, äàæå ãîâîðÿ î áåñêîíå÷íî ìàëîì ýëåìåíòå îáúåìà, ìû ïîäðàçóìåâàåì îáúåì ñ áîëüøèì ÷èñëî ÷àñòèö. Ñîîòâåòñòâåííî,ãèäðîäèíàìèêîé îïèñûâàþòñÿ òîëüêî ÿâëåíèÿ ñ õàðàêòåðíûì ìàñøòàáîì, ìíîãî áîëüøèì ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè è äëèíû ñâîáîäíîãîïðîáåãà ÷àñòèö.Èäåàëüíîé íàçûâàåòñÿ æèäêîñòü, â êîòîðîé íåò äèññèïàòèâíûõ ïðîöåññîâ (âÿçêîñòè è òåïëîïðîâîäíîñòè).Ñîñòîÿíèå æèäêîñòè ïîëíîñòüþ õàðàêòåðèçóåòñÿ åå ïëîòíîñòüþ ρ,ñêîðîñòüþ ~v è äàâëåíèåì p êàê ôóíêöèÿìè êîîðäèíàò (~r) è âðåìåíè (t).Ýòî âîçìîæíî, åñëè ñîñòîÿíèå ñèñòåìû áëèçêî ê òåðìîäèíàìè÷åñêîìóðàâíîâåñèþ. Äëÿ âûïîëíåíèÿ ýòîãî óñëîâèÿ è òðåáóåòñÿ ìàëîñòü äëèíûñâîáîäíîãî ïðîáåãà ïî ñðàâíåíèþ ñ ìàñøòàáîì çàäà÷è.Äâèæåíèå æèäêîñòè ïîä÷èíÿåòñÿ óðàâíåíèþ íåïðåðûâíîñòè∂ρ+ div ρ~v = 0,∂t∂ρ∂=−ρvβ ,∂t∂xβèëèêîòîðîå åñòü ïðÿìîå ñëåäñòâèå çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìàññû:ZZ∂~ρ dV = − ρ~v dS.∂tVS60(1.1)(1.2)Çäåñü ñëåâà ñòîèò èçìåíåíèå ìàññû îáúåìà, à ñïðàâà ìàññà âåùåñòâà,ïðèøåäøåãî â îáúåì.Àíàëîãè÷íî ìîæíî çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ èçìåíåíèÿ αêîìïîíåíòû èìïóëüñà:∂ρvα∂Παβ=−+ ρgα .∂t∂xβ(1.3)Çäåñü ρ~g ýòî îáúåìíàÿ ñèëà (íàïðèìåð, ñèëà òÿæåñòè), äåéñòâóþùàÿíà åäèíèöó îáúåìà æèäêîñòè, à Παβ òàê íàçûâàåìûé òåíçîð ïëîòíîñòè ïîòîêà èìïóëüñà, ðàâíûé ïîòîêó α-êîìïîíåíòû èìïóëüñà ÷åðåçåäèíè÷íóþ ïëîùàäêó, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ íàïðàâëåíèþ β .Èìïóëüñ â æèäêîñòè ìîæåò ïåðåíîñèòüñÿ äâóìÿ ñïîñîáàìè.
Âîïåðâûõ, îí òå÷åò âìåñòå ñ æèäêîñòüþ. Çà åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó ∆Sβ ïðîõîäèò îáúåì æèäêîñòè, ðàâíûé vβ(ðèñ. 2.1,a ). Ýòà æèäêîñòü íåñåò ñ ñîáîé èìïóëüñ vβ · ρ~v , â òîì ÷èñëå åãîα-êîìïîíåíòó â êîëè÷åñòâå ρvα vβ .абÐèñ. 2.1: Ê âû÷èñëåíèþ êîíâåêòèâíîé (à) è ñèëîâîé (á) ñîñòàâëÿþùèõïîòîêà èìïóëüñàÂî-âòîðûõ, ïåðåäà÷à èìïóëüñà ïðîèñõîäèò çà ñ÷åò äåéñòâèÿ âíóòðåííèõ ñèë. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà íåêèé îáúåì æèäêîñòè (∆V ) ÷åðåçïëîùàäêó dSβ ñî ñòîðîíû äðóãèõ ÷àñòåé æèäêîñòè äåéñòâóåò ñèëà dF~ ,è äðóãèõ ñèë íåò (ðèñ.
2.1,á ). Çà âðåìÿ dt ýòîò îáúåì ïðèîáðåòåò èìïóëüñdF~ dt, ÷åìó ñîîòâåòñòâóåò ïîòîê èìïóëüñà ÷åðåç åäèíèöó ïëîùàäè, ðàâíûé dF~ /dSβ .Íà ìèêðîñêîïè÷åñêîì óðîâíå ïîÿâëåíèå ¾ñèëîâîé¿ ñîñòàâëÿþùåéèìïóëüñà ìîæíî ïðîèëëþñòðèðîâàòü òàê (ðèñ. 2.2,à ). ×àñòèöà ñ èìïóëü61ñîì p~0 îòðàæàåòñÿ îò ãðàíèöû ðàññìàòðèâàåìîãî îáúåìà, ìåíÿåò ñâîéèìïóëüñ íà −~p0 è îòäàåò èìïóëüñ 2~p0 îáúåìó.абÐèñ. 2.2: Èëëþñòðàöèè âîçíèêíîâåíèÿ ñèëîâîé ñîñòàâëÿþùåé ïîòîêàèìïóëüñà (à) è íåíóëåâîãî ïîòîêà èìïóëüñà â ïîêîÿùåéñÿ æèäêîñòè (á) èäåàëüíîé æèäêîñòè ìåæäó îòäåëüíûìè åå ÷àñòÿìè ìîãóò äåéñòâîâàòü òîëüêî ñèëû äàâëåíèÿ, ïîòîìó òåíçîð ïëîòíîñòè ïîòîêà èìïóëüñà ïðèíèìàåò âèäΠαβ = ρvα vβ + p δαβ .(1.4)Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå çäåñü îçíà÷àåò, ÷òî íà ëþáóþ åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó â æèäêîñòè äåéñòâóåò ñèëà, ðàâíàÿ p è íàïðàâëåííàÿ ïî íîðìàëèê ïëîùàäêå. íåèäåàëüíîé æèäêîñòè âûðàæåíèå äëÿ èìïóëüñà, ïåðåäàâàåìîãîçà ñ÷åò âíóòðåííèõ ñèë, îêàçûâàåòñÿ áîëåå ñëîæíûì.
Ýòó ¾ñèëîâóþ¿ñîñòàâëÿþùóþ òåíçîðà Παβ íàçûâàþò ëèáî òåíçîðîì äàâëåíèÿ (pαβ ),ëèáî òåíçîðîì íàïðÿæåíèé (παβ ) â çàâèñèìîñòè îò çíàêà ïåðåä íåé:Παβ = ρvα vβ + pαβ = ρvα vβ − παβ .(1.5)Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî èìïóëüñ òå÷åò ïî æèäêîñòè äàæå òîãäà, êîãäà âñÿ æèäêîñòü ïîêîèòñÿ. Ýòîò êàæóùèéñÿ ïàðàäîêñ ñâÿçàí ñ òåì, ÷òîèìïóëüñ âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà. Íàïðèìåð, êîãäà ÷àñòèöû ëåòÿò âïðàâî(ðèñ. 2.2,á ), îíè ïåðåíîñÿò èìïóëüñ p0x â íàïðàâëåíèè ~x, à êîãäà âëåâî èìïóëüñ −p0x â íàïðàâëåíèè −~x, òàê ÷òî âêëàäû ÷àñòèö, ëåòÿùèõ¾òóäà¿ è ¾îáðàòíî¿, ñêëàäûâàþòñÿ è ñóììàðíî ïåðåíîñèòñÿ èìïóëüñ2p0x ïî ~x èëè −2p0x â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè, ÷òî îäíî è òîæå. Òàêèì îáðàçîì, â æèäêîñòè âñåãäà åñòü ïîòîê èìïóëüñà â ëþáîìíàïðàâëåíèè.Óðàâíåíèå ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà èäåàëüíîé æèäêîñòè îáû÷íî çàïèñûâàþò â èíîé, íåæåëè (1.3), ôîðìå.
×òîáû ïîëó÷èòü åå, ïîäñòàâèì62(1.4) â (1.3), ðàñêðîåì ïðîèçâîäíûå è âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì íåïðåðûâíîñòè:∂ρvα∂ρvα vβ∂ pδαβ=−−+ ρgα ,∂t∂xβ∂xβρ∂ρ∂ρvβ∂vα∂vα+ vα+ vα+ ρvβ=∂t∂t∂xβ∂xβ∂p∂+ (~v ∇) vα = −+ ρgα . (1.6)=ρ∂t∂xαÊîìáèíàöèþ ïðîèçâîäíûõ â êðóãëûõ ñêîáêàõ òðàäèöèîííî íàçûâàþòïîëíîé èëè ñóáñòàíöèîíàëüíîé ïðîèçâîäíîé è îáîçíà÷àþò d/dt. Åñëèîáû÷íàÿ ïðîèçâîäíàÿ ∂/∂t îïðåäåëÿåò èçìåíåíèå âåëè÷èíû â ôèêñèðîâàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà, òî ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ îïðåäåëÿåò èçìåíåíèå âåëè÷èíû â òî÷êå, äâèæóùåéñÿ âìåñòå ñ æèäêîñòüþ ñî ñêîðîñòüþ ~v :∂∂~r ∂∂d=+=+ (~v ∇).dt∂t∂t ∂~r∂t(1.7)Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèåd~v= −∇p + ρ~g(1.8)dtíàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ýéëåðà è âûðàæàåò ñîáîé ïðîñòîé ôàêò: ïðîèçâåäåíèå ìàññû åäèíè÷íîãî îáúåìà æèäêîñòè íà åãî óñêîðåíèå ðàâíîäåéñòâóþùåé íà îáúåì ñèëå. îòñóòñòâèå äèññèïàöèè ýíòðîïèÿ ëþáîãî ýëåìåíòà æèäêîñòè íå ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì.
 ÷àñòíîñòè, äëÿ ýíòðîïèè åäèíèöû ìàññû s èìååìρds(ρ, p)= 0.dt(1.9)Óðàâíåíèÿ (1.1), (1.8) è (1.9) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþò õàðàêòåð äâèæåíèÿèäåàëüíîé æèäêîñòè.Åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ýíòðîïèÿ s áûëà îäèíàêîâà âîâñåõ òî÷êàõ æèäêîñòè, òî îíà îñòàíåòñÿ âåçäå îäèíàêîâîé è íåèçìåííîéè ïðè äàëüíåéøåì äâèæåíèè æèäêîñòè. Òàêîå äâèæåíèå íàçûâàåòñÿèçýíòðîïè÷åñêèì.
Óðàâíåíèå àäèàáàòè÷íîñòè â ýòîì ñëó÷àå ïðèíèìàåòîñîáåííî ïðîñòîé âèä:s(ρ, p) = const,èëèp = p(ρ).Âñþäó äàëåå ìû áóäåì ñ÷èòàòü òå÷åíèå èçýíòðîïè÷åñêèì.63(1.10)Äðóãîå ÷àñòî âñòðå÷àþùååñÿ óïðîùàþùåå ïðåäïîëîæåíèå ýòîïðåäïîëîæåíèå î íåñæèìàåìîñòè æèäêîñòè:dρ= 0.dt(1.11)Åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò ïëîòíîñòü íåñæèìàåìîé æèäêîñòè áûëà âñþäó îäèíàêîâà, òî â äàëüíåéøåìρ = const,div ~v = 0,(1.12)p 6≡ 0.Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî çäåñü âûðàæàåò òîò ôàêò, ÷òî äàâëåíèå íåëüçÿ ñ÷èòàòü ïîñòîÿííûì, õîòÿ èç óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ (1.10) ôîðìàëüíîè ñëåäóåò p = const. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ïðèáëèæåíèå íåñæèìàåìîé æèäêîñòè îáû÷íî ðàáîòàåò, êîãäà ïðåíåáðåæèìî ìàëîãî èçìåíåíèÿïëîòíîñòè äîñòàòî÷íî äëÿ ñóùåñòâåííîãî èçìåíåíèÿ äàâëåíèÿ æèäêîñòè.Íàéäåì, êîãäà æèäêîñòü ìîæíî ñ÷èòàòü íåñæèìàåìîé â îòñóòñòâèåîáúåìíûõ ñèë (~g = 0).
Äëÿ ýòîãî îöåíèì âõîäÿùèå â (1.1) ñëàãàåìûå:∂ρδρ∼,∂tτ(~v ∇)ρ ∼v δρ,Lρ div ~v ∼ρv,L(1.13)ãäå L è τ õàðàêòåðíûå ïðîñòðàíñòâåííûé è âðåìåííîé ìàñøòàáûèçìåíåíèÿ òå÷åíèÿ, v ñêîðîñòü òå÷åíèÿ, δρ âîçìóùåíèå ïëîòíîñòèæèäêîñòè. Æèäêîñòü áóäåò âåñòè ñåáÿ êàê íåñæèìàåìàÿ, åñëè îöåíêàïîñëåäíåãî ñëàãàåìîãî áóäåò íàìíîãî áîëüøå ïåðâûõ äâóõ:ρvδρ,Lτρ δρ.(1.14)Âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâ (1.14) îçíà÷àåò, ÷òî âîçìóùåíèåì ïëîòíîñòèìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ïîñêîëüêó îíî íå âëèÿåò íà äâèæåíèå æèäêîñòè.Óñëîâèÿ (1.14) ìîæíî ïåðåïèñàòü â áîëåå ïðàêòè÷íîé ôîðìå.
Äëÿýòîãî îöåíèì δρ ïðè ïîìîùè (1.8): vδpδρ ∂pδρ 21+∼==c ,ρvτLLL ∂ρ sL sρvL 1vδρ ∼ 2+.(1.15)csτLÏðîèçâîäíàÿ∂p= c2s ,∂ρ s64(1.16)êàê áóäåò ïîêàçàíî â ðàçäåëå 2.8, ðàâíà êâàäðàòó ñêîðîñòè çâóêà â ñðåäå.Ïîäñòàâëÿÿ (1.15) â (1.14), ïîëó÷àåìρvL 1vρvL 1vρv+,+ ρ,(1.17)τ c2s τLLc2sτLîòêóäà ñëåäóþò íåðàâåíñòâàL cs τ,v cs ,vL 1,τ c2sïðè÷åì ïîñëåäíåå èç íèõ åñòü ñëåäñòâèå äâóõ ïåðâûõ. Èòàê, æèäêîñòüìîæíî ñ÷èòàòü íåñæèìàåìîé, åñëè ñêîðîñòü åå òå÷åíèÿ ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñî ñêîðîñòüþ çâóêà, à âðåìÿ èçìåíåíèÿ ïîòîêà êàê öåëîãî âåëèêîïî ñðàâíåíèþ ñ L/cs .2.2 Ëàãðàíæåâû ïåðåìåííûåÍàðÿäó ñ òðàäèöèîííûì (èëè ýéëåðîâûì) îïèñàíèåì, ñîñòîÿíèå äâèæóùåéñÿ æèäêîñòè ìîæíî îïèñûâàòü âåëè÷èíàìè ρ(~r0 , t), ~r(~r0 , t) è p(~r0 , t),ãäå ~r0 êîîðäèíàòû ýëåìåíòà æèäêîñòè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, à ~r åãî æå êîîðäèíàòû â ìîìåíò âðåìåíè t. Ïåðåìåííûå (~r0 , t)íàçûâàþò ëàãðàíæåâûìè ïåðåìåííûìè.
Åñëè â ýéëåðîâûõ ïåðåìåííûõ(~r, t) õàðàêòåðèñòèêè æèäêîñòè ïðèâÿçûâàþòñÿ ê îïðåäåëåííîé òî÷êåïðîñòðàíñòâà, òî â ëàãðàíæåâûõ ïåðåìåííûõ ïðèâÿçêà èäåò ê ñàìîéæèäêîñòè. Ëàãðàíæåâ ïîäõîä, îäíàêî, ìåíåå ðàñïðîñòðàíåí, ïîñêîëüêóóäîáåí òîëüêî â îäíîìåðíûõ çàäà÷àõ.Ðèñ. 2.3: Ê íàõîæäåíèþ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ îäíîìåðíîé æèäêîñòèâ ëàãðàíæåâûõ ïåðåìåííûõÏîëó÷èì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ æèäêîñòè â îäíîìåðíîì ñëó÷àåâ ëàãðàíæåâûõ ïåðåìåííûõ (x0 , t) (ðèñ.
2.3). Èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìàññûρ0 dx0 = ρ(x0 , t) dx,ρ0 = ρ(x0 , 0)(2.1)65ñëåäóåò îäíîìåðíîå óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè−1∂xρ(x0 , t) = ρ0.∂x0(2.2)Èç âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà, çàïèñàííîãî äëÿ ýëåìåíòà æèäêîñòè dx0 ,∂2x= − p(x0 + dx0 , t) − p(x0 , t) + ρ0 dx0 g∂t2ρ0 dx0(2.3)ñëåäóåò àíàëîã óðàâíåíèÿ Ýéëåðà:ρ0∂2x∂p=−+ ρ0 g.∂t2∂x0(2.4)Íàêîíåö, óðàâíåíèå àäèàáàòè÷íîñòè ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ∂s p(x0 , t), ρ(x0 , t) = 0.∂t(2.5)2.3 Çàêîí ÁåðíóëëèÌîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â ñëó÷àå ñòàöèîíàðíîãî òå÷åíèÿ (∂/∂t = 0) íåêàÿâåëè÷èíà îñòàåòñÿ íåèçìåííîé âäîëü ëèíèè òîêà æèäêîñòè (ò.
å. ëèíèè, âñþäó ïàðàëëåëüíîé ~v ). Íàéäåì ýòó âåëè÷èíó. Äëÿ ýòîãî ââåäåìýíòàëüïèþ åäèíèöû ìàññû w, òàê ÷òîdw = T ds +1dpρ(3.1)(îáúåì åäèíèöû ìàññû ðàâåí 1/ρ). Èç óðàâíåíèÿ Ýéëåðà èìååì(~v ∇)~v = −1 ∂p+ ~g ,ρ ∂~r(3.2)îòêóäà ïóòåì òîæäåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðè ~g = const ïîëó÷àåìv2− [~v × rot ~v ] = −∇w + T ∇s + ∇(~g~r),2v2∇+ w − ~g~r = [~v × rot ~v ] + T ∇s.2∇(3.3)(3.4)Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (3.4) îðòîãîíàëüíî âåêòîðó ~v .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
