1625915574-ba679e180264e0f82c994c8dd0b7c5fc (843950), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Ñëåäîâàòåëüíî, ãàçíàëåòàåò íà óäàðíóþ âîëíó (èëè óäàðíàÿ âîëíà íàëåòàåò íà ãàç) ñî ñêîðîñòüþ, áîëüøåé ñêîðîñòè çâóêà:p(15.17)v1 > cs1 = γp1 V1 .Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïîçàäè óäàðíîé âîëíû ãàç òå÷åò ñ äîçâóêîâîé ñêîðîñòüþ:pv2 < cs2 = γp2 V2 .(15.18)Ñîîòíîøåíèÿ (15.17) è (15.18) ïîìîãàþò ïîíÿòü ôèçèêó óäàðíîé âîëíû íà êà÷åñòâåííîì óðîâíå. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìåíåå ãàçà ¾1¿ êàðòèíà ÿâëåíèÿ âûãëÿäèò òàê (ðèñ. 2.14,à ).
Ïëîòíûé, ñ áîëüøèì äàâëåíèåì ãàç¾2¿ íàëåòàåò íà ïîêîÿùèéñÿ ãàç ¾1¿ è ¾ñìèíàåò¿ åãî ïîäîáíî áóëüäîçåðó. Ïîñêîëüêó ãðàíèöà ðàçäåëà äâèæåòñÿ áûñòðåå ñêîðîñòè çâóêà, ãàç¾1¿ îñòàåòñÿ â ïîêîå äî ñàìîãî ïðèõîäà ôðîíòà óäàðíîé âîëíû (ãàç¾óçíàåò¿ î íåì òîëüêî òîãäà, êîãäà ôðîíò óæå ïðèøåë).абÐèñ. 2.14: Óäàðíàÿ âîëíà ñ òî÷êè çðåíèÿ ðåäêîãî (à) è ïëîòíîãî (á)ãàçîâ91Ñ òî÷êè çðåíèÿ ïëîòíîãî ãàçà êàðòèíà èíàÿ (ðèñ. 2.14,á ). Ãàç ¾2¿ íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ïîêîÿ, ïðè÷åì ñëåâà îí óäåðæèâàåòñÿ çà ñ÷åò áûñòðîãî ïîòîêà ãàçà ¾1¿, êîòîðûé ñâîèì ïåðåäàâàåìûì èìïóëüñîì óðàâíîâåøèâàåò äàâëåíèå ãàçà ¾2¿.
Ãàç ¾1¿ ïðè óäàðå î ãðàíèöó ðàçäåëà ñæèìàåòñÿ, íàãðåâàåòñÿ è ñòàíîâèòñÿ ãàçîì ¾2¿, ïîýòîìó ãðàíèöà ðàçäåëàäâèæåòñÿ âëåâî ñ íåêîòîðîé äîçâóêîâîé ñêîðîñòüþ.Ïîëåçíî òàêæå ðàññìîòðåòü ïðåäåëüíûå ñëó÷àè ñèëüíîé è ñëàáîéóäàðíîé âîëíû.  ñëó÷àå ñèëüíîé âîëíûp2→ ∞,p1ρ1V2γ−1,==ρ2V1γ+1(15.19)òàê ÷òî ñòåïåíü ñæàòèÿ ãàçà ïðè ïðîõîæäåíèè óäàðíîé âîëíû îêàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé. Äëÿ âîçäóõà (äâóõàòîìíûé ãàç, γ = 7/5) ìàêñèìàëüíàÿ ñòåïåíü ñæàòèÿ ðàâíà 6. ñëó÷àå ñëàáîé âîëíû äàâëåíèå è ïëîòíîñòü ãàçà èçìåíÿþòñÿ íàìàëóþ âåëè÷èíó:p2 = p1 + δp (δp p1 ),ρ2 = ρ1 + δρ (δρ ρ1 ),(15.20)ñâÿçü ìåæäó èçìåíåíèÿìè äàâëåíèÿ è ïëîòíîñòè îêàçûâàåòñÿ òàêîé:δVδpδρ≈−≈,ρ1V1γp1δp = c2s1 δρ,(15.21)à ñêîðîñòè ãàçà ïðèìåðíî ðàâíû:v1 ≈ v2 ≈ cs1 ≈ cs2 .(15.22)Òàêèì îáðàçîì, â ïðåäåëå ìàëîãî ñêà÷êà äàâëåíèÿ óäàðíàÿ âîëíà ïåðåõîäèò â ñóïåðïîçèöèþ îáû÷íûõ çâóêîâûõ âîëí.2.16 Èñòå÷åíèå ãàçà ÷åðåç ñîïëîÐàññìîòðèì ïðàêòè÷åñêè âàæíóþ çàäà÷ó î ñòàöèîíàðíîì èñòå÷åíèè ãàçà èç áîëüøîãî ñîñóäà ÷åðåç óçêîå ñîïëî ñ ïëàâíî ìåíÿþùèìñÿ ñå÷åíèåìS (ðèñ.
2.15). Èñõîäíûå äàâëåíèå p0 è ïëîòíîñòü ρ0 ãàçà, à òàêæå äàâëåíèå íà âûõîäå èç ñîïëà pa çàäàíû. Áóäåì ðàáîòàòü â ðàìêàõ èäåàëüíîéãèäðîäèíàìèêè.Èç óðàâíåíèÿ Áåðíóëëè (3.7) èìååì∂ v2∂w1 ∂pc2 ∂ρ=−=−=− s,∂l 2∂lρ ∂lρ ∂l92(16.1)ãäå êîîðäèíàòà l îòñ÷èòûâàåòñÿ âäîëü ëèíèè òîêà. Èç ýòîé ôîðìóëûñëåäóåò, ÷òî ñêîðîñòü ïîòîêà â ñîïëå óâåëè÷èâàåòñÿ, êîãäà äàâëåíèåè ïëîòíîñòü ãàçà ïàäàþò.Ïîñêîëüêó ñå÷åíèå ñîïëà ìåíÿåòñÿ ïëàâíî, òå÷åíèå ìîæíî ñ÷èòàòüîäíîìåðíûì (ò.
å. âñå âåëè÷èíû çàâèñÿò òîëüêî îò l). Ïîëíûé ïîòîêãàçà ïðè ýòîì ðàâåíQ = ρvS,îòêóäàρv =Q,S(l)(16.2)òàê ÷òî ïëîòíîñòü ïîòîêà ρv (ìàññà âåùåñòâà, ïðîøåäøåãî â åäèíèöóâðåìåíè ÷åðåç åäèíèöó ïëîùàäè) åñòü èçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ îò l.Ðèñ. 2.15: Ãåîìåòðèÿ çàäà÷è îá èñòå÷åíèè ãàçà ÷åðåç ñîïëîÈç óðàâíåíèÿ (16.2) ëåãêî íàõîäÿòñÿ âñå ïàðàìåòðû òå÷åíèÿ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñå÷åíèÿ ñîïëà S(l). Íàïðèìåð, äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà âûðàæàåì âñå ÷åðåç ïëîòíîñòü: γρp = p0= p(ρ),(16.3)ρ0 γ−1 γ−1γpγp0 ρρc2s === c2s0= c2s (ρ),(16.4)ρρ0 ρ0ρ0γpc2s== w(ρ),(16.5)(γ − 1)ργ−1pv2+ w = w0 ⇒ v = 2(w0 − w) = v(ρ)(16.6)2è èç (16.2) íàõîäèì çàâèñèìîñòü ρ(l).Êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè èñòå÷åíèÿ ãàçà ëåãêî ïîíÿòü, åñëè ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü ïëîòíîñòü ïîòîêà ïî l:∂ρv∂v ρv ∂ v 2v 2 ∂v=ρ− 2=ρ 1− 2(16.7)∂l∂lcs ∂l 2cs ∂lw=93è ñ ïîìîùüþ ýòîé ôîðìóëû ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ρv(v)(ðèñ.
2.16). Ïðè ìàëûõ v ïîòîê ðàñòåò ïî÷òè ëèíåéíî (êîýôôèöèåíòïåðåä ∂v/∂t ïî÷òè êîíñòàíòà), çàòåì ðîñò çàìåäëÿåòñÿ è ïðè v = csñìåíÿåòñÿ óáûâàíèåì. Êîãäà ñêîðîñòü v äîñòèãàåò ñêîðîñòè èñòå÷åíèÿãàçà â âàêóóì (3.10), ïîòîê îáðàùàåòñÿ â íîëü, òàê êàê â âàêóóìå ρ = 0.Èç ðèñ.
2.16 ñëåäóåò, ÷òî ÷òîáû ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ íà âûõîäå èç ñîïëà ìîãëà ïðåâûñèòü ñêîðîñòü çâóêà, ñîïëî äîëæíî ñíà÷àëà ñóæàòüñÿ, àçàòåì ðàñøèðÿòüñÿ (òàê êàê ρv ∝ 1/S ). Òàêîå ñâåðõçâóêîâîå ñîïëî íàçûâàåòñÿ ñîïëîì Ëàâàëÿ. Ñàìàÿ óçêàÿ ÷àñòü ñîïëà, â êîòîðîé ñêîðîñòüãàçà ðàâíÿåòñÿ ëîêàëüíîé ñêîðîñòè çâóêà, íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèì ñå÷åíèåì, à ñêîðîñòü â íåé (v∗ ) êðèòè÷åñêîé ñêîðîñòüþ.Ðèñ. 2.16: Çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè ïîòîêà îò ñêîðîñòè ãàçà äëÿ γ = 7/5Õàðàêòåð èñòå÷åíèÿ ãàçà îïðåäåëÿåòñÿ âûõîäíûì äàâëåíèåì pa(ðèñ. 2.17). Åñëè ïåðåïàä äàâëåíèÿ ìàë (pa áîëüøå íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ p1 (p0 , ρ0 )), òî òå÷åíèå âñþäó äîçâóêîâîå, à ðàñõîä ãàçà çàâèñèò îòpa (âàðèàíò ¾à¿ íà ðèñ. 2.16). Ïðè óìåíüøåíèè pa â êàêîé-òî ìîìåíòâ ñàìîì óçêîì ìåñòå ñîïëà äîñòèãàåòñÿ ñêîðîñòü çâóêà, ïîñëå ÷åãî ðàñõîä ãàçà ïåðåñòàåò çàâèñåòü îò âûõîäíîãî äàâëåíèÿ.
Ïðè ñâåðõçâóêîâîì òå÷åíèè (âàðèàíò ¾á ¿) ðàñõîäîì ãàçà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ âñåïàðàìåòðû ïîòîêà, â òîì ÷èñëå è äàâëåíèå íà âûõîäå. Ïîýòîìó ñâåðõçâóêîâîå òå÷åíèå, îïèñûâàåìîå íàøåé ìîäåëüþ, âîçìîæíî òîëüêî ïðèîïðåäåëåííîì çíà÷åíèè pa = p2 (p0 , ρ0 ). Òàêîå òå÷åíèå íàçûâàåòñÿ ðàñ÷åòíûì. Åñëè pa < p1 è pa 6= p2 , òî ðåàëèçóåòñÿ íåðàñ÷åòíûé ðåæèìèñòå÷åíèÿ: â ñîïëå ïîÿâëÿþòñÿ óäàðíûå âîëíû è òå÷åíèå ãàçà ïåðåñòàåòáûòü îäíîìåðíûì è èçýíòðîïè÷åñêèì.94Ðèñ. 2.17: Õîä äàâëåíèÿ â ñîïëå ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ pa2.17 Ïðîñòûå âîëíûÏðîñòàÿ âîëíà ýòî îäíîìåðíàÿ çâóêîâàÿ âîëíà êîíå÷íîé (íå ìàëîé)àìïëèòóäû.
Íàéäåì çàêîí äâèæåíèÿ òàêîé âîëíû. îäíîìåðíîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè (1.1) è (1.8)èìåþò âèä∂ρ ∂ρv∂v∂v1 ∂p+= 0,+v=−;(17.1)∂t∂x∂t∂xρ ∂xòå÷åíèå ìû ñ÷èòàåì èçýíòðîïè÷åñêèì:s = const,p = p(ρ).(17.2)Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìåæäó äàâëåíèåì, ïëîòíîñòüþ è ñêîðîñòüþ æèäêîñòè åñòü âçàèìîîäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå:ρ = ρ(v),p = p(v).(17.3)Òîãäà óðàâíåíèÿ (17.1) ïðèíèìàþò âèäρ0∂v∂vdρ∂v+ρ+ vρ0= 0,ρ0 =,∂t∂x∂xdv∂v∂vc2 ∂ρc2 ∂v+v=− s= − s ρ0 ,∂t∂xρ ∂xρ ∂x(17.4)(17.5)èëè∂vρ ∂v+ v+ 0= 0,∂tρ ∂x∂vc2 ρ0 ∂v+ v+ s= 0.∂tρ∂x95(17.6)(17.7)Ýòà ñèñòåìà èìååò ðåøåíèå ïðè óñëîâèèρc2 ρ 0= s ,0ρρèëèρ= ±cs .ρ0(17.8)Çàìåòèì, ÷òî â îáû÷íîé çâóêîâîé âîëíå ñâÿçü (8.8) ìåæäó ïëîòíîñòüþè ñêîðîñòüþ æèäêîñòè òàêàÿ æå:ρv= ρ0= ±cs .0ρδρ(17.9)Ïîäñòàíîâêà (17.8) â (17.6) äàåò∂v∂v+ (v ± cs (v))= 0.∂t∂x(17.10)Ýòî óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê èçâåñòíîìó óðàâíåíèþ Õîïôà∂u∂u+u= 0,∂t∂xu = v ± cs (v)(17.11)ïóòåì äîìíîæåíèÿ íà du/dv .Äëÿ ðåøåíèÿ (17.11) íóæíî êîíêðåòèçèðîâàòü çàâèñèìîñòü cs (v). ñëó÷àå èäåàëüíîãî ãàçà èç (16.4) íàõîäèì1 dc2sγ − 1 dργ−1γ−1dcs==±=±,,c2s dvρ dvcsdv2γ−1γ+1cs (v) = cs0 ±v,u(v) =v ± cs0 ,22(17.12)ãäå cs0 ñêîðîñòü çâóêà â íåâîçìóùåííîì (v = 0) ãàçå.Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Õîïôà õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì, ÷òî êàæäàÿ òî÷êà ïðîôèëÿ âîëíû äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ u, âñëåäñòâèå ÷åãî ïðîôèëüâîëíû èñêàæàåòñÿ (ðèñ.
2.18).  íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè íàñòóïàåò îïðîêèäûâàíèå âîëíû (ðèñ. 2.18,â ), ò. å. â íåêîòîðûõ òî÷êàõ ïðîèçâîäíûå dv/dx, dρ/dx è dp/dx îáðàùàþòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü. Ôèçè÷åñêè îïðîêèäûâàíèå ïðîñòîé âîëíû îçíà÷àåò ïîÿâëåíèå ðàçðûâîâ (óäàðíûõ âîëí) è íàðóøåíèå ïðåäïîëîæåíèÿ îá èçýíòðîïè÷íîñòè äâèæåíèÿ(ðèñ. 2.18,ã ). Ïîñëå îáðàçîâàíèÿ óäàðíûõ âîëí âîçìóùåíèå ïîñòåïåííîçàòóõàåò, òàê êàê â ñèñòåìå ïîÿâëÿåòñÿ äèññèïàöèÿ.Îòìåòèì, ÷òî èñêàæåíèå ïðîôèëÿ ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû ìîæíî òàêæå èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ðåçóëüòàò íåëèíåéíîãî òðåõâîëíîâîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, ïðè êîòîðîì íàðÿäó ñ âîëíîé (~k, ω) â ñïåêòðå ïîÿâëÿþòñÿâûñøèå ãàðìîíèêè (n~k, nω).96авбгÐèñ. 2.18: Ýâîëþöèÿ ïðîñòîé âîëíû, áåãóùåé â íàïðàâëåíèè x: äî îïðîêèäûâàíèÿ (à,á), ìîìåíò îïðîêèäûâàíèÿ (â), óäàðíÿ âîëíà (ã)2.18 Ñëàáàÿ óäàðíàÿ âîëíà×òîáû ïðîñëåäèòü ýâîëþöèþ âîëíû ïîñëå îïðîêèäûâàíèÿ, íåîáõîäèìî ó÷åñòü äèññèïàòèâíûå ïðîöåññû.
Àíàëèòè÷åñêè ýòî óäàåòñÿ ñäåëàòüòîëüêî â ñëó÷àå ñëàáîé äèññèïàöèè è ìàëîé àìïëèòóäû âîëíû:η, ζ, æ ìàëû,v cs0 ,δρ ρ0 .(18.1)Òàêèì îáðàçîì, â çàäà÷å ïîÿâëÿþòñÿ äâà ñîðòà ìàëûõ ïàðàìåòðîâ.Äâèæåíèå âÿçêîé æèäêîñòè îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè (1.1), (11.8)è (13.3), êîòîðûå â îäíîìåðíîì ñëó÷àå ïðèíèìàþò âèä∂ρ ∂ρv+= 0,∂t∂x ∂2vdv1 ∂p η ∂ 2 v1 η=−++ζ+,dtρ ∂x ρ ∂x2ρ 3∂x2(18.2)(18.3)∂v∂2Tds= σxx+æ 2;(18.4)dt∂x∂xïîñêîëüêó â âîëíå èçìåíåíèå òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ æèäêîñòèìàëî, êîýôôèöèåíòû η , ζ è æ ìîæíî ñ÷èòàòü êîíñòàíòàìè.Ëèíåàðèçóåì óðàâíåíèÿ (18.218.4), èñïîëüçóÿ ìàëîñòü àìïëèòóäûâîëíû:∂δρ∂v+ ρ0= 0,(18.5)∂t∂xρT97 2∂v1 ∂δp1 4η∂ v==−++ζ∂tρ0 ∂xρ0 3∂x2 21 ∂p1 ∂p1 4η∂ v∂δρ∂δs=−−++ζ, (18.6)ρ0 ∂ρ s ∂xρ0 ∂s ρ ∂xρ0 3∂x2∂δsæ ∂ 2 δT=.(18.7)∂tρ0 T0 ∂x2Çàòåì ñâåäåì ýòó ñèñòåìó ê îäíîìó óðàâíåíèþ.
Äëÿ ýòîãî ïðîäèôôåðåíöèðóåì (18.6) ïî âðåìåíè è âîñïîëüçóåìñÿ (18.5) è (18.7): 3∂2vc2s ∂1 4η∂ v∂v=−−ρ++ζ−02∂tρ0 ∂x∂xρ0 3∂x2 ∂t 1 ∂p∂æ ∂ 2 δT−=ρ0 ∂s ρ ∂x ρ0 T0 ∂x2 32∂ v1 4η2∂ v= cs 2 ++ζ−∂xρ0 3∂x2 ∂t! æ∂T∂T∂p∂3− 2δp +δs . (18.8)ρ0 T0 ∂s ρ ∂x3∂p s∂s pÑîäåðæàùåå δs ñëàãàåìîå çäåñü èìååò âòîðîé ïîðÿäîê ïî ìàëîñòè äèññèïàöèè, ïîòîìó åãî ìîæíî îïóñòèòü:∂∂∂∂+ cs− csv=∂t∂x∂t∂x 3 31 4η∂ væ∂p∂T∂ δp=+ζ−.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
