1625915574-ba679e180264e0f82c994c8dd0b7c5fc (843950), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåîáõîäèìîãî è äîñòàòî÷íîãî óñëîâèÿ âîçíèêíîâåíèÿ êîíâåêöèè íåîáõîäèìî ðåøèòü ñïåêòðàëüíóþ çàäà÷ó, ò. å.íàëîæèòü íà íåâîçìóùåííîå ñîñòîÿíèå æèäêîñòè ìàëîå âîçìóùåíèåè íàéòè, êîãäà ýòî âîçìóùåíèå íàðàñòàåò ñî âðåìåíåì. Ïðîäåëàåì ýòîíà ïðèìåðå æèäêîñòè, çàêëþ÷åííîé ìåæäó äâóìÿ ïëîñêîïàðàëëåëüíûìè ïëàñòèíàìè (ðèñ. 2.23).Ðèñ. 2.23: Ãåîìåòðèÿ çàäà÷è î ñâîáîäíîé êîíâåêöèèÏóñòü â æèäêîñòè âîçíèêëî êàêîå-òî äâèæåíèå â ïëîñêîñòè (x, z).Òîãäà âñå õàðàêòåðèçóþùèå æèäêîñòü âåëè÷èíû ìîæíî ïðåäñòàâèòüêàê ñóììó òðåõ ñëàãàåìûõ: çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû ïðè z = 0 (èíäåêñ ¾0¿),çàâèñÿùåé òîëüêî îò z ïîñòîÿííîé äîáàâêè (çíà÷îê ¾δ ¿) è ìàëîãî âîçìóùåíèÿ (øòðèõ), âûçâàííîãî äâèæåíèåì æèäêîñòè, íàïðèìåð:p = p0 + δp(z) + p0 (x, z, t).(22.1)Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå ïàðàìåòðîâ æèäêîñòè ñ âûñîòîé ìàëî, à âûçâàííûå äâèæåíèåì âîçìóùåíèÿ åùå ìåíüøå(p0 |δp| |p0 | è ò.
ï.). Òàêàÿ èåðàðõèÿ ìàëîñòåé ïîçâîëÿåò íàì ëèíåàðèçîâàòü óðàâíåíèÿ âÿçêîé æèäêîñòè ïî ìàëîñòè âîçìóùåíèÿ. Îòíîñèòåëüíî æå ìàëîãî èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ ñ âûñîòîé áóäåì ðóêîâîäñòâîâàòüñÿ ñëåäóþùèì ïðàâèëîì: ñîäåðæàùèìè ¾δ ¿ ñëàãàåìûìè ìîæíî ïðåíåáðåãàòü, òîëüêî åñëè îíè ñêëàäûâàþòñÿ ñ çàâåäîìî áîëüøèìèñëàãàåìûìè.Èç óðàâíåíèÿ íåïðåðûâíîñòè (1.1) èìååì1 ∂ρ1 dρ=−+ (~v ∇)(δρ + ρ0 ) ,(22.2)div ~v = −ρ dtρ ∂t107div ~v ∼v(δρ + ρ0 )ρ0+,ρ0 τρ0 L(22.3)ãäå τ è L âðåìåííîé è ïðîñòðàíñòâåííûé ìàñøòàáû çàäà÷è. Ñëàãàåìûå â ïðàâîé ÷àñòè (22.3) ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ îòíîøåíèåì v/L (îöåíêîé äèâåðãåíöèè div ~v ): ìàëîñòü âòîðîãî ñëàãàåìîãî î÷åâèäíà, ìàëîñòüæå ïåðâîãî áóäåò îáîñíîâàíà ïîçæå.
Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî ñ÷èòàòüdiv ~v = 0.(22.4)Íåñæèìàåìîñòü æèäêîñòè (22.4) ïîçâîëÿåò ïîëüçîâàòüñÿ óðàâíåíèÿìèòåïëîïåðåíîñà è äâèæåíèÿ âÿçêîé æèäêîñòè â èõ ïðîñòåéøèõ ôîðìàõ:2∂Tν∂vα∂vβ+ (~v ∇)T = χ4T ++,(22.5)∂t2cp ∂xβ∂xα∇pd~v=−+ ~g + ν4~v .dtρ(22.6)Îïðåäåëèì ñíà÷àëà íåâîçìóùåííîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû.  îòñóòñòâèåâîçìóùåíèé (∂/∂t = 0, ~v = 0) óðàâíåíèå (22.5) ïðèíèìàåò âèä4T =d2 δT= 0,dz 2(22.7)îòêóäà ñëåäóåò ëèíåéíîñòü íåâîçìóùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòóðû:z(T1 − T0 ).(22.8)T = T0 + δT = T0 +LÈç (22.6) íàõîäèì íåâîçìóùåííîå äàâëåíèå:dδp= −(ρ0 + δρ)g ≈ −ρ0 g,dzp = p0 + δp ≈ p0 − ρ0 gz.(22.9)(22.10)Çíàÿ èçìåíåíèå ñ âûñîòîé äàâëåíèÿ è òåìïåðàòóðû, ìîæíî íàéòè èçìåíåíèå ïëîòíîñòè æèäêîñòè: dρdρδρ =δp +δT.(22.11)dp TdT pÏî ïîðÿäêó âåëè÷èíû dρρgLδp ∼ 2 ,dp TcsdρδT ∼ ρβ(T1 − T0 ).dT p108(22.12)Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè âñïëûâàíèè æèäêîñòè åå ïëîòíîñòü ìåíÿåòñÿ,ãëàâíûì îáðàçîì, çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû, ò.
å. âòîðîå ñëàãàåìîåâ ïðàâîé ÷àñòè (22.11) íàìíîãî áîëüøå ïåðâîãî. Ýòî ñïðàâåäëèâî ïðèóñëîâèèg∇T 2 .(22.13)βcsÒîãäàδρ =è àíàëîãè÷íîdρδT = −ρ0 βδT,dT p(22.14)ρ0 = −ρ0 βT 0 .(22.15) ïåðâîì ïîðÿäêå ïî àìïëèòóäå âîçìóùåíèÿ èç óðàâíåíèé (22.5)è (22.6) èìååì∂T 0dδT+ vz= χ4T 0 ,(22.16)∂tdz∂~v∇(δp + p0 )=−+ ~g + ν4~v =∂tρ0 + δρ + ρ0∇p0∇p0ρ0 ∇δp=−+ ν4~v = −+− ~g βT 0 + ν4~v . (22.17)2ρ0ρ0ρ0Ñëàãàåìûå ñ δρ â ïðàâîé ÷àñòè (22.17) îïóùåíû, òàê êàê îíè çàâåäîìîìàëû íà ôîíå ñëàãàåìûõ ñ ρ0 . Ñëàãàåìîå æå ñ δT â ëåâîé ÷àñòè (22.16)íåîáõîäèìî îñòàâèòü, òàê êàê ðÿäîì ñ íèì íåò çàâåäîìî áîëüøèõ ñëàãàåìûõ. íàøåé çàäà÷å óäîáíî ââåñòè ôóíêöèþ òîêà ψ , òàêóþ ÷òîvx =∂ψ,∂zvz = −∂ψ.∂x(22.18)Ýòà çàìåíà ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ïðè îïèñàíèè äâóìåðíûõ áåçäèâåðãåíòíûõ òå÷åíèé.
Óðàâíåíèå (22.4) ïðè ýòîì óäîâëåòâîðÿåòñÿ òîæäåñòâåííî,à (22.16) è (22.17) ïðèíèìàþò âèäT1 − T0 ∂ψ∂− χ4 T 0 =,(22.19)∂tL∂x∂∂ψ1 ∂p0− ν4=−,(22.20)∂t∂zρ0 ∂x∂∂ψ1 ∂p0− ν4=− gβT 0 .(22.21)∂t∂xρ0 ∂z109Ðåøàåì ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé ïîñëåäîâàòåëüíûì èñêëþ÷åíèåì íåèçâåñòíûõ. Äèôôåðåíöèðóÿ (22.20) è (22.21) ïî z è x ñîîòâåòñòâåííî, à çàòåì ñêëàäûâàÿ èõ, èñêëþ÷àåì p0 :∂∂T 0− ν4 4ψ = −gβ.(22.22)∂t∂xÄèôôåðåíöèðóÿ (22.22) ïî x è ïîëüçóÿñü (22.19), èñêëþ÷àåì ψ :∂∂gβ(T0 − T1 ) ∂ 2 T 0− ν4− χ4 4T 0 =.(22.23)∂t∂tL∂x2Ïîñêîëüêó ðàññìàòðèâàåìàÿ ôèçè÷åñêàÿ ñèñòåìà îäíîðîäíà ïî xè ñòàöèîíàðíà, òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (22.23) ìîæíî èñêàòü â âèäå(22.24)T 0 ∝ eλt+ikx .Çàâèñèìîñòü æå îò z â îáùåì ñëó÷àå íå áóäåò ýêñïîíåíöèàëüíîé. ×òîáûåå íàéòè, íóæíî ðåøèòü äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå øåñòîãî ïîðÿäêàïî z ñ íàäëåæàùèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïðè z = 0 è z = L:(22.25)T 0 = 0,20∂ T∂ψ= −ikψ = 0 ⇒= 0;(22.26)∂x∂z 2â êà÷åñòâå æå òðåòüåé ïàðû ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ìîæíî âûáðàòü ëèáîvz = −vx = 0,÷òî ñîîòâåòñòâóåò ¾ïðèëèïàíèþ¿ æèäêîñòè, ëèáî∂vx∂vz∂2ψ∂4T 0σxz = η+=η 2 =0 ⇒= 0,∂z∂x∂z∂z 4(22.27)(22.28)÷òî ñîîòâåòñòâóåò ¾ñêîëüçêèì¿ ãðàíèöàì.
Óñëîâèå (22.27) ÷àùå ðåàëèçóåòñÿ íà ïðàêòèêå, íî óñëîâèå (22.28) ïðèâîäèò ê áîëåå ïðîñòîìó ðåøåíèþ:πnz λt+ikxe,n = 1, 2, . . . ,(22.29)T 0 = A sinLïîýòîìó çäåñü âûáèðàåì åãî. Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ âèäà (22.29) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (22.25),(22.26) è (22.28).Ïîäñòàíîâêà (22.29) â (22.23) äàåò ñâÿçü ìåæäó k , λ è n:gβk 2 (T0 − T1 ),L4T 0π 2 n2b = − 0 = k2 +,TL2(λ + νb)(λ + χb)b =110(22.30)(22.31)îòêóäàrb2 (ν + χ)2gβk 2 (T0 − T1 )− νχb2 +=4bLrb2 (ν − χ)2b(ν + χ)gβk 2 (T0 − T1 )=−±+.
(22.32)24bLb(ν + χ)λ=−±2Æèäêîñòü áóäåò íåóñòîé÷èâîé è âîçíèêíåò êîíâåêòèâíîå äâèæåíèå, åñëè ïðè êàêèõ-ëèáî k è n âåëè÷èíà λ îêàæåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé. Ýòî âîçìîæíî ïðè óñëîâèègβk 2 (T0 − T1 )b2 (ν + χ)2b2 (ν − χ)2>−= b2 νχbL44èëèR=gβ(T0 − T1 )L3b3 L4(k 2 L2 + π 2 n2 )3> 2 =.νχkk 2 L2(22.33)(22.34)Áåçðàçìåðíóþ âåëè÷èíó R íàçûâàþò ÷èñëîì Ðýëåÿ.  çàäà÷å î ñàìîïðîèçâîëüíîì âîçíèêíîâåíèè êîíâåêöèè îíî èãðàåò òó æå ðîëü, ÷òî è ÷èñëîÐåéíîëüäñà â çàäà÷å î òóðáóëåíòíîñòè.Ñòîÿùàÿ â ïðàâîé ÷àñòè (22.34) áåçðàçìåðíàÿôóíêöèÿ èìååò àáñî√ëþòíûé ìèíèìóì ïðè n = 1, kL = π/ 2, ÷òî äàåò ñëåäóþùèé êðèòåðèéâîçíèêíîâåíèÿ êîíâåêöèè:R > Rêð =27π 4≈ 658.4(22.35)Ïðè âûáîðå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (22.27) êðèòåðèé îêàçûâàåòñÿ åùå áîëååæåñòêèì:R > Rêð ≈ 1708.(22.36)Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî çäåñü, êàê è â çàäà÷å î âîçíèêíîâåíèè òóðáóëåíòíîñòè, ðåàëèçóåòñÿ ðåäêàÿ â ôèçèêå ñèòóàöèÿ, êîãäà áåçðàçìåðíûåêîýôôèöèåíòû ñêëàäûâàþòñÿ â áîëüøîå ÷èñëî.Êàê âèäíî èç ôîðìóëû (22.32), íà ãðàíèöå ìåæäó óñòîé÷èâûìè íåóñòîé÷èâûì ñîñòîÿíèÿìè ∂/∂t = λ = 0, ÷åì è îïðàâäûâàåòñÿ ïðåíåáðåæåíèå ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè â (22.2).Åñëè ÷èñëî Ðýëåÿ ëèøü íåíàìíîãî ïðåâûøàåò êðèòè÷åñêîå çíà÷å√íèå, â ñèñòåìå ìîãóò íàðàñòàòü òîëüêî âîçìóùåíèÿ ñ |~k| ≈ π/(L 2)è n = 1.
 çàâèñèìîñòè îò ìàëûõ ýôôåêòîâ, íå ó÷òåííûõ â ðàìêàõ íàøåé ìîäåëè, ìîãóò íàðàñòàòü ëèáî îäíà (ðèñ. 2.24,à ), ëèáî ñðàçóíåñêîëüêî íåóñòîé÷èâûõ ìîä, ðàçëè÷àþùèõñÿ íàïðàâëåíèåì âåêòîðà ~k(ðèñ. 2.24,á,â ).  ýêñïåðèìåíòàõ ÷àùå âñåãî ðåàëèçóåòñÿ ãåêñàãîíàëüíàÿñòðóêòóðà (ÿ÷åéêè Áåíàðà, ðèñ. 2.24,â ).111бавÐèñ. 2.24: Äâèæåíèå æèäêîñòè ïðè ñëàáîé êîíâåêöèè: îäíà (à), äâå (á)è òðè (ñ) íåóñòîé÷èâûå ìîäû2.23 Ìÿãêîå è æåñòêîå âîçáóæäåíèåêîíâåêöèèÎïðåäåëèì êà÷åñòâåííóþ çàâèñèìîñòü óñòàíîâèâøåéñÿ êîíâåêöèè îòïðèëîæåííîé ðàçíîñòè òåìïåðàòóð. Èíòåíñèâíîñòü êîíâåêòèâíîãî äâèæåíèÿ óäîáíî õàðàêòåðèçîâàòü óñðåäíåííîé ïî îáúåìó êèíåòè÷åñêîéýíåðãèåé æèäêîñòè: 2ρvW =.(23.1)2Ïðåäïîëîæèì, â æèäêîñòè ïîÿâèëñÿ ñëàáî íàäêðèòè÷åñêèé ãðàäèåíòòåìïåðàòóðû: 0 < R − Rêð Rêð . Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ æèäêîñòèáóäåò ïîñòåïåííî âîçðàñòàòü:dW= f (W ) = AW + BW 2 + CW 3 + . .
. ,dt(23.2)ãäå f (W ) íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðóþ ïðè ìàëûõ W ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä Òåéëîðà. Êîýôôèöèåíòû A, B è C çäåñü áóäóò çàâèñåòüîò ðàçíîñòè òåìïåðàòóð, ãåîìåòðèè çàäà÷è è ñâîéñòâ æèäêîñòè. Ïðè112ìàëûõ v èìååìW ≈ρ0 v 22∝ e2λt⇒(23.3)A = 2λ > 0.Óñòàíîâèâøååñÿ ñîñòîÿíèå ñèñòåìû (dW/dt = 0) îïðåäåëÿåòñÿ çíàêîì êîýôôèöèåíòà B .
Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ. Åñëè B < 0, òî ðîñòýíåðãèè ïðåêðàùàåòñÿ, êîãäà ïåðâûé ÷ëåí ðÿäà (23.2) óðàâíîâåøèâàåòñÿ âòîðûì:2λ2λW + BW 2 = 0 ⇒ W = − .(23.4)BÝòîò ñëó÷àé ñîîòâåòñòâóåò ìÿãêîìó âîçáóæäåíèþ êîíâåêöèè(ðèñ. 2.25,à ), ïðè êîòîðîì ýíåðãèÿ æèäêîñòè óâåëè÷èâàåòñÿ íåïðåðûâíî ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ ðàçíîñòè òåìïåðàòóð.а00бÐèñ. 2.25: Ìÿãêèé (à) è æåñòêèé (á) ðåæèìû âîçáóæäåíèÿ êîíâåêöèè.Ñòðåëêàìè ïîêàçàíî íàïðàâëåíèå èçìåíåíèÿ ýíåðãèè ñî âðåìåíåìÅñëè B ≥ 0, òî äëÿ íàõîæäåíèÿ óñòàíîâèâøåãîñÿ äâèæåíèÿ íóæíîó÷åñòü ñëåäóþùèå ÷ëåíû ðÿäà (23.2). Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè C < 0.Òîãäà ðàâíîâåñíàÿ ýíåðãèÿ îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì2λW + BW 2 + CW 3 = 0⇒λ=−CW 2BW−.22(23.5)Ýòî æåñòêîå âîçáóæäåíèå êîíâåêöèè (ðèñ.
2.25,á ), ïðè êîòîðîì âîçìóùåíèå ïðè R > Rêð ñêà÷êîì âîçðàñòàåò äî êîíå÷íîé àìïëèòóäû. Åñëè æèäêîñòü íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè, ïîïàäàþùåì â ñåðóþ îáëàñòü íàðèñ. 2.25,á, òî åå ýíåðãèÿ óâåëè÷èâàåòñÿ, èíà÷å óìåíüøàåòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, â íåêîòîðîì èíòåðâàëå (λ0 , 0) ñîñòîÿíèå æèäêîñòè ìåòàñòàáèëüíî, ò. å. óñòîé÷èâî ïî îòíîøåíèþ ê ìàëûì, íî íåóñòîé÷èâî ïî îòíîøåíèþ ê áîëüøèì âîçìóùåíèÿì.Îòìåòèì, ÷òî íàëè÷èå ðàçíûõ ðåæèìîâ âîçáóæäåíèÿ åñòü îáùååñâîéñòâî íåóñòîé÷èâîñòåé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
