Главная » Просмотр файлов » 1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839

1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 9

Файл №843928 1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (Бицадзе, Калиниченко 1977 - Сборник задач по уравнениям математической физики) 9 страница1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928) страница 92021-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Показать, что при постоянном а общее решение системы аи„— о„= О, ао„+и„=О имеет вид и(х, у)+ (о(х, у) =1(г), где 1(г) — произвольная аналитическая функция комплексного переменного г=х+а(у. 241. Доказать', что задача Коши для системы из 240 с данными и=(„, о=~, на любой дуге Я не может иметь более одного решения. 242. Может ли задача Коши а'и„„+Ми„„=О, и(х, 0)=0, ий(х, 0)=0, 0 <х < е, е=-сопз1, иметь отличное от нуля решение? 243. Показать, что все регулярные решения эллиптической системы в односвязной области могут быть получены из формулы и (х, у) + (о (х, у) = гор (г) + ф (г), (20) где ~р и ф — произвольные аналитические функции комплексного переменного г = х+ ?у.

244. Пользуясь общим представлением (20) решений рассмотренной в задаче 243 эллиптической системы, показать, что для этой системы в круге ~г! < 1 однородная задача Дирихле с краевыми условиями и (1) = О, о (г) = О, ~ 11= 1, имеет бесконечное множество решений и (х, у) + (о (х, у) = (1 — гг) ф (г), где ф(г) — произвольная аналитическая в круге ~ г~ < 1 функция, а неоднородная задача Дирихле с краевыми условиями и(х)=~ (1) о(1) )3(1) !1! 13 вообще не разрешима. 245.

Проверить эллнптнчность системы 脄— и„в+)' 2о„„=О, о,„— — У2и„в=О н показать, что для нее однородная задача Днрнхле с краевыми условиями и (х, у) =- О, о (х; у) = О, х'+ у' = 1, в круге х*+у'(1 имеет нетривиальные решения иоп (х, у) + !о»г» (х, у) = ~(рг+ г)' — 4ра)а — ()хг — г)'в, ! г=х+!у, р= —, »г=1, 2, ... 1+1'2' 246. Непосредственной проверкой убедиться в том, что функция М ! гга / дг д! т !"! / х у и(х, у, г)=У ( — ц" — — (ае — +(т! — ) ~ — — )+ сга (2л)1'! дх! дуг) ~(п( ' )д) ) »» «=о Где т н т †произвольн полнномы, удовлетворяет уравнению эллиптического типа с постоянными коэффициентами а'и„„+ Ьтивв+ с'и„= О. 247.

Проверить эллнптнчность системы д О дх (и, о, и», »р) = О н показать, что каждая компонента ее решения (и, о, и», »р) является гармонической функцией переменных х, у, г. Напомним, что если А=()А!))( — квадратная матрица порядка и, а х= = (х,,..., х„) — вектор, то под Ах=у понимается вектор у (линейное преоб.

рааование) с компонентами и уг= ~», 'Атака, »=1, ...,я. а=! О дх д д ду дг д д дг ду д д ду дг д д дг ду д О дх д — О дх Глава П1 Уравнения гиперболического типа 5 1. Волновое уравнение Ниже будем предполагать, что в пространстве Еяь, точек (х, Г) символ х обозначает совокупность пространственных переменных хм ..., х, а 1— время.

Как уже было отмечено в 4 4 гл. 1, колебательные процессы в определенных предположениях описываются уравнением и 1 脄— иы = О. с=1 Поэтому решение этого уравнения принято называть волной, а само уравнение (1) — волновым. Поскольку соответствующая уравнению (!) характеристическая форма О (к) имеет внд е (Ч= ~л — х'+ ° оно является уравнением гиперболического типа. Характеристической поверхностью уравнения (1) называется п.мерное многообразие в Еньэ ф(х, 1) =О, на котором квадратичная форма и Я (нгаб ф)= ~ фэ — фа=О.

С=1 Одной из самых важных задач в теории распространения волн является задача Коши. В настоящем параграфе эта задача будет рассмотрена в следующей постановке: требуется найти решение и(х, 1) уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям и(х, 0)=ф(х), иг(х, 0)=ф(х), (2) вде ф и ф-заданные функции неременнык хм ..., х„.

248. Выписать все характеристические кривые уравнения колебаний струны ыхн — ин — — О. 249. Определить характеристические поверхности второго порядка для уравнения колебаний мембраны и„,„, + и„, — и„= О. (4) 250. Найти все характеристические плоскости уравнения распространения звука и„„+и„„+и,, — и„=О. 251.

Показать, что выражение и(х„х„хм 1)=1М(р), где М(р)= ~ р(х,+(уо х,+1ум х,+1у,)г(Я„, 1г1=~ а р (х„х„х,) — 'заданная в пространстве Е, переменных х„х„х, функция с непрерывными частными производными второго порядка, является решением уравнения (5). 252. Показать, что формула Кирхгофа 4 (ф) 4 дг ~ ! 1 д где ~р и ф — заданные в пространстве Е, действительные функции, имеющие непрерывные частные производные третьего и второго порядка соответственно, а М(р) определена в задаче 251, дает решение задачи Коши с начальными условиями (2). 253. Непосредственной проверкой убедиться в том, что функция Г Рл ~йл+1 и (х) = ~» ( ), Ьлт (х„ ..., х„) + ( , , о"т (х„ ..., х„)~, (7) м=а где Л вЂ” оператор Лапласа по переменным х„..., х„, а т и т— бесконечно дифференцируемые функции, является решением уравнения (1), удовлетворяющим начальным условиям и (х, 0) = т (х), и, (х, 0) = т (х), предполагая, что ряд в правой части формулы (7), а также ряды, полученные из него почленным дифференцированием дважды по х„..., х„, 1, равномерно сходятся.

254. Вывести из формулы (6) принцип Гюйгенса: соответствующая задаче Коши (5), (2) волна в точке (х„х„х„1) пространства Е, вполне определяется значениями ~р, — и ~р на сфере д~р (г,— х,)'+(г,— х,)'+(г,— х,)'= 1' радиуса ~1( с центром в точке (х„х„х,). 255. В предположении, что ~р и ф зависят только от двух пространственных переменных х„х„вывести из формулы Кирхгофа (6) формулу Пуассона хз,) С' — (у„— хй' — (у,— хе)' е 1 д Г. ф(уь у)ду ду. 2ид~ ) (8) где е( — круг (у,— х,)~+(у,— х,)'(Р. 256.

Показать, что формула Пуассона (8) дает решение задачи Коши (4), (2). 257. Имеет ли место принцип Гюйгенса для решений задачи Кбши (4), (2)Р 258. Предполагая, что ф и $ зависят только от одного пространственного переменного х = х„вывести из формулы ПуассОна (81 формулу Даламбера к+С и(х, ~) = — ~ф(х+~)+ф(х — 1)+ ') ф(т)Фс1, ' (9) т — Ф где Г и ф — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. Найти общее решение для каждого нз следующих уравнений: 260. 2脄— би„„+Зи„„=О. 261. 2и„„+би +4и„„+и„+и„=О.

262. Зи „вЂ” 10и +Зи — 2и„+4и„+ — и=О. з .ну 263. Зи„„+1Ои„„+Зи„„+и„+иу+ — и — 1бхе '~ =О. 264. 脄— 2и„„+ 2и„— и„= 4е". з ,265. 脄— би,+8и„„+и„— 2и„+ 4е з =О. 266. 脄— 2соз х 脄— (3+з(п'х) й + и„+(ейп х — соз х — 2) и = О. 267. е '"脄— е 'У鄄— е ™и„+е 'Уи„+8еУ=О. 268. и„„+уи„— и =О.

269. и„„+ хи„— и + соз у = О. 270. ей х и, + (зп х+ д сп х)и — с)т х и = О. у 271. — (и„+ и)+2х'у(и„+и) = О. 272. — (и„+ и) + х (и„+ и) + х'у = О. дающую решение задачи Коши с условиями (2) для уравнения (3). 259. Записывая уравнение колебаний струны (3) в характеристических переменных ь=-х+1, 8=х — 1, показать, что общее решение этого уравнения имеет вид и (х, 1) =1(х+1)+ф(х — 1), Решить следующие задачи Коши: 273. 4у*и„„+2(1 — у')и„— и„— '1 ", (2и„— и„) =О, 2д и(х, У)~о=о =сР(х), и„(х, У)1з=о =зР(х) 274.

脄— 2И„„+4еУ=О, и(х, у)!=о =ср(у), и„(х, у)1з о =з)с(у). 275. и„„+ 2соь х 脄— ь и' х 脄— ь(п х и = О, и(х, у)~з=зсзз — — х+соьх, и„(х, у~~„,с„,=ь(пх. 276. З脄— 4и„+脄— Зи„+и =О, и(х, у)!о=о =ср(х), ио(х, у)!з=о =зр(х). 277. еги — и„„+И„=О, и(х, у) 1о=о = — хз/2, и„(х, у) 1з=о = — ьЗпх. 278. 脄— 2ьтхи — (3+соь'х) и,„— соьхи„=О, и(х, у)1з- „=ь!пх, и„(х, у)1з=зззз=е",с2.

279. 脄— 2ь(пх脄— (3+соь*х) и„„+ и +(2 — ьтх — соьх)и„=О,. и(х, У) 1з=, — — О, и, (х, У) 1з=созз — — е "госоьх. 280. и„„+2ь(ох脄— соь'хи„+и +(ьс1пх+соьх+1) и„= О, и(х, у)~„- з,=1+2ь(пх, и,(х, у)~„- .оз,=ь(пх. 281. Найти область зависимости задачи (1), (2) при а=1, п=2, п=З. 282, Доказать, что для каждого решения и (х, 1) уравнения (3) имеет место формула среднего значения и (хдз 1с) +и (хз. (з) = и (хз 1з) + и (х„(з), где (х„(,), (Х„1з), (х„1,), (х„(з) — последоватрльные вершины характеристического прямоугольника, т. е.

прямоугольника, огра- ниченного характеристическими прямыми уравнения (3). 283. Построить решение о(х„х„х„г, т) уравнения (5) по начальным условиям ссо ~ О(Хсз Хз Хзс тз т) =Оз Е =У(Хс Хз| Хззт). С сс=з 284. Пусть о(х„х„х„(, т) — решение задачи 283. Показать, с что функция и(х„х„х„() = ~ о(х„х„х„(, т)дт является рео шепнем неоднородного уравнения и„,„, + и„,„, +и„„,— и„= — д(х,, х„х„(), удовлетворяющим однородным начальным условиям и (х„х„х„О) = О, и, (х„х„х„О) = О. 285.

Функцию и (х„х„х„с) из задачи 284 представить в виде сз<П и объяснить, почему она называется запаздывающим потенциалом. 286. Найти решение уравнения (4), удовлетворяющее начальным условиям х х ди(х„х„о) ~ 4 д и (х„х„О) = х,х„ д~ =х,х,— Зх,. 287. Построить решение неоднородного уравнения 脄— им=а(х, () с неоднородными условиями вида (2). 288, Показать, что если и(х, () — решение уравнения (3), то решением этого уравнения является и функция о(х, ()=и(„...,,) всюду, где она определена.

289. Пользуясь формулой Даламбера для решения и(х, () за- дачи Коши им=а и„„, — со < х <+ со, () О, и (х, 0) = ср (х), и,(х, 0) = ф (х), — со < х < со, проверить, что в случае нечетности обеих функций юр(х) и ф (х) и (х, Г)/„ , = О, а в случае их четности и„(х, 1)!„ , = О. 290.

Убедиться в том, что если в задаче Коши ии= а'и„„+((х, г), — оо < х < со, ( > О, и (х, 0) = и, (х, 0) == О, — со < х < со, функция ((х, () относительно х нечетная, то и(х, 1) ~„,=0, а если она четная, то и„(х, () ~„,=0. Пользуясь утверждениями задач 289 и 290, подходящим об- разом продолжить данные на всю прямую — оо < х < со и ре- шить следующие задачи на полупрямой: 29!. ии=а'и„„, х > О, г > О, и (О, г) = О, ( > О, и (х, 0) = 9 (х), и,(х, 0) = ф (х), х > О.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,68 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее