1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Показать, что при постоянном а общее решение системы аи„— о„= О, ао„+и„=О имеет вид и(х, у)+ (о(х, у) =1(г), где 1(г) — произвольная аналитическая функция комплексного переменного г=х+а(у. 241. Доказать', что задача Коши для системы из 240 с данными и=(„, о=~, на любой дуге Я не может иметь более одного решения. 242. Может ли задача Коши а'и„„+Ми„„=О, и(х, 0)=0, ий(х, 0)=0, 0 <х < е, е=-сопз1, иметь отличное от нуля решение? 243. Показать, что все регулярные решения эллиптической системы в односвязной области могут быть получены из формулы и (х, у) + (о (х, у) = гор (г) + ф (г), (20) где ~р и ф — произвольные аналитические функции комплексного переменного г = х+ ?у.
244. Пользуясь общим представлением (20) решений рассмотренной в задаче 243 эллиптической системы, показать, что для этой системы в круге ~г! < 1 однородная задача Дирихле с краевыми условиями и (1) = О, о (г) = О, ~ 11= 1, имеет бесконечное множество решений и (х, у) + (о (х, у) = (1 — гг) ф (г), где ф(г) — произвольная аналитическая в круге ~ г~ < 1 функция, а неоднородная задача Дирихле с краевыми условиями и(х)=~ (1) о(1) )3(1) !1! 13 вообще не разрешима. 245.
Проверить эллнптнчность системы 脄— и„в+)' 2о„„=О, о,„— — У2и„в=О н показать, что для нее однородная задача Днрнхле с краевыми условиями и (х, у) =- О, о (х; у) = О, х'+ у' = 1, в круге х*+у'(1 имеет нетривиальные решения иоп (х, у) + !о»г» (х, у) = ~(рг+ г)' — 4ра)а — ()хг — г)'в, ! г=х+!у, р= —, »г=1, 2, ... 1+1'2' 246. Непосредственной проверкой убедиться в том, что функция М ! гга / дг д! т !"! / х у и(х, у, г)=У ( — ц" — — (ае — +(т! — ) ~ — — )+ сга (2л)1'! дх! дуг) ~(п( ' )д) ) »» «=о Где т н т †произвольн полнномы, удовлетворяет уравнению эллиптического типа с постоянными коэффициентами а'и„„+ Ьтивв+ с'и„= О. 247.
Проверить эллнптнчность системы д О дх (и, о, и», »р) = О н показать, что каждая компонента ее решения (и, о, и», »р) является гармонической функцией переменных х, у, г. Напомним, что если А=()А!))( — квадратная матрица порядка и, а х= = (х,,..., х„) — вектор, то под Ах=у понимается вектор у (линейное преоб.
рааование) с компонентами и уг= ~», 'Атака, »=1, ...,я. а=! О дх д д ду дг д д дг ду д д ду дг д д дг ду д О дх д — О дх Глава П1 Уравнения гиперболического типа 5 1. Волновое уравнение Ниже будем предполагать, что в пространстве Еяь, точек (х, Г) символ х обозначает совокупность пространственных переменных хм ..., х, а 1— время.
Как уже было отмечено в 4 4 гл. 1, колебательные процессы в определенных предположениях описываются уравнением и 1 脄— иы = О. с=1 Поэтому решение этого уравнения принято называть волной, а само уравнение (1) — волновым. Поскольку соответствующая уравнению (!) характеристическая форма О (к) имеет внд е (Ч= ~л — х'+ ° оно является уравнением гиперболического типа. Характеристической поверхностью уравнения (1) называется п.мерное многообразие в Еньэ ф(х, 1) =О, на котором квадратичная форма и Я (нгаб ф)= ~ фэ — фа=О.
С=1 Одной из самых важных задач в теории распространения волн является задача Коши. В настоящем параграфе эта задача будет рассмотрена в следующей постановке: требуется найти решение и(х, 1) уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям и(х, 0)=ф(х), иг(х, 0)=ф(х), (2) вде ф и ф-заданные функции неременнык хм ..., х„.
248. Выписать все характеристические кривые уравнения колебаний струны ыхн — ин — — О. 249. Определить характеристические поверхности второго порядка для уравнения колебаний мембраны и„,„, + и„, — и„= О. (4) 250. Найти все характеристические плоскости уравнения распространения звука и„„+и„„+и,, — и„=О. 251.
Показать, что выражение и(х„х„хм 1)=1М(р), где М(р)= ~ р(х,+(уо х,+1ум х,+1у,)г(Я„, 1г1=~ а р (х„х„х,) — 'заданная в пространстве Е, переменных х„х„х, функция с непрерывными частными производными второго порядка, является решением уравнения (5). 252. Показать, что формула Кирхгофа 4 (ф) 4 дг ~ ! 1 д где ~р и ф — заданные в пространстве Е, действительные функции, имеющие непрерывные частные производные третьего и второго порядка соответственно, а М(р) определена в задаче 251, дает решение задачи Коши с начальными условиями (2). 253. Непосредственной проверкой убедиться в том, что функция Г Рл ~йл+1 и (х) = ~» ( ), Ьлт (х„ ..., х„) + ( , , о"т (х„ ..., х„)~, (7) м=а где Л вЂ” оператор Лапласа по переменным х„..., х„, а т и т— бесконечно дифференцируемые функции, является решением уравнения (1), удовлетворяющим начальным условиям и (х, 0) = т (х), и, (х, 0) = т (х), предполагая, что ряд в правой части формулы (7), а также ряды, полученные из него почленным дифференцированием дважды по х„..., х„, 1, равномерно сходятся.
254. Вывести из формулы (6) принцип Гюйгенса: соответствующая задаче Коши (5), (2) волна в точке (х„х„х„1) пространства Е, вполне определяется значениями ~р, — и ~р на сфере д~р (г,— х,)'+(г,— х,)'+(г,— х,)'= 1' радиуса ~1( с центром в точке (х„х„х,). 255. В предположении, что ~р и ф зависят только от двух пространственных переменных х„х„вывести из формулы Кирхгофа (6) формулу Пуассона хз,) С' — (у„— хй' — (у,— хе)' е 1 д Г. ф(уь у)ду ду. 2ид~ ) (8) где е( — круг (у,— х,)~+(у,— х,)'(Р. 256.
Показать, что формула Пуассона (8) дает решение задачи Коши (4), (2). 257. Имеет ли место принцип Гюйгенса для решений задачи Кбши (4), (2)Р 258. Предполагая, что ф и $ зависят только от одного пространственного переменного х = х„вывести из формулы ПуассОна (81 формулу Даламбера к+С и(х, ~) = — ~ф(х+~)+ф(х — 1)+ ') ф(т)Фс1, ' (9) т — Ф где Г и ф — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. Найти общее решение для каждого нз следующих уравнений: 260. 2脄— би„„+Зи„„=О. 261. 2и„„+би +4и„„+и„+и„=О.
262. Зи „вЂ” 10и +Зи — 2и„+4и„+ — и=О. з .ну 263. Зи„„+1Ои„„+Зи„„+и„+иу+ — и — 1бхе '~ =О. 264. 脄— 2и„„+ 2и„— и„= 4е". з ,265. 脄— би,+8и„„+и„— 2и„+ 4е з =О. 266. 脄— 2соз х 脄— (3+з(п'х) й + и„+(ейп х — соз х — 2) и = О. 267. е '"脄— е 'У鄄— е ™и„+е 'Уи„+8еУ=О. 268. и„„+уи„— и =О.
269. и„„+ хи„— и + соз у = О. 270. ей х и, + (зп х+ д сп х)и — с)т х и = О. у 271. — (и„+ и)+2х'у(и„+и) = О. 272. — (и„+ и) + х (и„+ и) + х'у = О. дающую решение задачи Коши с условиями (2) для уравнения (3). 259. Записывая уравнение колебаний струны (3) в характеристических переменных ь=-х+1, 8=х — 1, показать, что общее решение этого уравнения имеет вид и (х, 1) =1(х+1)+ф(х — 1), Решить следующие задачи Коши: 273. 4у*и„„+2(1 — у')и„— и„— '1 ", (2и„— и„) =О, 2д и(х, У)~о=о =сР(х), и„(х, У)1з=о =зР(х) 274.
脄— 2И„„+4еУ=О, и(х, у)!=о =ср(у), и„(х, у)1з о =з)с(у). 275. и„„+ 2соь х 脄— ь и' х 脄— ь(п х и = О, и(х, у)~з=зсзз — — х+соьх, и„(х, у~~„,с„,=ь(пх. 276. З脄— 4и„+脄— Зи„+и =О, и(х, у)!о=о =ср(х), ио(х, у)!з=о =зр(х). 277. еги — и„„+И„=О, и(х, у) 1о=о = — хз/2, и„(х, у) 1з=о = — ьЗпх. 278. 脄— 2ьтхи — (3+соь'х) и,„— соьхи„=О, и(х, у)1з- „=ь!пх, и„(х, у)1з=зззз=е",с2.
279. 脄— 2ь(пх脄— (3+соь*х) и„„+ и +(2 — ьтх — соьх)и„=О,. и(х, У) 1з=, — — О, и, (х, У) 1з=созз — — е "госоьх. 280. и„„+2ь(ох脄— соь'хи„+и +(ьс1пх+соьх+1) и„= О, и(х, у)~„- з,=1+2ь(пх, и,(х, у)~„- .оз,=ь(пх. 281. Найти область зависимости задачи (1), (2) при а=1, п=2, п=З. 282, Доказать, что для каждого решения и (х, 1) уравнения (3) имеет место формула среднего значения и (хдз 1с) +и (хз. (з) = и (хз 1з) + и (х„(з), где (х„(,), (Х„1з), (х„1,), (х„(з) — последоватрльные вершины характеристического прямоугольника, т. е.
прямоугольника, огра- ниченного характеристическими прямыми уравнения (3). 283. Построить решение о(х„х„х„г, т) уравнения (5) по начальным условиям ссо ~ О(Хсз Хз Хзс тз т) =Оз Е =У(Хс Хз| Хззт). С сс=з 284. Пусть о(х„х„х„(, т) — решение задачи 283. Показать, с что функция и(х„х„х„() = ~ о(х„х„х„(, т)дт является рео шепнем неоднородного уравнения и„,„, + и„,„, +и„„,— и„= — д(х,, х„х„(), удовлетворяющим однородным начальным условиям и (х„х„х„О) = О, и, (х„х„х„О) = О. 285.
Функцию и (х„х„х„с) из задачи 284 представить в виде сз<П и объяснить, почему она называется запаздывающим потенциалом. 286. Найти решение уравнения (4), удовлетворяющее начальным условиям х х ди(х„х„о) ~ 4 д и (х„х„О) = х,х„ д~ =х,х,— Зх,. 287. Построить решение неоднородного уравнения 脄— им=а(х, () с неоднородными условиями вида (2). 288, Показать, что если и(х, () — решение уравнения (3), то решением этого уравнения является и функция о(х, ()=и(„...,,) всюду, где она определена.
289. Пользуясь формулой Даламбера для решения и(х, () за- дачи Коши им=а и„„, — со < х <+ со, () О, и (х, 0) = ср (х), и,(х, 0) = ф (х), — со < х < со, проверить, что в случае нечетности обеих функций юр(х) и ф (х) и (х, Г)/„ , = О, а в случае их четности и„(х, 1)!„ , = О. 290.
Убедиться в том, что если в задаче Коши ии= а'и„„+((х, г), — оо < х < со, ( > О, и (х, 0) = и, (х, 0) == О, — со < х < со, функция ((х, () относительно х нечетная, то и(х, 1) ~„,=0, а если она четная, то и„(х, () ~„,=0. Пользуясь утверждениями задач 289 и 290, подходящим об- разом продолжить данные на всю прямую — оо < х < со и ре- шить следующие задачи на полупрямой: 29!. ии=а'и„„, х > О, г > О, и (О, г) = О, ( > О, и (х, 0) = 9 (х), и,(х, 0) = ф (х), х > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
