1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 13
Текст из файла (страница 13)
410. Показать, что функция Ф ы юо и(х, !)== ~ ор(у)е " о(у, ! > О, 2 оиг где ф (у), — со < у < вс,— заданная непрерывная ограниченная функция, является решением уравнения (1'), удовлетворяющим Зо еУ условию и (х, (!) = <р (х), — оо < х < оо. (3) 411. Показать, что для регулярного в полупространстве С > 0 решения и(х, С) уравнения (Г) имеют место оценки т<и(х, С)<М, где т= !п!и(х, 0), М= зцр и (х, 0), — оо < х < оо. 412. Доказать единственность решения и (х, С) задачи Коши— Дирихле (1'), (3'). 413.
Непосредственной проверкой убедиться в том, что функция и (х, С) = ~ о (х, С, т) дт, о где О ы ан о(х С т) р! е 4(1-т)й(у т)Др О а П(хрт), — оо < х < оо, — оо < т < оо,— заданная непрерыв- ная ограниченная функция, удовлетворяет уравнению 脄— ии — — а(х, С). 414. Редуцировать первую краевую задачу для уравнения 脄— и,=р(х, С) (5) в прямоугольнике 0 < С < Т„'0 < х < 1, с неоднородными усло- виями на боковых сторонах и (О, С) = а (С), и (1, С) = 5 (С), 0 < С < Т„ к первой краевой задаче, но уже с однородными краевыми усло- виями на боковых сторонах.
415. Построить частное решение уравнения (5), если С(х, С)=з!пихС„(С), где С„(С) †заданн непрерывная функция. 416. Для С > Т построить решение задачи Коши — Дирихле для уравнения (1) с условием и (х, Т) = е" сЬ х,. Подходящим образом продолжая данные задач на всю ось х, решить следующие задачи: 417. и,=а'и„„, 0<х<оо, С>0, и (О, С) = О, С > О, и (х, 0) = ср (х), 0 < х < оо. 418.
и, = а'и„„, О < х < оо, С > О, и„ (О, С) = О, С > О, и (х, 0) = <р (х), 0 < х < оо. 68 и„„+а„„вЂ” и,=0 по условиям: з= — 41, и(х, у, 0)=1 — х' — у'. ,= — 321 — 161, и(х,у, 0)=1 — (а+уз)а. а=1+41, и(х, у, 0)=х'+у'. е=е"+"'о"'"о, 0 =.~Р(2п, е=е'Х,(1), и(х, у, 0)=1,(г), 427. и 428. и 429. и 430.
и~ 431. и и (х, у, 0) = е" +е. + где 1, (г) = 1,(1г) — функция Бесселя нулевого порядка. - Построить решения задач Кошн=Дирихле для уравнения (1), удовлетворяющие соответственно условиям: 432. и(х, 0)=ып1х,. 433. и(х, 0)=соз1х,. 434. и(х, 0) =сЫхт. 436. и(х, 0)=зЫх,. 436. и(х, 0)=з!п1,х;ып1,х,. 437. и(х, 0) =ып1,х,соз1,х,. 438.,и(х, 0) =сов 1,х,соз1„х„, 439. и (х, О) = сов 1;х, з!п1,х,. 449.
и(х, 0)=з|п(,х;ып1,х,... ып(„х„. 441. и(х, 0)=з1п1,х;+соз1„х„. 69 419. и,=а'脄— Ии, 0<х< оо, 1)0, и (О, 1) = О, 1 > О, и (х, 0) = ~р (х), 0 < х < оо. 420. и,=а'脄— Би, 0 <х < оо, 1) О, и„(0, 1)=0., 1> О, и(х, 0)=~р(х), 0(х < оо. 421. и,=а'а„„+1(х, 1), 0 < х < оо, 1> О, и(0, 1)=0, 1>0, и(х, 0)=0, 0(х<оо.
422. и,=а'и„„+~(х,1), 0<х(оо, 1>0, и„(0, 1)=0, 1>0, и(х, 0)=0, 0<х< оо. 423. и,=а'脄— Ьи+1(х,1), 0<х(оо, 1)0, и(0,1)=0, 1>0, и(х, 0)=0, 0<х(оо. 424. и,=а'脄— Ьи+1(х, 1), 0 <х< оо, 1 >О, и.„(0, 1)=0, 1> О, и(х, 0)=-0, 0<х< оо. 425. и,=аи„,— Ми+1(х, 1), 0(х < со, 1> О, и (О, 1) = О, 1 > О, и (х, 0) = ~р(х), '0 ( х < оо.
426. и,=а'脄— Ни+1(х, 1), 0<х< оо, 1> О, и„ (О, 1) = О, 1 > О, и (х, 0) = ~р (х), 0 < х < оо. Пусть Р— область пространства переменных х, у, 1, ограни- ченная плоскостями 1 =. О, 1= Т > 0 и круговым цилиндром 5: х'+у'=1. Определить регулярное в Р решение и(х, у, 1) уравнения 442. Найти общее решение уравнения . а'и„„+ 2аи„„+ и„„= О, а = сопз1. 443. Проверить, что функция з и (х, у, 1) = ~~~~ —,,! Лат (х, у), л=О (4') й 2.
Некоторые другие примеры параболических уравнений а з где й= —,+ —,, а т(х, у) — произвольный полипом переменных х, у, удовлетворяет уравнению и„„+脄— ри,=О, р=сопз1. 444. Для времени г > 1 решить задачу Коши — Дирихле и„„+脄— и,=О, и(х, у, 1)=1 — (х'+у')', 445.
Выписать в квадратурах в полуплоскости 1> 0 решение и(х, г) задачи Коши — Дирихле 脄— ри,=О, р=сопз( > О, и(х,О)=!р(х), — со<х<со. 446. В полуплоскости х <Ьу найти решение задачи Коши— Дирихле Ь'и„„+ 2Ьи„„+ и„„+ Ьи„= О, х~ и (х, — )=!р(х), — со <х < со, где ср — заданная непрерывная, ограниченная функция.
447. Для уравнения из задачи 446 в параллелограмме, ограни- 1 1 ченном прямыми у= — х, у= — х+1, у=О, у=1, найти решение и(х, у) по краевым условиям и (х, — х) =!р(х), '0<х<Ь, и(х, 0)=0, — Ь =х< 0, и(х, 1)=О, 0<х<Ь, где ~р — заданная достаточно гладкая функция.
448. В прямоугольнике„ограниченном прямыми х=О, х=ж, у = О, у = Т > О, найти решение и (х, у) уравнения рй и,„+ ри„— из+ — и = О, р = сопз1, 70 по условиям и (О, у) = и (л, у) = О, О < у ( Т, Р и(х, 0)=з(пх е ', 0(х(п. 449.
Для уравнения из задачи 448 выписать в квадратурах решение задачи Коши — Дирихле и(х, 0) =!р(х), — оо (х ( оо, и указать требования на ~р(х), гарантирукнцие существование интеграла в выражении формально полученного решения. 450.
Показать, что уравнению и„„+и „вЂ” Хи,=О, а=соне(, удовлетворяют функции е х!.р„(Хг) созЬр, е ~Ч„(Лг)з$пй<р,. А=О, 1, ..., и(х, у, 0)=Х,()г), 1 ха~.ев-!м!х!з О, где р,(г) — функция Бесселя нулевого порядка, а Х; — ее корень. 452. Определить тип уравнения ЛЛи — — =0 ди дг (6) и показать, что функция Ф и (х,() = ~~' .— а! Л'ет(х), ге а=о где т(х) — любая бесконечно дифференцируемая функция, в предположении, что ряд можно почленно дифференцировать нужное число раз, дает решение уравнения (6).
Построить решения уравнения (6) по краевым условиям: 453. и(х, 0) =Р„(х), где Р„(х) — полипом степени п по переменным х„..., х„. 454. и(х, 0) =з!п1,х,соз)„х„. 455. Определить тйп уравнения д'и ЛЛи — — = 0 д!а где х=гсоз!р, у=г з1п!р, а Є— функция Бесселя целого порядка Й. 451. В области ег пространства переменных х,у, 1, ограниченной плоскостями г = О, ! = Т > 0 и круговым цилиндром х'+,у'= ().,/Х)', найти решение и(х, у, г) уравнения из задачи 450 по условиям 7! и показать, что его решением является функция если т и т — произвольные бесконечно дифференцируемые функции, а ряды в правой части этой формулы можно почленно дифференцировать нужное число раз. Найти решения уравнения (7) по приведенным ниже условиям: 456. и (х, 0) = Р„(х), и, (х, О) ='О, где Р„(х) — полипом степени а.
457. и (х, 0) = айп х„и, (х, О) = соз хт. Глава Ч Методы, наиболее часто применяемые при решении задач для уравнений с частными производными $1. Метод разделения переменных (йсетод Фурье) л Предположим, что квадратичная форма ~~ Асу(х) )сс)су положительно с,Г=с определена, козффициент а(С) либо больше нуля, либо тождественно равен нулю, причем в последнем случае 3(С) > О. В таком случае уравнение (1) либо гиперболическое, либо параболическое. Общая см вша иная задача для уравнения (1) состоит в олргделении регулярного в области сг решения и (х, С) етого уравнения, удовлетеоряюи(его краевому условию п ~~~~ аг(х) ик,.+3(х) и=О, х Е Я, 1~0, (2) ч=с и начальным условиям: и (х, 0) =ср (х), ис(х, 0) = ф (х) (3) в гиксрбояическом случае, и(х, 0)=срв(х) (4) в параболическом случае.
для обеспечения непрерывности искомого решения вплоть до области Р нужна определенная согласованность между данными в (2), (3) и (4). границы условиях 73 Этим методом пользуются при построении решений так называемых смешанных задач для широкого класса уравнений с частными производными. Обозначим через )3 область пространства переменных хс...;, х„, С, ограниченную плоскостью 1=0 и цилиндрической поверхностью 8 с образующими, параллельными оси С, и лежащую в области задания уравнениямиЂ я и Асу(х) и„„+~ Вс(х) и„+С(х) и — а(С) исс — ()(С) ис — у(С) и=О. (1) с,с с с=с Сущность метода разделения переменяых заключается в следующем. Нетривиальное решение и(х, С) уравнения (1), удовлетворяющее краевому условию (2), ищется в виде произведения двух функций Т(С) н Х(х) = =Х(х„..., х„): и (х, С)=Т (С) Х (х).
(5) повтставляя выражение (5) для и (х, с) в уравнение (1) и в краевое условие (2), получаем п и — Ас)(х)Хнк +~~» В;(к) Хк +С(х) Х с,)=! с=! = — [и (с) т" +5 (с) т'+у (с) т) = — д =сонэ(, (х, с) ~ Р, т (с) и с л ~' аС (х) Х„-[-Ь(х) Х Т (С)=0, х Е 5, СхмО. с=! Ввиду того, что х(х) и т(с) тождественно в нуль не обращаютса, нз равенств (6) и (7) имеем а(С) Т"+Яь (С) Т'+(у(С)+к[ Т=О, Е > О, и и АР(х)Х„,„+ ~~~~ В;(х) Хк +[С(х)+Д[Х=О, х ~ й, (9) с,с=! с=! ~и~~ ас(х) Х„+Ь(х) Х=О, х ~ в, (10) где й и в — проекции области Р и поверхности 3 на плоскость 1=0 соот- ветственно.
Значение )ь, для которого краевая задача (9), (10) имеет нетривиальное решение и (х), называется собственным значением (собственным числом), а сама функция и(х) — соответствующей собственной функцией. Множество всех собственных значений задачи (9), (10) называется спект- ром, а задача об отыскании спектра и соответствующей ему системы собст. венных функций — спектральной задачей. В целом ряде случаев спектр задачи (9), (!0) является счетным: к! < нз « ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
