1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 10
Текст из файла (страница 10)
292. и„=-а'и„„, х> О, ( > О, и„ (О, г) = О, 8 > О, и (х, 0) = ср(х), и,(х, 0) = ф (х), х > О. 293. ии=а'и„„+~(х, Е), х>0, М) О, и (О, Х) = О, 1 > О, и (х, 0) = и, (х, 0) = О, х > О. 294. ии=а'и„„+((х, (), х) О, г > О, и„ (О, () = О, г ) О, и (х, 0) = и,(х, 0) = О, х ) О.
296. им=а'и„„+((х, П, х> О, г > О, и(0,()=0, (>О, и(х, 0)=ср(х), ис(х, 0)=ф(х), х>0, 50 296. ис,— — а'и„„+[(х, 1)„х) Ь, 1> О, и„(0,1)=0, 1>0, и(х, 0)=ср(х), и,(х, 0)=ар(х), х)0. Всякая функция 1(х — аг) аргумента х — аС называется лрямой аоалой. Распространяя возмущение края с помощью прямой волны, решить задачи: и»=а" х)0 1)0 и (О, 1) = [с(1), ( ) О, и (х, 0) = и,(х, 0) = О, х ) О. 298.
исс — — а'и„„, х > О, 1> О, и„ (О, 1) = т (1), 1 ) О, и (х, 0) = и,(х, 0) = О, х > О. 299. и»=а'и„„, х) О, 1> О, и„(0,1) — (си(0, 1)=х(1), 1> О, сс > О, и(х, 0)=и,(х, 0)=0, х) О. Решить задачи: 300. асс=аз»„„+у(х, с), х > О, с > О, и (О, 1) = р (1), 1 ) О, и (х, 0) = ср(х), и,(х, 0) = Чс(х), х > О.
301. исс=ази„„+1(х,(), х > О, 1> О, и„(0, 1)=т(1), 1) О, и(х, 0)=ср(х), и,(х, 0)=с[с(х), х > О. 302. Найти решение и(х, у,() уравнения и„„+и„,— и»=ху( по начальным условиям и(х, у, 0)=0, и,(х, у, 0)=ху. 303. Доказать, что функция и (х, у, 1), определенная по формуле ч 1)арса+с г-асп и (х, у, 1) = т а>е [2.4 ... (2(с+2)1 ((2л — 1) (2л — 3) ... [2л — (2й 1)1) дс д' да где р'=х'+у' — (с, [) — + — —, Ф вЂ” однородный полидхс дуз дгс ' ном переменных х, у, 1 степени л — 2, является. решением не- однородного уравнения и„„+脄— и»=Ф(х, у, 1). 304.
Непосредственной проверкой убедиться в том, что наряду с решением и(х,(), 'х=(х„..., х„), уравнения (1), решением этого уравнения является й функция 1 х о (х, 1) = 1 [х[' — Са ' [х[' — Ся) ' и( ([х[' — Ся) ' а [х [я = ~ хз„) х ) с ~ (я. 1=1 305. Найти все линейно независимые однородные полиномы степени 3, по переменным х„х„1, удовлетворяющие уравнению (4). 306. Чему равно число линейно независимых однородных полиномов степени А по переменным х„..., х„, 1, являющихся решениями уравнения (1)? 307. Функция и (х, 1) с непрерывными частными производными третьего порядка является решением уравнения (3).
Показать, что этому же уравнению удовлетворяет и функция ди ди о(х, 1) = — —. дк д! ' 308. Показать, что наряду с функцией и (х, 1) решением уравнения (3) являются и функции а) хи„+1и„ б) и,'+и'„ и~л ис! 309. Определить значение показателя й=сопз1, для которого уравнение (1) имеет решение вида 1 и(х, 1)= „...1,, (х!'=~,х). !.= ! 310. Показать, что если и(х, 1) — решение уравнения (1), то функция о(х, 1) =и( р !а ! ' ' р !а„! ' р !а„+,! 1 будет решением уравнения гиперболического типа л ,~а а;и,,, — а„+,и„=О ! =! с постоянными коэффициентами аи ! =1, ..., и+1, одинакового знака. 311.
Найти условие, связывающее постоянные то ! =1, ... ..., и+1, при котором уравнение (1) имеет решение вида плоской волны и(х, 1) =Ф(т,х,+... +т„х„+т„+,1). 312. Показать, что наиболее общее решение уравнения (5), зависящее только от г и 1, имеет вид и(г, 1)= — + —, гФО, 1! (г+ 1) 1! (г О где г'=х,'+х',+х', и 1, и 1,— произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. Эти решения называются сферическими волнами.
313. Непосредственной проверкой убедиться в том, что наряду с функцией и(х, 1), обладающей частными производными третьего порядка, решением уравнения (1) является и функция л о(х, 1) = ~х;и,.+1и,. 314. Показать что выражение и (х„х„х„() = () ~~р (г+ 1)+ф(г — Т)1, д д д д где () = —,+ —,,+ —,— —, г'=х,'+х,'+х3„а ф и ф — произд4 дх( д4 д~' ' вольные трижды непрерывно дифференцируемые функции, удов- летворяет уравнению (5). 315.
Для уравнения (5) найти решение задачи Коши и(х, 0)=~р(г), и,(х, 0)=ф(г), г*=х,'+х,'+х,', где ~р и ф — заданные дважды непрерывно дифференцируемые функции. Найти решения уравнения (5) по начальным условиям: 316. и(х, 0) =х,х,х„и,(х, 0) =х',х,'х',. .
317. и (х, 0) = г', иг(х, 0) = х,х,. 318. и(х, 0) =е'|созх„и,(х, 0) =х',— х',. 319. и(х, 0)=х1+х1, и,(х, 0)=!. 320. и(х, 0)=е', и,(х, 0)=е-"ь 321. и(х, 0)=1/х„и,(х, 0)=0, х,~О, х'чь("". 322. Доказать единственность решения задачи Коши с на- чальными условиями (2) для уравнения 2., ~ д~и д'и — — — =д(х, 1). дх? дР .ч 323. Найти скорость распространения плоской волны и (х„х„х„1) = ~р (т,х, + т,х, + т,х, + т1). 324. Может ли описывать функция и (х„х„х„1) = х', + х, '+ х,' — х, Р процесс распространения волны? 325. Показать, что функция и(х„х„хм 1) =х,'+х',+х,'+аЧ' описывает процесс распространения волны, и найти скорость волны.
Найти область определения (распространения) волны, если: 326. Скорость волны а = 5, и = 1, носителем начальных данных и(х, 0), и,(х,О) является отрезок 1, =х,(1, прямой 1=0. 327. Скорость волны а=1, п=2, носителем данных и(х,0), и,(х,0) является кольцо 1<х',+х,'<4. 328. Скорость волны а= 2, и=3, носителем начальных данных и(х, О), и,(х, О) является шар х',+х,'+х,'<1. 329.
Скорость волны а= 1, и= 1, носителями данных и(х, О), и,(х, О) являются отрезки — 2<х,< — 1, 1<х,<2 прямой =О. Определить множество точек плоскости Е, переменных х„г', являющееся обшей «областью» влияния обоих этих отрезков. 3 2. Задачи, корректно поставленные для уравнений гиперболического типа В предыдущем параграфе речь шла о задаче Коши для волнового уравнения в предположении, что носителем начальных данных и(х, 0), иг(х, 0) является вся плоскость ! =г, или определенная ее часть. В приложениях большое значение имеет изучение таних задач для гиперболических уравнений, в которых носнгеяямн данных служат многообразия, отличные от плоскости 1 =1, или от ее части.
Однако далеко не каждое многообразие (пусть даже сколь угодно гладкое) годится в качестве носителя данных. Задача называется корректно наставленной для гиперболического уравнения, если ее решение существует, единственно и устойчиво. Поаятие устойчивости означает, что малому изменению данных задачи соответствует малое изменение ее решения. В 4 1 характеристической была названа такая поверхность »р(к, Г)=0, в каждой точке которой и !) (йтаб ф) = ~~», '»рз — »р! = О. Заданн>ю уравнением ф(к, !)=О поверхность в пространстве Евь! будем называть поверхностью пространственного тина, если в каждой ее точке Е(й бф)=~ф,'.— фг<0. ! =! Обозначим через 5 кусок достаточно гладкой поверхности пространственного типа.
Задача Коши в общей постановке формулируется так: найти решение уравнения (1), удовлетворяющее иа 5 условиям и(х, Г)=Г(М), — (х, Г)=Ф,(М), ди дм гдв Р(М) и Ф(М) — заданные достаточно гладкие функции точки М поверхности 5, а 1»' — направление, нигде нг касающвгся 5. Доказывается, что в такой формулировке задача поставлена корректно.
Заметим, что в случае одного пространственного переменного хг=х для носителя 5 важным является не требование фз — ф! < 0 (на кривой ф (х, 1) =О, где заданы условия (11)), а требование ф,' — ф! »В О. Все сказанное выше не означает, что при постановке задач для гиперболических уравнений характеристические поверхности не годятся в качестве носителя данных. Так, например, когда харахтеристнчесхая поверхность 54 ау(х, г)=0 представляет собой конус ~~ (х; — ха)з — (! — 1,)а=о, г=! (12) ставится тек называемая х ярзктернстнческзя задача Коши: найти регулярное внутри конуса (12) решение и (х, !) уравнения (1), принимаюи!ее на конусе (12) наперед виданные значения.
В случае одного пространственного переменного х,=х конус (12) пред. стзвлЯет собой паРУ пРЯмых х — хо=! — дт х — ха=то — 0 пРоходЯщих чеРез точку'(х„го). Зтн прямые плоскость Е, переменных х, ! разбивают не четыре угла. Пусть область В в представляет собой один нз этих углов. В этом случзе характеристическую задачу принято называть з еде чей Гу рс з: определить регулярное в области с! решение и(х, г) уравнения (3), удовлетворяю.
и)вв условиям: и=ар при х — хо=! — го, при .е — хо=-га 'Р(хо га) ="р (хо га). 330. Показать, что задача определения регулярного решения и(х, !) уравнения (3) по заданным 'на характеристике х — 1=0 ди значениям функции и(х, 1) и ее нормальной производной— 1 /ди дид = = ~ — + — ) поставлена некорректно (она вообще не имеет ус2 чдх д!) решения, а в тех случаях когда имеет, оно не единственно). 331. Выяснить, для каких значений постоянного )г прямая к=я! может служить в качестве носителя данных в задаче Коши с условиями (11) для уравнения (3) и: а) найти решение этой задачи, если направление й!' имеет компоненты (1$' 2, 1$с2), а носителем данных является отрезок А(0, 0), В(1, 11й) указанной прямой; б) определить область зависимости, область влияния и область распространения; в) доказать устойчивость решения.
332. Указать, для каких значений положительных постоянных ар„гр! дуга ара(гр(гр! окружности х=созор, (=з)пгр, 0<<р(2п, может служить носителем данных задачи Коши (11) для уравнения (3), и найти решение этой задачи, когда !у' совпадает с нормалью к окружности. 333. Пусть дуга Я: А(х„(,) В(х„г!) кривой х=) (!) с непрерывной кривизной ни в одной своей точке не касается характеристик уравнения (3), а !о' — нормаль к дуге АВ. Построить 'решение и(х, !) задачи (3), (! 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
