Главная » Просмотр файлов » 1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839

1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 10

Файл №843928 1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (Бицадзе, Калиниченко 1977 - Сборник задач по уравнениям математической физики) 10 страница1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928) страница 102021-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

292. и„=-а'и„„, х> О, ( > О, и„ (О, г) = О, 8 > О, и (х, 0) = ср(х), и,(х, 0) = ф (х), х > О. 293. ии=а'и„„+~(х, Е), х>0, М) О, и (О, Х) = О, 1 > О, и (х, 0) = и, (х, 0) = О, х > О. 294. ии=а'и„„+((х, (), х) О, г > О, и„ (О, () = О, г ) О, и (х, 0) = и,(х, 0) = О, х ) О.

296. им=а'и„„+((х, П, х> О, г > О, и(0,()=0, (>О, и(х, 0)=ср(х), ис(х, 0)=ф(х), х>0, 50 296. ис,— — а'и„„+[(х, 1)„х) Ь, 1> О, и„(0,1)=0, 1>0, и(х, 0)=ср(х), и,(х, 0)=ар(х), х)0. Всякая функция 1(х — аг) аргумента х — аС называется лрямой аоалой. Распространяя возмущение края с помощью прямой волны, решить задачи: и»=а" х)0 1)0 и (О, 1) = [с(1), ( ) О, и (х, 0) = и,(х, 0) = О, х ) О. 298.

исс — — а'и„„, х > О, 1> О, и„ (О, 1) = т (1), 1 ) О, и (х, 0) = и,(х, 0) = О, х > О. 299. и»=а'и„„, х) О, 1> О, и„(0,1) — (си(0, 1)=х(1), 1> О, сс > О, и(х, 0)=и,(х, 0)=0, х) О. Решить задачи: 300. асс=аз»„„+у(х, с), х > О, с > О, и (О, 1) = р (1), 1 ) О, и (х, 0) = ср(х), и,(х, 0) = Чс(х), х > О.

301. исс=ази„„+1(х,(), х > О, 1> О, и„(0, 1)=т(1), 1) О, и(х, 0)=ср(х), и,(х, 0)=с[с(х), х > О. 302. Найти решение и(х, у,() уравнения и„„+и„,— и»=ху( по начальным условиям и(х, у, 0)=0, и,(х, у, 0)=ху. 303. Доказать, что функция и (х, у, 1), определенная по формуле ч 1)арса+с г-асп и (х, у, 1) = т а>е [2.4 ... (2(с+2)1 ((2л — 1) (2л — 3) ... [2л — (2й 1)1) дс д' да где р'=х'+у' — (с, [) — + — —, Ф вЂ” однородный полидхс дуз дгс ' ном переменных х, у, 1 степени л — 2, является. решением не- однородного уравнения и„„+脄— и»=Ф(х, у, 1). 304.

Непосредственной проверкой убедиться в том, что наряду с решением и(х,(), 'х=(х„..., х„), уравнения (1), решением этого уравнения является й функция 1 х о (х, 1) = 1 [х[' — Са ' [х[' — Ся) ' и( ([х[' — Ся) ' а [х [я = ~ хз„) х ) с ~ (я. 1=1 305. Найти все линейно независимые однородные полиномы степени 3, по переменным х„х„1, удовлетворяющие уравнению (4). 306. Чему равно число линейно независимых однородных полиномов степени А по переменным х„..., х„, 1, являющихся решениями уравнения (1)? 307. Функция и (х, 1) с непрерывными частными производными третьего порядка является решением уравнения (3).

Показать, что этому же уравнению удовлетворяет и функция ди ди о(х, 1) = — —. дк д! ' 308. Показать, что наряду с функцией и (х, 1) решением уравнения (3) являются и функции а) хи„+1и„ б) и,'+и'„ и~л ис! 309. Определить значение показателя й=сопз1, для которого уравнение (1) имеет решение вида 1 и(х, 1)= „...1,, (х!'=~,х). !.= ! 310. Показать, что если и(х, 1) — решение уравнения (1), то функция о(х, 1) =и( р !а ! ' ' р !а„! ' р !а„+,! 1 будет решением уравнения гиперболического типа л ,~а а;и,,, — а„+,и„=О ! =! с постоянными коэффициентами аи ! =1, ..., и+1, одинакового знака. 311.

Найти условие, связывающее постоянные то ! =1, ... ..., и+1, при котором уравнение (1) имеет решение вида плоской волны и(х, 1) =Ф(т,х,+... +т„х„+т„+,1). 312. Показать, что наиболее общее решение уравнения (5), зависящее только от г и 1, имеет вид и(г, 1)= — + —, гФО, 1! (г+ 1) 1! (г О где г'=х,'+х',+х', и 1, и 1,— произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. Эти решения называются сферическими волнами.

313. Непосредственной проверкой убедиться в том, что наряду с функцией и(х, 1), обладающей частными производными третьего порядка, решением уравнения (1) является и функция л о(х, 1) = ~х;и,.+1и,. 314. Показать что выражение и (х„х„х„() = () ~~р (г+ 1)+ф(г — Т)1, д д д д где () = —,+ —,,+ —,— —, г'=х,'+х,'+х3„а ф и ф — произд4 дх( д4 д~' ' вольные трижды непрерывно дифференцируемые функции, удов- летворяет уравнению (5). 315.

Для уравнения (5) найти решение задачи Коши и(х, 0)=~р(г), и,(х, 0)=ф(г), г*=х,'+х,'+х,', где ~р и ф — заданные дважды непрерывно дифференцируемые функции. Найти решения уравнения (5) по начальным условиям: 316. и(х, 0) =х,х,х„и,(х, 0) =х',х,'х',. .

317. и (х, 0) = г', иг(х, 0) = х,х,. 318. и(х, 0) =е'|созх„и,(х, 0) =х',— х',. 319. и(х, 0)=х1+х1, и,(х, 0)=!. 320. и(х, 0)=е', и,(х, 0)=е-"ь 321. и(х, 0)=1/х„и,(х, 0)=0, х,~О, х'чь("". 322. Доказать единственность решения задачи Коши с на- чальными условиями (2) для уравнения 2., ~ д~и д'и — — — =д(х, 1). дх? дР .ч 323. Найти скорость распространения плоской волны и (х„х„х„1) = ~р (т,х, + т,х, + т,х, + т1). 324. Может ли описывать функция и (х„х„х„1) = х', + х, '+ х,' — х, Р процесс распространения волны? 325. Показать, что функция и(х„х„хм 1) =х,'+х',+х,'+аЧ' описывает процесс распространения волны, и найти скорость волны.

Найти область определения (распространения) волны, если: 326. Скорость волны а = 5, и = 1, носителем начальных данных и(х, 0), и,(х,О) является отрезок 1, =х,(1, прямой 1=0. 327. Скорость волны а=1, п=2, носителем данных и(х,0), и,(х,0) является кольцо 1<х',+х,'<4. 328. Скорость волны а= 2, и=3, носителем начальных данных и(х, О), и,(х, О) является шар х',+х,'+х,'<1. 329.

Скорость волны а= 1, и= 1, носителями данных и(х, О), и,(х, О) являются отрезки — 2<х,< — 1, 1<х,<2 прямой =О. Определить множество точек плоскости Е, переменных х„г', являющееся обшей «областью» влияния обоих этих отрезков. 3 2. Задачи, корректно поставленные для уравнений гиперболического типа В предыдущем параграфе речь шла о задаче Коши для волнового уравнения в предположении, что носителем начальных данных и(х, 0), иг(х, 0) является вся плоскость ! =г, или определенная ее часть. В приложениях большое значение имеет изучение таних задач для гиперболических уравнений, в которых носнгеяямн данных служат многообразия, отличные от плоскости 1 =1, или от ее части.

Однако далеко не каждое многообразие (пусть даже сколь угодно гладкое) годится в качестве носителя данных. Задача называется корректно наставленной для гиперболического уравнения, если ее решение существует, единственно и устойчиво. Поаятие устойчивости означает, что малому изменению данных задачи соответствует малое изменение ее решения. В 4 1 характеристической была названа такая поверхность »р(к, Г)=0, в каждой точке которой и !) (йтаб ф) = ~~», '»рз — »р! = О. Заданн>ю уравнением ф(к, !)=О поверхность в пространстве Евь! будем называть поверхностью пространственного тина, если в каждой ее точке Е(й бф)=~ф,'.— фг<0. ! =! Обозначим через 5 кусок достаточно гладкой поверхности пространственного типа.

Задача Коши в общей постановке формулируется так: найти решение уравнения (1), удовлетворяющее иа 5 условиям и(х, Г)=Г(М), — (х, Г)=Ф,(М), ди дм гдв Р(М) и Ф(М) — заданные достаточно гладкие функции точки М поверхности 5, а 1»' — направление, нигде нг касающвгся 5. Доказывается, что в такой формулировке задача поставлена корректно.

Заметим, что в случае одного пространственного переменного хг=х для носителя 5 важным является не требование фз — ф! < 0 (на кривой ф (х, 1) =О, где заданы условия (11)), а требование ф,' — ф! »В О. Все сказанное выше не означает, что при постановке задач для гиперболических уравнений характеристические поверхности не годятся в качестве носителя данных. Так, например, когда харахтеристнчесхая поверхность 54 ау(х, г)=0 представляет собой конус ~~ (х; — ха)з — (! — 1,)а=о, г=! (12) ставится тек называемая х ярзктернстнческзя задача Коши: найти регулярное внутри конуса (12) решение и (х, !) уравнения (1), принимаюи!ее на конусе (12) наперед виданные значения.

В случае одного пространственного переменного х,=х конус (12) пред. стзвлЯет собой паРУ пРЯмых х — хо=! — дт х — ха=то — 0 пРоходЯщих чеРез точку'(х„го). Зтн прямые плоскость Е, переменных х, ! разбивают не четыре угла. Пусть область В в представляет собой один нз этих углов. В этом случзе характеристическую задачу принято называть з еде чей Гу рс з: определить регулярное в области с! решение и(х, г) уравнения (3), удовлетворяю.

и)вв условиям: и=ар при х — хо=! — го, при .е — хо=-га 'Р(хо га) ="р (хо га). 330. Показать, что задача определения регулярного решения и(х, !) уравнения (3) по заданным 'на характеристике х — 1=0 ди значениям функции и(х, 1) и ее нормальной производной— 1 /ди дид = = ~ — + — ) поставлена некорректно (она вообще не имеет ус2 чдх д!) решения, а в тех случаях когда имеет, оно не единственно). 331. Выяснить, для каких значений постоянного )г прямая к=я! может служить в качестве носителя данных в задаче Коши с условиями (11) для уравнения (3) и: а) найти решение этой задачи, если направление й!' имеет компоненты (1$' 2, 1$с2), а носителем данных является отрезок А(0, 0), В(1, 11й) указанной прямой; б) определить область зависимости, область влияния и область распространения; в) доказать устойчивость решения.

332. Указать, для каких значений положительных постоянных ар„гр! дуга ара(гр(гр! окружности х=созор, (=з)пгр, 0<<р(2п, может служить носителем данных задачи Коши (11) для уравнения (3), и найти решение этой задачи, когда !у' совпадает с нормалью к окружности. 333. Пусть дуга Я: А(х„(,) В(х„г!) кривой х=) (!) с непрерывной кривизной ни в одной своей точке не касается характеристик уравнения (3), а !о' — нормаль к дуге АВ. Построить 'решение и(х, !) задачи (3), (! 1).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,68 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее